Mathématiques · 3ᵉ · Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

Cours relu par un enseignant de mathématiques · Mis à jour le 11 juin 2026 · Notre démarche

Objectif brevetLe parcours de révision, chapitre par chapitre.

Reconnaître un triangle rectangle

DÉFINITION

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (un angle de $90^{\circ}$ ). Le côté situé en face de l'angle droit s'appelle l'hypoténuse ; c'est toujours le plus long côté.

Exemple.

Si le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , alors :

l'angle droit est en $A$ ;
les côtés de l'angle droit sont $A B$ et $A C$ ;
l'hypoténuse est $B C$ .

Le côté $B C$ est en face de l'angle droit.

Triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse BC en accent terracotta opposée à l'angle droit

Pourquoi repérer l'hypoténuse est important ?

Dans le théorème de Pythagore, l'hypoténuse joue un rôle particulier.

Si tu te trompes d'hypoténuse, toute l'égalité de Pythagore devient fausse.

L'hypoténuse est toujours le plus long côté du triangle rectangle.

Énoncé du théorème de Pythagore

THÉORÈME · DE PYTHAGORE

Si le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$

Autrement dit :

{hypot \overset{ˊ}{e} nuse}^{2} = {c \hat{o} t \overset{ˊ}{e}}_{1}^{2} + {c \hat{o} t \overset{ˊ}{e}}_{2}^{2}

Exemple simple

Tu considères un triangle $A B C$ rectangle en $A$ tel que :

$A B = 3$ cm ;
$A C = 4$ cm.

Tu cherches $B C$ .

Triangle ABC rectangle en A avec AB = 3 cm, AC = 4 cm et l'hypoténuse BC à calculer

Comme le triangle est rectangle en $A$ , tu appliques le théorème de Pythagore :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

Tu remplaces par les valeurs :

B C^{2} = 3^{2} + 4^{2}

Tu calcules :

B C^{2} = 9 + 16 = 25

Donc :

B C = \sqrt{25} = 5

La longueur $B C$ est donc égale à 5 cm.

Calculer l'hypoténuse

Quand tu connais les deux côtés de l'angle droit, tu peux calculer l'hypoténuse.

Méthode.

Identifier l'angle droit.
Repérer l'hypoténuse.
Écrire l'égalité de Pythagore.
Remplacer par les longueurs connues.
Calculer le carré de l'hypoténuse.
Prendre la racine carrée.
Conclure avec l'unité.

Exemple.

Un triangle $D E F$ est rectangle en $D$ .
Tu sais que :

$D E = 6$ cm ;
$D F = 8$ cm.

Tu cherches $E F$ .

Comme le triangle est rectangle en $D$ , l'hypoténuse est $E F$ .

D'après le théorème de Pythagore :

E F^{2} = D E^{2} + D F^{2}

Donc :

E F^{2} = 6^{2} + 8^{2}

E F^{2} = 36 + 64

E F^{2} = 100

Donc :

E F = \sqrt{100} = 10

La longueur $E F$ est égale à 10 cm.

Calculer un côté de l'angle droit

Quand tu connais l'hypoténuse et un côté de l'angle droit, tu peux calculer l'autre côté.

Cette fois, tu utilises une soustraction.

Exemple.

Un triangle $A B C$ est rectangle en $A$ .
Tu sais que :

$B C = 13$ cm ;
$A B = 5$ cm.

Tu cherches $A C$ .

Comme le triangle est rectangle en $A$ , l'hypoténuse est $B C$ .

D'après le théorème de Pythagore :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

Tu remplaces :

13^{2} = 5^{2} + A C^{2}

Tu calcules :

169 = 25 + A C^{2}

Tu soustrais 25 :

A C^{2} = 169 - 25

Donc :

A C^{2} = 144

Ainsi :

A C = \sqrt{144} = 12

La longueur $A C$ est égale à 12 cm.

Comprendre la racine carrée

La racine carrée est l'opération qui permet de retrouver un nombre à partir de son carré.

Par exemple :

5^{2} = 25

Donc :

\sqrt{25} = 5

Autres exemples :

\sqrt{36} = 6

\sqrt{49} = 7

\sqrt{100} = 10

Dans le théorème de Pythagore, tu utilises la racine carrée quand tu connais le carré d'une longueur et que tu veux retrouver la longueur.

Résultat exact ou arrondi

Parfois, la racine carrée ne tombe pas juste.

Exemple.

Si :

A B^{2} = 50

alors :

A B = \sqrt{50}

La valeur exacte est :

\sqrt{50}

Une valeur approchée est :

A B \approx 7,1

Quand la racine carrée ne donne pas un nombre entier, tu peux donner une valeur exacte avec le symbole $\sqrt{}$ , puis une valeur approchée.

Réciproque du théorème de Pythagore

La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle est rectangle.

THÉORÈME · RÉCIPROQUE

Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Exemple.

Tu considères un triangle $A B C$ tel que :

$A B = 6$ cm ;
$A C = 8$ cm ;
$B C = 10$ cm.

Le plus grand côté est $B C$ , car :

10 > 8 > 6

Tu calcules le carré du plus grand côté :

B C^{2} = 10^{2} = 100

Tu calcules la somme des carrés des deux autres côtés :

A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

Tu constates que :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ .

Pourquoi en $A$ ?
Parce que le plus grand côté $B C$ est l'hypoténuse, donc l'angle droit est en face, au point $A$ .

Contraposée du théorème de Pythagore

La contraposée du théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.

THÉORÈME · CONTRAPOSÉE

Dans un triangle, si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle.

Exemple.

Tu considères un triangle $D E F$ tel que :

$D E = 5$ cm ;
$D F = 7$ cm ;
$E F = 9$ cm.

Le plus grand côté est $E F$ .

Tu calcules :

E F^{2} = 9^{2} = 81

Puis :

D E^{2} + D F^{2} = 5^{2} + 7^{2} = 25 + 49 = 74

Tu constates que :

81 \neq 74

Donc :

E F^{2} \neq D E^{2} + D F^{2}

D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $D E F$ n'est pas rectangle.

La diagonale d'un pavé droit

Tout ce que tu as fait jusqu'ici se passait dans le plan : un triangle, une feuille, deux dimensions. Mais le monde réel a une troisième dimension. Quand Karim veut savoir si une tringle entre dans un coffre, la plus grande longueur disponible n'est ni la longueur, ni la largeur, ni la hauteur du coffre : c'est sa grande diagonale, celle qui relie deux sommets opposés en traversant l'intérieur du pavé. Et pour la calculer, tu n'as besoin d'aucun outil nouveau : il suffit d'appliquer Pythagore deux fois de suite.

Pavé droit en perspective cavalière, de dimensions a, b et c, avec la diagonale de la base et la grande diagonale d en accent terracotta

L'idée tient en deux étapes. Tu notes $a$ et $b$ les dimensions de la base, $c$ la hauteur, et $e$ la diagonale de la base.

Première application — dans la base. La diagonale $e$ de la base est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $a$ et $b$ , tracé à plat au fond du pavé :

e^{2} = a^{2} + b^{2}

Deuxième application — debout dans l'espace. La grande diagonale $d$ est l'hypoténuse d'un second triangle rectangle, dressé verticalement : ses côtés de l'angle droit sont la diagonale de la base $e$ et la hauteur $c$ (une arête verticale est perpendiculaire à toute droite de la base). Donc :

d^{2} = e^{2} + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

Remarque l'astuce : tu n'as jamais besoin de calculer $e$ lui-même — seul $e^{2}$ compte, et il s'injecte directement dans le second calcul. En combinant les deux étapes, tu obtiens une formule unique.

THÉORÈME

Dans un pavé droit de dimensions $a$ , $b$ et $c$ , la grande diagonale $d$ vérifie $d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ , autrement dit :

$d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Exemple 1.

Un pavé droit mesure 2 cm sur 3 cm, avec une hauteur de 6 cm. Tu cherches sa grande diagonale $d$ .

Première application, dans la base : $e^{2} = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13$ .

Deuxième application, dans le triangle vertical : $d^{2} = e^{2} + 6^{2} = 13 + 36 = 49$ .

Donc :

d = \sqrt{49} = 7

La grande diagonale mesure 7 cm. Tu peux vérifier avec la formule directe : $d = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ cm. Note que $e^{2} = 13$ ne tombait pas juste — peu importe, puisque tu n'avais besoin que du carré.

À RETENIR

La grande diagonale d'un pavé droit s'obtient en appliquant Pythagore deux fois — dans la base, puis dans un triangle vertical — ce qui donne la formule $d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Calculer une distance dans un repère

Dernière extension, et pas la moindre : Pythagore permet de mesurer une distance sans règle, à partir de simples coordonnées. C'est exactement ce que fait une application de cartographie quand elle affiche la distance à vol d'oiseau entre deux points d'une ville : elle ne sort pas un mètre ruban, elle calcule.

Place deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ dans un repère. Pour aller de $A$ à $B$ , tu peux te déplacer d'abord horizontalement, de l'écart $x_{B} - x_{A}$ , puis verticalement, de l'écart $y_{B} - y_{A}$ . Ces deux déplacements sont perpendiculaires (un axe horizontal, un axe vertical) : ils forment les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont le segment $[A B]$ est l'hypoténuse. Pythagore fait le reste :

A B^{2} = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

THÉORÈME

Dans un repère, la distance entre deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ est :

$A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$

Un écart peut très bien être négatif — si $B$ est à gauche de $A$ , par exemple. Aucune importance : le carré efface le signe, et la distance obtenue est toujours positive.

Exemple 1.

Dans un repère, tu places $A (1; 2)$ et $B (4; 6)$ . Tu cherches la distance $A B$ .

Tu calcules les deux écarts : $x_{B} - x_{A} = 4 - 1 = 3$ et $y_{B} - y_{A} = 6 - 2 = 4$ .

Tu appliques la formule :

A B = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

La distance $A B$ vaut 5 unités. Tu reconnais le triangle 3-4-5 : il était caché dans le repère.

À RETENIR

Dans un repère, les écarts de coordonnées forment les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle d'hypoténuse $[A B]$ , d'où la formule $A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$ — une formule que tu réutiliseras constamment au lycée.

Pièges classiques

Piège 1 : se tromper d'hypoténuse. L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit (et le plus long). Ce n'est pas forcément le côté qui semble le plus incliné sur le dessin.

Piège 2 : additionner au lieu de soustraire. Quand tu cherches l'hypoténuse, tu additionnes les carrés des deux autres côtés. Mais quand tu cherches un côté de l'angle droit, tu soustrais. Si l'hypoténuse vaut 13 cm et un côté 5 cm :

13^{2} = 5^{2} + x^{2} donc x^{2} = 13^{2} - 5^{2}

Il ne faut surtout pas écrire $x^{2} = 13^{2} + 5^{2}$ .

Piège 3 : oublier la racine carrée. Quand tu obtiens $x^{2} = 64$ , la longueur n'est pas 64. Il faut prendre la racine carrée : $x = \sqrt{64} = 8$ .

Piège 4 : croire que $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = a + b$ . La racine d'une somme n'est pas la somme des racines. Pour $x^{2} = 9 + 16 = 25$ , tu as $x = \sqrt{25} = 5$ , et non $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ . Il faut d'abord additionner, puis prendre la racine.

Piège 5 : utiliser Pythagore dans un triangle non rectangle. Le théorème ne s'applique que dans un triangle rectangle. Si l'énoncé ne dit pas que le triangle est rectangle, il faut d'abord le démontrer (ou utiliser la réciproque).

Piège 6 : mal utiliser la réciproque. Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, tu compares le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres. Il faut donc commencer par identifier le plus grand côté.

Application concrète

Yasmine doit changer une ampoule en haut d'un mur de sa maison à Fès. Elle pose une échelle contre le mur et veut savoir quelle longueur d'échelle est nécessaire — sans la mesurer directement.

Étape 1 — Repérer le triangle rectangle. Le pied de l'échelle est à 1,5 m du mur, et le haut atteint une hauteur de 2 m. Le mur et le sol forment un angle droit : l'échelle est l'hypoténuse du triangle rectangle.

Échelle appuyée contre un mur, formant un triangle rectangle de pied 1,5 m et de hauteur 2 m, l'échelle étant l'hypoténuse à calculer

Étape 2 — Appliquer le théorème de Pythagore. En notant $L$ la longueur de l'échelle :

L^{2} = {1,5}^{2} + 2^{2} = 2,25 + 4 = 6,25

Étape 3 — Prendre la racine carrée.

L = \sqrt{6,25} = 2,5

Une échelle de 2,5 m convient parfaitement.

Étape 4 — Réutiliser l'idée ailleurs. Le même calcul donne la diagonale d'un écran de 80 cm sur 60 cm : $d^{2} = 80^{2} + 60^{2} = 10 000$ , donc $d = 100$ cm. Et dans l'autre sens, un maçon qui trace des côtés 3, 4 et 5 obtient à coup sûr un angle droit, car $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ .

Conclusion. Pythagore relie longueurs et angles droits dans une foule de situations. Tu prolongeras cet outil dès le chapitre suivant, la trigonométrie, qui ajoute les angles aux longueurs du triangle rectangle.

À retenir

À RETENIR

Un triangle rectangle possède un angle droit, et son hypoténuse est le côté opposé à cet angle droit — toujours le plus long.

À RETENIR

Si le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , autrement dit ${hypot \overset{ˊ}{e} nuse}^{2} = {c \hat{o} t \overset{ˊ}{e}}_{1}^{2} + {c \hat{o} t \overset{ˊ}{e}}_{2}^{2}$ .

À RETENIR

Pour calculer l'hypoténuse, tu additionnes les carrés ; pour calculer un côté de l'angle droit, tu soustrais. Dans les deux cas, la racine carrée te fait passer de $x^{2}$ à $x$ .

À RETENIR

Pour savoir si un triangle est rectangle, tu compares le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres : s'il y a égalité, la réciproque prouve que le triangle est rectangle ; sinon, la contraposée prouve qu'il ne l'est pas.

À RETENIR

Pythagore s'étend au-delà du triangle : la grande diagonale d'un pavé droit de dimensions $a$ , $b$ , $c$ vaut $d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ (Pythagore appliqué deux fois), et la distance entre deux points d'un repère vaut $A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$ (les écarts de coordonnées sont les côtés de l'angle droit).

Ce chapitre prépare à

Transformations géométriques Trigonométrie

Prochain chapitre

Trigonométrie

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