76 exercices pour t'entraîner sur Théorème de Pythagore en 3ᵉ, du QCM à la démonstration. 30 corrigés en détail ci-dessous. Revoir le cours.
Dans un triangle rectangle, qu'est-ce que l'hypoténuse ?
A
L'hypoténuse est le côté situé en face de l'angle droit. C'est toujours le plus long côté du triangle rectangle. Bien la repérer est indispensable : c'est elle qui est « seule » dans l'égalité de Pythagore.
Le triangle est rectangle en . Quel côté est l'hypoténuse ?
C
L'angle droit est en , donc l'hypoténuse est le côté opposé, c'est-à-dire . Les deux côtés de l'angle droit sont et . Une astuce : l'hypoténuse ne « touche » pas le sommet de l'angle droit.
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Calcule .
20 cm
D'après Pythagore, . Donc cm. C'est un triangle 12-16-20 : le triangle 3-4-5 dont toutes les longueurs ont été multipliées par 4.
On affirme que, dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le plus long côté.
A
C'est vrai. L'hypoténuse est opposée au plus grand angle (l'angle droit, ), donc c'est le plus long côté. C'est utile pour repérer l'hypoténuse dans la réciproque : on cherche d'abord le plus grand côté.
Calcule .
6
La racine carrée de 36 est le nombre positif dont le carré vaut 36 : comme , on a . La racine carrée est l'opération inverse du carré ; elle intervient à la fin de chaque calcul de Pythagore.
Le triangle est rectangle en . Quelle égalité donne le théorème de Pythagore ?
A
Le carré de l'hypoténuse () est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit : . L'hypoténuse, le plus long côté, est toujours « seule » d'un côté de l'égalité.
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Calcule l'hypoténuse .
25 cm
D'après Pythagore, . Donc cm. C'est un triangle 15-20-25, c'est-à-dire le triangle 3-4-5 multiplié par 5 : tout multiple d'un triplet pythagoricien en est encore un.
On affirme que le théorème de Pythagore s'applique dans n'importe quel triangle.
B
C'est faux. Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans un triangle rectangle. Si le triangle n'a pas d'angle droit, l'égalité n'a aucune raison d'être vraie.
Calcule .
10
Comme , on a . Connaître par cœur les carrés parfaits () accélère beaucoup les calculs de Pythagore.
Pour calculer un côté de l'angle droit (et non l'hypoténuse), quelle opération utilise-t-on entre les carrés ?
B
Quand on cherche l'hypoténuse, on additionne les carrés des deux côtés. Mais quand on connaît l'hypoténuse et qu'on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait : par exemple . Choisir la bonne opération dépend de ce qu'on cherche.
Calcule .
9
La racine carrée de 81 est le nombre positif dont le carré vaut 81 : comme , on a . C'est un carré parfait. Garder en tête la liste te fera gagner du temps à chaque fin de calcul de Pythagore.
Le triangle est rectangle en . Quel côté est l'hypoténuse ?
C
L'angle droit est au sommet , donc l'hypoténuse est le côté opposé, celui qui ne touche pas : c'est . Les deux côtés de l'angle droit sont et . Si tu as choisi ou , tu as désigné un côté qui part justement de l'angle droit : l'hypoténuse, elle, lui fait toujours face.
Le triangle est rectangle en . Quelle égalité donne le théorème de Pythagore ?
A
L'angle droit est en , donc l'hypoténuse est le côté opposé . Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : . Si tu as choisi B ou C, tu as isolé un côté de l'angle droit au lieu de l'hypoténuse : c'est toujours l'hypoténuse qui reste « seule » d'un côté de l'égalité.
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Calcule l'hypoténuse .
10 cm
L'angle droit étant en , l'hypoténuse est . D'après Pythagore, , donc cm. C'est le triangle 6-8-10, c'est-à-dire le triangle 3-4-5 dont toutes les longueurs ont été multipliées par 2.
On affirme que .
B
C'est faux. À gauche, . À droite, . Comme , la racine d'une somme n'est pas la somme des racines. Dans un calcul de Pythagore, tu dois toujours additionner sous la racine d'abord, puis prendre la racine du total.
À la fin d'un calcul de Pythagore, tu obtiens , où est une longueur en cm. Quelle est la valeur de ?
7 cm
La longueur n'est pas 49 : il reste à prendre la racine carrée. Comme , on a cm. C'est un piège classique : oublier la dernière étape et confondre avec . Une longueur est toujours la racine du carré obtenu.
À quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?
B
La réciproque sert à prouver qu'un triangle est rectangle à partir de ses seules longueurs : si le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. Le théorème direct, lui, sert plutôt à calculer une longueur quand on sait déjà que le triangle est rectangle. Ne confonds pas les deux sens : l'un part de l'angle droit, l'autre y aboutit.
Pour tester si un triangle est rectangle avec la réciproque, on affirme qu'il faut isoler le carré du plus petit côté.
B
C'est faux : on isole le carré du plus grand côté, car c'est lui le candidat hypoténuse (l'hypoténuse est toujours le plus long côté). On compare ensuite ce carré à la somme des carrés des deux autres. Comparer le mauvais côté fausserait complètement le test. Pour un triangle de côtés 8, 15 et 17, c'est donc qu'on compare à .
Quelle formule donne la grande diagonale d'un pavé droit de dimensions , et ?
B
En appliquant Pythagore deux fois (d'abord dans la base, puis dans un triangle vertical), on obtient , donc . Si tu as choisi C, tu n'as gardé que deux dimensions : c'est la diagonale de la base, pas la grande diagonale de l'espace. Et il ne faut pas oublier la racine carrée (réponse D) ni additionner les longueurs directement (réponse A).
Dans un repère, quelle formule donne la distance entre deux points et ?
B
Les écarts et sont les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont est l'hypoténuse. Pythagore donne , donc . Le carré efface le signe des écarts, ce qui garantit une distance positive. Tu réutiliseras constamment cette formule au lycée.
Calcule .
12
La racine carrée de 144 est le nombre positif dont le carré vaut 144 : comme , on a . C'est un carré parfait. Si tu as répondu 72, tu as divisé par 2 au lieu de chercher le nombre dont le carré donne 144 : la racine carrée n'est pas une division. Garder en tête la liste te fera gagner du temps à la fin de chaque calcul de Pythagore.
Le triangle est rectangle en . Quels sont les deux côtés de l'angle droit ?
A
L'angle droit est au sommet : les deux côtés de l'angle droit sont ceux qui partent de , c'est-à-dire et . Le côté opposé à , à savoir , est l'hypoténuse. Si tu as inclus dans ta réponse, tu as confondu un côté de l'angle droit avec l'hypoténuse : l'hypoténuse, elle, ne touche jamais le sommet de l'angle droit.
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Calcule .
12 cm
L'angle droit est en , donc l'hypoténuse est cm. On connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit : on cherche l'autre côté en soustrayant. , donc cm. Si tu as additionné (), tu as cherché une hypoténuse alors qu'elle était déjà donnée. C'est le triplet 5-12-13.
À quoi sert la contraposée du théorème de Pythagore ?
B
La contraposée sert à prouver qu'un triangle n'est pas rectangle : si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'a pas d'angle droit. Ne la confonds pas avec la réciproque (réponse A), qui sert au contraire à prouver qu'un triangle est rectangle quand il y a égalité. Les deux examinent la même égalité, mais concluent dans des sens opposés.
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Calcule l'hypoténuse .
15 cm
L'angle droit est en , donc l'hypoténuse est . On additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit : , donc cm. C'est le triangle 9-12-15, c'est-à-dire le triangle 3-4-5 dont toutes les longueurs ont été multipliées par 3.
À la fin d'un calcul de Pythagore, on obtient . On affirme alors que cm.
B
C'est faux. On a trouvé le carré de la longueur, pas la longueur. Il reste à prendre la racine carrée : comme , on a cm, et non 64 cm. Oublier cette dernière étape est l'une des erreurs les plus fréquentes : tant que tu lis « », tu n'as pas encore la longueur.
Pour calculer la grande diagonale d'un pavé droit, on applique Pythagore une première fois dans la base, puis une seconde fois. Lors de la première application, que cherche-t-on ?
A
La première application de Pythagore, à plat dans la base, donne la diagonale de la base : . Ce devient ensuite un côté de l'angle droit d'un triangle vertical dont la grande diagonale est l'hypoténuse, d'où . L'astuce est qu'on n'a jamais besoin de calculer lui-même : seul s'injecte dans le second calcul.
Dans un repère, et . Que vaut l'écart horizontal ? Réponds par un entier.
L'écart horizontal est . Ici les deux ordonnées sont égales (), donc l'écart vertical vaut : les points sont sur une même horizontale, et la distance se réduit à 4. C'est le cas particulier où le triangle « rectangle » s'aplatit : l'un de ses côtés de l'angle droit est nul, et Pythagore redonne simplement l'écart horizontal.
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Quelle ligne de calcul permet de trouver ?
B
L'angle droit est en , donc est l'hypoténuse. On la connaît, et on cherche un côté de l'angle droit : on soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse, , donc cm. La réponse A additionne (erreur quand l'hypoténuse est déjà donnée). La C inverse la soustraction et donnerait un carré négatif, impossible pour une longueur. La D oublie carrés et racine.
Un triangle a pour côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. On affirme que, d'après la réciproque de Pythagore, il est rectangle.
A
C'est vrai. Le plus grand côté est 5. On compare à la somme des carrés des deux autres, . L'égalité est vérifiée, donc d'après la réciproque, le triangle est rectangle (l'angle droit étant opposé au côté 5). C'est le triplet pythagoricien fondateur, dont dérivent tous ses multiples 6-8-10, 9-12-15, etc.
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Calcule .
Un triangle rectangle a deux côtés de l'angle droit mesurant 9 cm et 12 cm. Calcule l'hypoténuse.
Un triangle rectangle a une hypoténuse de 10 cm et un côté de l'angle droit de 8 cm. Calcule l'autre côté de l'angle droit.
Un triangle a cm, cm et cm. On affirme qu'il est rectangle.
Un triangle a cm, cm et cm. On affirme qu'il est rectangle.
Dans un triangle rectangle, un côté vérifie . Donne une valeur approchée de au dixième de cm.
Pour tester si un triangle de côtés 8, 15 et 17 est rectangle, quel côté doit-on isoler dans la comparaison ?
Dans un magasin de Casablanca, Amine compare des téléviseurs. L'écran qui l'intéresse mesure 120 cm de large et 90 cm de haut. Calcule la longueur de sa diagonale.
À Fès, Yasmine pose une échelle contre un mur. Le pied de l'échelle est à 2,1 m du mur et le haut atteint 2,8 m de hauteur. Quelle est la longueur de l'échelle ?
Karim, maçon, veut tracer un angle droit au sol. Il trace trois longueurs 3 m, 4 m et 5 m formant un triangle. Pourquoi cela garantit-il un angle droit ?
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Calcule l'hypoténuse .
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Calcule .
Sur une carte munie d'un repère gradué en kilomètres, Yasmine repère deux relais routiers : et . Quelle est la distance directe , à vol d'oiseau ?
Le triangle est rectangle en . On connaît cm et cm, et on cherche . Quelle ligne de calcul est correcte ?
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Calcule l'hypoténuse .
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Calcule .
Sur un plan de la ville de Meknès muni d'un repère gradué en kilomètres, Yasmine place sa maison en et son lycée en . Quelle est la distance directe ?
Pour tester avec la réciproque si un triangle de côtés 20, 21 et 29 est rectangle, quelle égalité doit-on vérifier ?
Un terrain rectangulaire mesure 60 m de long et 80 m de large. Salma veut traverser en diagonale, d'un coin au coin opposé. Quelle est la longueur de cette diagonale ?
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. On affirme que .
Un triangle a cm, cm et cm. On affirme qu'il est rectangle.
Un triangle est rectangle, ses deux côtés de l'angle droit mesurent 2 cm et 3 cm. Quelle est la valeur exacte de l'hypoténuse ?
Dans l'atelier d'Essaouira, Karim a fabriqué un coffre dont le fond est un rectangle de 60 cm sur 80 cm. Il veut poser à plat, au fond, une tringle rigide. Quelle est la plus grande longueur de tringle qui rentre, posée d'un coin du fond au coin opposé ?
Amine installe un haubanage : un câble relie le sommet d'un poteau vertical de 24 m de haut à un piquet planté au sol, à 10 m du pied du poteau. Quelle longueur de câble lui faut-il ? Justifie ton calcul.
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Yasmine veut calculer . Elle écrit : « L'hypoténuse, c'est le côté le plus à droite sur ma figure, donc . Je cherche avec , soit . » Où est l'erreur de Yasmine ?
Pour un triangle rectangle de côtés 3 et 4, Salma écrit : « . » Son résultat est-il correct ? Explique.
Un triangle a cm, cm et cm. Démontre rigoureusement qu'il est rectangle, et précise en quel sommet.
Un cerf-volant est retenu par une ficelle tendue de 25 m. Amine, qui tient la ficelle, est à 7 m à l'horizontale de la verticale du cerf-volant. À quelle hauteur vole le cerf-volant (la ficelle part du sol) ?
Un triangle rectangle a ses deux côtés de l'angle droit qui mesurent 5 cm et 12 cm. Calcule son périmètre.
Karim prépare un déménagement à Rabat. Son carton a la forme d'un pavé droit de 70 cm de long, 40 cm de large et 40 cm de haut, et il voudrait y glisser une tringle à rideaux en la posant en diagonale, d'un coin du fond jusqu'au coin opposé du dessus. Calcule la longueur de la grande diagonale du carton.
Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 11 cm. Est-il rectangle ? Justifie avec la contraposée de Pythagore.
Dans un repère, on se déplace de 5 unités horizontalement puis de 12 unités verticalement pour aller d'un point à un point . Quelle est la distance directe (à vol d'oiseau) ?
Un triangle isocèle a deux côtés égaux de 13 cm et une base de 10 cm. La hauteur issue du sommet coupe la base en son milieu. Calcule cette hauteur.
Parmi ces triplets de longueurs (en cm), lequel forme un triangle rectangle ?
Dans un parc de Marrakech, un toboggan a une partie glissante de 5 m. Le haut du toboggan est à 3 m de hauteur. Yasmine veut savoir quelle distance horizontale au sol sépare le bas de la glissière du pied du toboggan (le point situé juste sous le sommet). Calcule-la, puis vérifie ton résultat à l'aide de l'égalité de Pythagore.
Une salle de stockage à Tanger a la forme d'un pavé droit : 3 m de long, 12 m de large et 4 m de haut. Karim veut y ranger une barre métallique rigide en la plaçant d'un coin du sol jusqu'au coin opposé du plafond. Quelle est la longueur de la plus grande barre qui rentre ?
Un triangle rectangle a une hypoténuse de 15 cm et un côté de l'angle droit de 9 cm. Calcule son aire, en cm².
Dans un repère gradué en kilomètres, on place , . Yasmine veut connaître la longueur du trajet direct à vol d'oiseau.
Le triangle est rectangle en , avec cm et cm. Pour trouver , Salma écrit : « , donc . » Que penses-tu de son calcul ? Corrige-le.
Karim veut vérifier qu'un cadre en bois est bien d'équerre. Il mesure deux côtés adjacents : 60 cm et 80 cm. Puis il mesure la diagonale entre leurs extrémités : il trouve 102 cm. Le coin du cadre est-il un angle droit ? Justifie.
Devant une mosquée de Salé, on installe une rampe d'accès rectiligne pour franchir une marche de 0,7 m de haut. La rampe doit reposer au sol à 2,4 m du pied de la marche. Yasmine veut commander la rampe à la bonne longueur. Quelle longueur de rampe faut-il ?
Un losange a ses diagonales qui mesurent 12 cm et 16 cm. Sachant que les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu et à angle droit, calcule la longueur d'un côté du losange.
Pour calculer la grande diagonale d'un pavé droit de dimensions , , , on applique Pythagore deux fois. Pourquoi n'a-t-on jamais besoin de calculer la diagonale de la base elle-même ?
Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 9 cm. On affirme que, puisque , ce triangle n'est pas rectangle.
Dans un repère gradué en kilomètres posé sur une carte de la région d'Agadir, Amine note trois points d'intérêt : , et . Il affirme : « Le trajet direct de à est plus court que le segment . » A-t-il raison ? Justifie par le calcul.
Dans un devoir, Karim lit : « Un triangle a pour côtés cm, cm et cm. Calcule la longueur de la hauteur issue de . » Karim commence ainsi : « Le plus grand côté est , donc est l'hypoténuse, et d'après Pythagore . » Que penses-tu de son point de départ ?