Trigonométrie

Reconnaître le triangle rectangle

La trigonométrie de 3e s'utilise dans un triangle rectangle.

Un triangle rectangle possède un angle droit, c'est-à-dire un angle de :

$${90}^{\circ }$$

Le côté situé en face de l'angle droit s'appelle l'hypoténuse.

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le plus long côté.

Exemple.

Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors :

• l'angle droit est en $A$ ;
• l'hypoténuse est $BC$ ;
• les deux autres côtés sont $AB$ et $AC$.

Avant d'utiliser la trigonométrie, il faut donc toujours vérifier que le triangle est rectangle.

Côté opposé et côté adjacent

Pour utiliser le sinus, le cosinus et la tangente, il faut savoir repérer les côtés par rapport à un angle aigu.

Dans un triangle rectangle, tu choisis un angle aigu.
Un angle aigu mesure moins de :

$${90}^{\circ }$$

Par rapport à cet angle :

• l'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit ;
• le côté opposé est le côté en face de l'angle choisi ;
• le côté adjacent est le côté qui touche l'angle choisi, sans être l'hypoténuse.

Exemple.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, tu considères l'angle $\widehat{B}$.

• L'hypoténuse est $BC$.
• Le côté opposé à l'angle $\widehat{B}$ est $AC$.
• Le côté adjacent à l'angle $\widehat{B}$ est $AB$.

Si tu changes d'angle, le côté opposé et le côté adjacent peuvent changer.

Le cosinus d'un angle aigu

Exemple.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, tu considères l'angle $\widehat{B}$.

Tu sais que :

• $AB=6$ cm ;
• $BC=10$ cm.

Comme $BC$ est l'hypoténuse et $AB$ est le côté adjacent à l'angle $\widehat{B}$, tu as :

$$\cos (\widehat{B})={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$$

Donc :

$$\cos (\widehat{B})={\displaystyle \frac{6}{10}}=\mathrm{0,6}$$

Le cosinus de l'angle $\widehat{B}$ est donc égal à $\mathrm{0,6}$.

Le sinus d'un angle aigu

Exemple.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, tu considères l'angle $\widehat{B}$.

Tu sais que :

• $AC=8$ cm ;
• $BC=10$ cm.

Comme $BC$ est l'hypoténuse et $AC$ est le côté opposé à l'angle $\widehat{B}$, tu as :

$$\sin (\widehat{B})={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$$

Donc :

$$\sin (\widehat{B})={\displaystyle \frac{8}{10}}=\mathrm{0,8}$$

Le sinus de l'angle $\widehat{B}$ est donc égal à $\mathrm{0,8}$.

La tangente d'un angle aigu

Exemple.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, tu considères l'angle $\widehat{B}$.

Tu sais que :

• $AC=8$ cm ;
• $AB=6$ cm.

Comme $AC$ est le côté opposé à l'angle $\widehat{B}$ et $AB$ est le côté adjacent à cet angle, tu as :

$$\tan (\widehat{B})={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$$

Donc :

$$\tan (\widehat{B})={\displaystyle \frac{8}{6}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$$

La tangente de l'angle $\widehat{B}$ est donc égale à :

$${\displaystyle \frac{4}{3}}$$

Choisir entre sinus, cosinus et tangente

Pour choisir la bonne formule, il faut regarder les côtés connus et le côté recherché.

Les trois formules sont :

$$\cos (\text{angle})={\displaystyle \frac{\text{adjacent}}{\text{hypot}\acute{\text{e}}\text{nuse}}}$$ $$\sin (\text{angle})={\displaystyle \frac{\text{oppos}\acute{\text{e}}}{\text{hypot}\acute{\text{e}}\text{nuse}}}$$ $$\tan (\text{angle})={\displaystyle \frac{\text{oppos}\acute{\text{e}}}{\text{adjacent}}}$$

Tout se lit sur la même figure : par rapport à l'angle choisi, repère le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse, puis lis le rapport qui convient.

Méthode.

1. Vérifier que le triangle est rectangle.
2. Choisir l'angle connu.
3. Repérer l'hypoténuse.
4. Repérer le côté opposé et le côté adjacent à l'angle.
5. Choisir la formule qui utilise les longueurs connues et la longueur recherchée.
6. Résoudre le calcul.
7. Conclure avec l'unité.

Exemple.

Dans un triangle rectangle, tu connais :

• un angle de ${30}^{\circ }$ ;
• l'hypoténuse de 12 cm ;
• tu cherches le côté opposé à cet angle.

La formule qui relie le côté opposé et l'hypoténuse est le sinus :

$$\sin ({30}^{\circ })={\displaystyle \frac{\text{oppos}\acute{\text{e}}}{12}}$$

Comme :

$$\sin ({30}^{\circ })=\mathrm{0,5}$$

tu obtiens :

$$\mathrm{0,5}={\displaystyle \frac{\text{oppos}\acute{\text{e}}}{12}}$$

Donc :

$$\text{oppos}\acute{\text{e}}=12\times \mathrm{0,5}=6$$

La longueur cherchée est donc 6 cm.

Calculer une longueur

La trigonométrie permet de calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle.

Exemple.

Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Tu sais que :

• $\widehat{B}={40}^{\circ }$ ;
• $BC=10$ cm ;
• tu cherches $AC$.

Par rapport à l'angle $\widehat{B}$ :

• $BC$ est l'hypoténuse ;
• $AC$ est le côté opposé.

Tu utilises donc le sinus :

$$\sin ({40}^{\circ })={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$$

Tu remplaces :

$$\sin ({40}^{\circ })={\displaystyle \frac{AC}{10}}$$

Donc :

$$AC=10\times \sin ({40}^{\circ })$$

Avec la calculatrice :

$$AC\approx 10\times \mathrm{0,643}$$

Donc :

$$AC\approx \mathrm{6,4}$$

La longueur $AC$ est environ égale à 6,4 cm.

Quand l'inconnue est au dénominateur

Jusqu'ici, la longueur cherchée se trouvait au numérateur du rapport. Mais il arrive qu'elle soit au dénominateur : c'est un classique du brevet, et l'erreur consiste à multiplier au lieu de diviser.

Exemple.

Un câble part du sommet d'un mât de 5 m et rejoint le sol en faisant un angle de ${30}^{\circ }$ avec le sol. Tu cherches la distance horizontale $d$ entre le pied du mât et le point de fixation.

Par rapport à l'angle de ${30}^{\circ }$ :

• la hauteur du mât (5 m) est le côté opposé ;
• la distance $d$ est le côté adjacent.

C'est la tangente qui relie l'opposé et l'adjacent :

$$\tan ({30}^{\circ })={\displaystyle \frac{5}{d}}$$

Ici l'inconnue $d$ est au dénominateur. Pour l'isoler, tu multiplies les deux côtés par $d$, puis tu divises par $\tan ({30}^{\circ })$ :

$$d\times \tan ({30}^{\circ })=5⟹d={\displaystyle \frac{5}{\tan ({30}^{\circ })}}$$

Avec la calculatrice, $\tan ({30}^{\circ })\approx \mathrm{0,577}$, donc :

$$d\approx {\displaystyle \frac{5}{\mathrm{0,577}}}\approx \mathrm{8,7}$$

La distance horizontale est d'environ 8,7 m. Retiens la règle : quand l'inconnue est au dénominateur, tu divises la longueur connue par le rapport trigonométrique, au lieu de la multiplier.

Calculer un angle

La trigonométrie permet aussi de calculer la mesure d'un angle.

Pour cela, tu utilises les touches de la calculatrice :

• ${\cos }^{-1}$ ou arccos ;
• ${\sin }^{-1}$ ou arcsin ;
• ${\tan }^{-1}$ ou arctan.

Exemple.

Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Tu sais que :

• $AB=6$ cm ;
• $BC=10$ cm.

Tu cherches l'angle $\widehat{B}$.

Par rapport à l'angle $\widehat{B}$ :

• $AB$ est le côté adjacent ;
• $BC$ est l'hypoténuse.

Tu utilises donc le cosinus :

$$\cos (\widehat{B})={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$$

Donc :

$$\cos (\widehat{B})={\displaystyle \frac{6}{10}}=\mathrm{0,6}$$

Avec la calculatrice :

$$\widehat{B}={\cos }^{-1}(\mathrm{0,6})$$

Tu obtiens :

$$\widehat{B}\approx {53}^{\circ }$$

L'angle $\widehat{B}$ mesure environ ${53}^{\circ }$.

Le lien entre les deux angles aigus

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ne sont pas indépendants. Comme la somme des angles d'un triangle vaut ${180}^{\circ }$ et que l'angle droit en occupe déjà ${90}^{\circ }$, il reste ${90}^{\circ }$ à partager entre les deux angles aigus.

Cette complémentarité crée un lien entre le sinus et le cosinus.

Exemple.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, le côté $AC$ joue deux rôles à la fois :

• c'est le côté opposé à l'angle $\widehat{B}$ ;
• c'est le côté adjacent à l'angle $\widehat{C}$.

Donc :

$$\sin (\widehat{B})={\displaystyle \frac{AC}{BC}}\text{et}\cos (\widehat{C})={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$$

Ces deux rapports sont identiques, donc :

$$\sin (\widehat{B})=\cos (\widehat{C})$$

Plus généralement, le sinus d'un angle est égal au cosinus de son complémentaire. Tu retrouveras cette propriété au lycée, lorsque tu étudieras le cercle trigonométrique.

Pièges classiques

Piège 1 : utiliser la trigonométrie dans un triangle non rectangle. Les formules de trigonométrie de 3e s'appliquent seulement dans un triangle rectangle. Sans angle droit, tu ne peux pas utiliser directement sinus, cosinus ou tangente.

Piège 2 : se tromper de côté opposé ou adjacent. Le côté opposé et le côté adjacent dépendent de l'angle choisi. Si tu changes d'angle aigu, ces deux côtés s'échangent.

Piège 3 : confondre sinus, cosinus et tangente. Il faut choisir la formule selon les côtés en jeu :

$$\cos ={\displaystyle \frac{\text{adjacent}}{\text{hypot}\acute{\text{e}}\text{nuse}}}\sin ={\displaystyle \frac{\text{oppos}\acute{\text{e}}}{\text{hypot}\acute{\text{e}}\text{nuse}}}\tan ={\displaystyle \frac{\text{oppos}\acute{\text{e}}}{\text{adjacent}}}$$

Un moyen mnémotechnique : CAH-SOH-TOA.

Piège 4 : oublier de mettre la calculatrice en degrés. En 3e, les angles sont mesurés en degrés. Si la calculatrice est en radians, $\sin (30\mathrm{°})$ ne donnera pas $\mathrm{0,5}$. Vérifie toujours le mode (« DEG »).

Piège 5 : confondre calculer un angle et calculer un cosinus. Pour trouver une longueur, tu utilises $\cos$, $\sin$ ou $\tan$. Pour trouver un angle à partir d'un rapport, tu utilises les touches inverses ${\cos }^{-1}$, ${\sin }^{-1}$, ${\tan }^{-1}$. Écrire $\widehat{B}=\cos (\mathrm{0,6})$ au lieu de ${\cos }^{-1}(\mathrm{0,6})$ est une erreur fréquente.

Piège 6 : arrondir trop tôt. Il vaut mieux garder plusieurs chiffres pendant le calcul et arrondir seulement à la fin, sinon les erreurs s'accumulent.

Application concrète

Karim se demande quelle est la hauteur d'un immeuble du centre de Casablanca. Il propose : « Je me place à une distance connue, je mesure l'angle vers le sommet, et la trigonométrie fait le reste. » Suivons sa méthode.

Étape 1 — Poser la situation. Karim se place à 20 m du pied de l'immeuble et mesure un angle de ${35}^{\circ }$ entre le sol et le sommet. La hauteur $h$ est le côté opposé à cet angle, la distance de 20 m est le côté adjacent.

Étape 2 — Choisir la bonne formule. Karim connaît l'adjacent et cherche l'opposé : c'est la tangente qui les relie.

$$\tan ({35}^{\circ })={\displaystyle \frac{h}{20}}⟹h=20\times \tan ({35}^{\circ })$$

Étape 3 — Calculer. À la calculatrice (en mode degrés), $\tan ({35}^{\circ })\approx \mathrm{0,700}$, donc :

$$h\approx 20\times \mathrm{0,700}\approx 14$$

L'immeuble mesure environ 14 m. La méthode de Karim fonctionne.

Étape 4 — Le même outil pour une pente. Pour une rampe qui monte de 1,5 m sur 6 m d'horizontale, $\tan (\theta )={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{6}}=\mathrm{0,25}$, d'où $\theta ={\tan }^{-1}(\mathrm{0,25})\approx {14}^{\circ }$.

Conclusion. Avec un angle et une seule longueur, la trigonométrie donne accès à des distances qu'on ne peut pas mesurer directement : hauteur d'un immeuble, largeur d'une rivière, inclinaison d'une pente. Tu retrouveras ces rapports en physique et, plus tard, dans le cercle trigonométrique de 1ʳᵉ.

À retenir