Trigonométrie — exercices corrigés

Dans un triangle rectangle, à quoi est égal le cosinus d'un angle aigu ?

Dans un triangle rectangle, à quoi est égal le sinus d'un angle aigu ?

Dans un triangle rectangle, à quoi est égale la tangente d'un angle aigu ?

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté adjacent $AB=6$ cm et l'hypoténuse $BC=10$ cm. Calcule $\cos (\widehat{B})$.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté opposé $AC=8$ cm et l'hypoténuse $BC=10$ cm. Calcule $\sin (\widehat{B})$.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, quel côté est le côté opposé ?

On affirme que les formules $\cos$, $\sin$ et $\tan$ vues en 3e ne s'utilisent que dans un triangle rectangle.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté opposé $AC=8$ cm et le côté adjacent $AB=6$ cm. Donne $\tan (\widehat{B})$ sous forme a/b irréductible.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Quel côté est l'hypoténuse, quel que soit l'angle aigu considéré ?

On affirme qu'avant d'utiliser la calculatrice en trigonométrie en 3e, il faut vérifier qu'elle est en mode degrés.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{C}$, quel côté est le côté adjacent ?

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté adjacent $AB=5$ cm et l'hypoténuse $BC=13$ cm. Donne $\cos (\widehat{B})$ sous forme a/b irréductible.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté opposé $AC=12$ cm et l'hypoténuse $BC=13$ cm. Donne $\sin (\widehat{B})$ sous forme a/b irréductible.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, la tangente est égale à quel quotient ?

Le triangle $RST$ est rectangle en $R$. Par rapport à l'angle $\widehat{S}$, le côté opposé $RT=9$ cm et l'hypoténuse $ST=15$ cm. Calcule $\sin (\widehat{S})$ sous forme décimale.

Dans un triangle rectangle, on affirme que l'hypoténuse est toujours le plus long des trois côtés.

Le triangle $MNP$ est rectangle en $M$. Par rapport à l'angle $\widehat{N}$, quel quotient donne $\cos (\widehat{N})$ ?

On affirme que la tangente d'un angle aigu peut être supérieure à $1$.

À l'aide de la calculatrice en mode degrés, donne une valeur approchée de $\cos ({60}^{\circ })$.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté adjacent $AB=20$ cm et l'hypoténuse $BC=25$ cm. Calcule $\cos (\widehat{B})$ sous forme décimale.

Le triangle $MNP$ est rectangle en $M$. Par rapport à l'angle $\widehat{P}$, quel quotient donne $\sin (\widehat{P})$ ?

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{C}$, quel quotient donne $\tan (\widehat{C})$ ?

À l'aide de la calculatrice en mode degrés, on cherche une valeur approchée de $\sin ({45}^{\circ })$. Laquelle est correcte ?

Quel rapport trigonométrique relie le côté opposé à un angle aigu et l'hypoténuse ?

Le triangle $RST$ est rectangle en $R$. Par rapport à l'angle $\widehat{T}$, quel côté est le côté opposé ?

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté adjacent $AB=3$ cm et l'hypoténuse $BC=5$ cm. Calcule $\cos (\widehat{B})$ sous forme décimale.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté opposé $AC=3$ cm et le côté adjacent $AB=4$ cm. Calcule $\tan (\widehat{B})$ sous forme décimale.

Le triangle $MNP$ est rectangle en $M$. Par rapport à l'angle $\widehat{N}$, le côté opposé $MP=7$ cm et l'hypoténuse $NP=25$ cm. Calcule $\sin (\widehat{N})$ sous forme décimale.

On affirme que le sinus d'un angle aigu est toujours strictement inférieur à $1$.

Dans un triangle rectangle, on affirme que si l'on change d'angle aigu de référence, le côté opposé et le côté adjacent s'échangent.

Dans un triangle rectangle, on connaît un angle de $30\mathrm{°}$ et l'hypoténuse de 12 cm. On cherche le côté opposé à cet angle. On donne $\sin (30\mathrm{°})=\mathrm{0,5}$. Calcule ce côté.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $\widehat{B}=40\mathrm{°}$ et $BC=10$ cm. On cherche $AC$ (côté opposé à $\widehat{B}$). On donne $\sin (40\mathrm{°})\approx \mathrm{0,643}$. Donne $AC$ arrondi au dixième de cm.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=6$ cm (adjacent à $\widehat{B}$) et $BC=10$ cm (hypoténuse). On donne ${\cos }^{-1}(\mathrm{0,6})\approx 53\mathrm{°}$. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{B}$ arrondie au degré.

On connaît un angle aigu et le côté adjacent à cet angle, et on cherche le côté opposé. Quelle formule faut-il utiliser ?

Dans un triangle rectangle, un angle de $60\mathrm{°}$ a une hypoténuse de 14 cm. On cherche le côté adjacent à cet angle. On donne $\cos (60\mathrm{°})=\mathrm{0,5}$. Calcule ce côté.

Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle aigu, le côté opposé mesure 9 cm et le côté adjacent 12 cm. Donne la tangente de cet angle sous forme a/b irréductible.

Dans un triangle rectangle, on cherche un côté connaissant l'angle et l'hypoténuse, et le côté cherché est adjacent à l'angle. Karim utilise le sinus. A-t-il choisi la bonne formule ?

Une rampe fait un angle de $45\mathrm{°}$ avec le sol. Sa partie horizontale mesure 5 m. On donne $\tan (45\mathrm{°})=1$. Quelle est la hauteur atteinte (le côté opposé à l'angle) ?

Un élève calcule le cosinus d'un angle aigu et trouve $\mathrm{1,25}$. On affirme qu'il a forcément commis une erreur.

Une route monte de 3 m sur une distance horizontale de 4 m. Quelle formule trigonométrique permet de trouver l'angle d'inclinaison de la route, et quel rapport faut-il calculer ?

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $\widehat{B}={50}^{\circ }$ et $BC=8$ cm. On cherche $AC$ (côté opposé à $\widehat{B}$). On donne $\sin ({50}^{\circ })\approx \mathrm{0,766}$. Donne $AC$ arrondi au dixième de cm.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $\widehat{B}={35}^{\circ }$ et $BC=12$ cm. On cherche $AB$ (côté adjacent à $\widehat{B}$). On donne $\cos ({35}^{\circ })\approx \mathrm{0,819}$. Donne $AB$ arrondi au dixième de cm.

Une rampe d'accès fait un angle de ${32}^{\circ }$ avec le sol. Sa partie horizontale (le côté adjacent à l'angle) mesure 9 m. On donne $\tan ({32}^{\circ })\approx \mathrm{0,625}$. Quelle est la hauteur atteinte (le côté opposé à l'angle), arrondie au dixième de m ?

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AC=6$ cm (opposé à $\widehat{B}$) et $BC=10$ cm (hypoténuse). On donne ${\sin }^{-1}(\mathrm{0,6})\approx {37}^{\circ }$. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{B}$ arrondie au degré.

On connaît un angle aigu et l'hypoténuse, et on cherche le côté opposé à cet angle. Quelle formule faut-il utiliser ?

Dans un triangle rectangle, on connaît le côté adjacent à un angle aigu et l'hypoténuse, et on cherche la mesure de cet angle. Quelle touche de la calculatrice donne directement l'angle ?

Yasmine appuie une échelle contre un mur vertical. L'échelle (la partie inclinée) est l'hypoténuse et mesure 4 m ; elle fait un angle de ${70}^{\circ }$ avec le sol. Pour calculer la hauteur atteinte sur le mur (côté opposé à l'angle), quel calcul est correct ?

Dans un triangle rectangle, on cherche un côté connaissant l'angle et le côté opposé à cet angle, et le côté cherché est l'hypoténuse. Salma écrit $\text{hypot}\acute{\text{e}}\text{nuse}=\text{oppos}\acute{\text{e}}\times \sin (\text{angle})$. A-t-elle raison ?

On affirme que dans un triangle rectangle, si la tangente d'un angle aigu vaut exactement $1$, alors cet angle mesure ${45}^{\circ }$.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté opposé $AC=15$ cm et le côté adjacent $AB=8$ cm. Donne $\tan (\widehat{B})$ sous forme a/b irréductible.

Sur la plage de Mohammedia, Amine tient un cerf-volant au bout d'une ficelle tendue de 50 m, qui fait un angle de ${40}^{\circ }$ avec le sol horizontal. La ficelle est l'hypoténuse. Quelle formule trigonométrique permet de trouver l'altitude du cerf-volant au-dessus de la main d'Amine, et quel calcul faut-il poser ?

Pour un devoir, Yasmine doit trouver un côté du triangle $ABC$. On lui donne l'angle $\widehat{A}={50}^{\circ }$ et deux longueurs, mais le triangle $ABC$ n'a aucun angle droit. Karim lui souffle : « Pas de souci, écris $\cos ({50}^{\circ })={\displaystyle \frac{\text{adjacent}}{\text{hypot}\acute{\text{e}}\text{nuse}}}$ et calcule. » Karim a-t-il raison ?

Amine cherche un côté opposé dans un triangle rectangle avec $\sin ({30}^{\circ })={\displaystyle \frac{\text{oppos}\acute{\text{e}}}{12}}$. Il tape « $\sin (30)$ » sur sa calculatrice et lit $-\mathrm{0,988}$. Il en conclut : « le côté opposé vaut $12\times (-\mathrm{0,988})\approx -\mathrm{11,9}$ cm ». Où est l'erreur ?

Salma calcule la hauteur $h$ d'un mât à Essaouira : $h=25\times \tan ({38}^{\circ })$. Sa calculatrice affiche $\tan ({38}^{\circ })=\mathrm{0,78128}\dots$ Elle se dit : « j'arrondis tout de suite à $\mathrm{0,8}$ pour faire plus simple », puis écrit $h=25\times \mathrm{0,8}=20$ m. La valeur précise est $h\approx \mathrm{19,5}$ m. Quelle erreur Salma a-t-elle commise ?

À Fès, Karim veut connaître la hauteur du minaret d'une mosquée. Il se place à 25 m du pied du minaret et mesure un angle de ${52}^{\circ }$ entre le sol et le sommet. On donne $\tan ({52}^{\circ })\approx \mathrm{1,280}$. Quelle est, environ, la hauteur du minaret ?

Pour mesurer la largeur d'une rivière, Yasmine vise un arbre sur l'autre rive. En se plaçant face à l'arbre puis en marchant 30 m le long de la rive, elle mesure un angle de $45\mathrm{°}$ entre sa ligne de marche et l'arbre. On donne $\tan (45\mathrm{°})=1$. Quelle est la largeur de la rivière ?

Dans la médina de Chefchaouen, une ruelle en pente monte de 2,4 m sur une distance horizontale de 8 m. On donne ${\tan }^{-1}(\mathrm{0,3})\approx {17}^{\circ }$. Quel est l'angle d'inclinaison de la ruelle, arrondi au degré ?

Pour trouver un angle $\widehat{B}$ tel que $\cos (\widehat{B})=\mathrm{0,8}$, Salma tape « $\cos (\mathrm{0,8})$ » sur sa calculatrice. Sa démarche est-elle correcte ? Explique.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=8$ cm et $AC=6$ cm. Calcule d'abord l'hypoténuse $BC$, puis donne la valeur de $\cos (\widehat{B})$.

Un poteau vertical de 2 m projette une ombre de 2 m au sol. On donne ${\tan }^{-1}(1)=45\mathrm{°}$. Quel est l'angle que font les rayons du soleil avec le sol ?

Un câble part du sommet d'un mât et est fixé au sol en faisant un angle de $30\mathrm{°}$ avec le sol. La hauteur du mât est de 5 m (côté opposé à l'angle de $30\mathrm{°}$). On donne $\tan (30\mathrm{°})\approx \mathrm{0,577}$. Quelle est, environ, la distance horizontale entre le pied du mât et le point de fixation, arrondie au mètre ?

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on affirme que $\sin (\widehat{B})=\cos (\widehat{C})$.

Dans un triangle rectangle, on connaît l'hypoténuse et on cherche un angle aigu dont on connaît le côté opposé. Quelle touche de la calculatrice donne directement cet angle ?

Amine observe un toit en pente. Le versant (la partie inclinée) mesure 6 m et fait un angle de $30\mathrm{°}$ avec l'horizontale. On donne $\sin (30\mathrm{°})=\mathrm{0,5}$ et $\cos (30\mathrm{°})\approx \mathrm{0,866}$. Calcule la hauteur gagnée par le versant, puis sa portée horizontale (arrondie au dixième de m).

Yasmine conçoit une rampe d'accès pour fauteuils roulants devant une bibliothèque de Rabat. La rampe doit franchir une marche de $\mathrm{0,45}$ m de hauteur en faisant un angle de $6^{\circ }$ avec le sol horizontal. La rampe, la hauteur de la marche et le sol forment un triangle rectangle : l'angle droit est au pied de la marche, l'angle de $6^{\circ }$ est en bas de la rampe, la hauteur de $\mathrm{0,45}$ m est le côté opposé à l'angle de $6^{\circ }$, et la rampe elle-même est l'hypoténuse. On donne $\sin (6^{\circ })\approx \mathrm{0,105}$. Quelle longueur de rampe Yasmine doit-elle prévoir, arrondie au dixième de mètre ?

Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$. On sait que $DE=9$ cm et $DF=12$ cm. Salma veut calculer $\cos (\widehat{E})$ et écrit : « le côté adjacent à $\widehat{E}$, c'est $DF$, donc $\cos (\widehat{E})={\displaystyle \frac{DF}{EF}}$ ». Sa désignation du côté adjacent est-elle correcte ? Sinon, corrige-la et donne la bonne valeur de $\cos (\widehat{E})$.

Pour mesurer la largeur d'une place à Marrakech, Karim se place à un coin. Il vise le coin opposé et mesure un angle de ${40}^{\circ }$ entre le bord de la place (sur lequel il avance) et sa ligne de visée. Le triangle est rectangle : l'angle droit est au coin où il vise, le bord du fond mesure $30$ m et c'est le côté adjacent à l'angle de ${40}^{\circ }$, la largeur cherchée est le côté opposé. Karim propose : « la largeur, c'est $30\times \cos ({40}^{\circ })$ ». Justifie pourquoi sa méthode est fausse, puis donne la bonne formule. On donne $\tan ({40}^{\circ })\approx \mathrm{0,839}$.

Amine étudie l'inclinaison d'un escalier d'une riad de Marrakech. Vu de côté, l'escalier dessine un triangle rectangle : l'angle droit est en bas, la hauteur totale (la dénivelée) est de $\mathrm{2,8}$ m, la profondeur au sol (la portée horizontale) est de $\mathrm{4,2}$ m, et la rampe oblique relie le bas au sommet. On donne ${\tan }^{-1}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\approx {34}^{\circ }$. Calcule d'abord la longueur de la rampe oblique, puis l'angle que l'escalier fait avec le sol (arrondi au degré).

Sur un chantier de Tanger, Yasmine veut connaître la hauteur d'une grue. Elle se place à $40$ m du pied de la grue et mesure un angle de ${50}^{\circ }$ entre le sol horizontal et le sommet. Le triangle formé est rectangle : l'angle droit est au pied de la grue, la hauteur cherchée est le côté opposé à l'angle de ${50}^{\circ }$, et la distance de $40$ m est le côté adjacent. On donne $\tan ({50}^{\circ })\approx \mathrm{1,19}$. Quelle est la hauteur de la grue, arrondie au dixième de mètre ?

Sur la plage d'Essaouira, Amine fait voler un cerf-volant. La ficelle, bien tendue, mesure $50$ m, et le cerf-volant est à une hauteur de $30$ m au-dessus de la main d'Amine. La ficelle, la hauteur et l'horizontale forment un triangle rectangle : l'angle droit est sous le cerf-volant, la ficelle de $50$ m est l'hypoténuse, la hauteur de $30$ m est le côté opposé à l'angle que la ficelle fait avec l'horizontale. On donne ${\sin }^{-1}(\mathrm{0,6})\approx {37}^{\circ }$. Quel angle la ficelle fait-elle avec l'horizontale, arrondi au degré ?

Karim appuie une échelle de $4$ m contre un mur vertical pour repeindre une façade à Meknès. L'échelle fait un angle de ${70}^{\circ }$ avec le sol horizontal. L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle : l'angle droit est au pied du mur, l'échelle de $4$ m est l'hypoténuse, et la distance entre le pied de l'échelle et le mur est le côté adjacent à l'angle de ${70}^{\circ }$. On donne $\cos ({70}^{\circ })\approx \mathrm{0,342}$. À quelle distance du mur, arrondie au dixième de mètre, Karim doit-il poser le pied de l'échelle ?

Dans un triangle rectangle, tu connais la mesure d'un angle aigu et la longueur de l'hypoténuse, et tu cherches la longueur du côté opposé à cet angle. Quelle relation te permet de le calculer directement ?

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On sait que $\widehat{B}={35}^{\circ }$ et que $\cos ({35}^{\circ })\approx \mathrm{0,819}$. Sans aucun nouveau calcul de cosinus, que vaut $\sin (\widehat{C})$ ?

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est toujours strictement inférieur à $1$, mais sa tangente, elle, peut dépasser $1$.