Fonctions linéaires et affines

Comprendre la notion de fonction

Exemple.

On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=2x+3$$

Pour calculer l'image de 4, tu remplaces $x$ par 4 :

$$f(4)=2\times 4+3$$

Donc :

$$f(4)=8+3=11$$

L'image de 4 par la fonction $f$ est 11.

Tu peux aussi dire :

$$f(4)=11$$

Antécédent et image

Dans l'égalité :

$$f(4)=11$$

• 4 est un antécédent ;
• 11 est l'image de 4.

Autrement dit, la fonction transforme 4 en 11.

Exemple concret.

Une salle de sport propose un tarif de 30 dh par séance.
Si $x$ représente le nombre de séances, le prix total est :

$$f(x)=30x$$

Pour 5 séances :

$$f(5)=30\times 5=150$$

L'image de 5 est 150.
Cela signifie que 5 séances coûtent 150 dh.

Trouver un antécédent

Calculer une image et chercher un antécédent sont deux opérations inverses l'une de l'autre :

• calculer une image, c'est partir de $x$ et appliquer la fonction ;
• chercher un antécédent, c'est partir d'une image et résoudre une équation pour retrouver $x$.

Exemple.

On considère la fonction $f(x)=2x+3$, et on cherche l'antécédent de 11. Autrement dit, on cherche la valeur de $x$ telle que :

$$f(x)=11$$

c'est-à-dire :

$$2x+3=11$$

Tu résous cette équation comme tu l'as appris au chapitre précédent. Tu soustrais 3 :

$$2x=8$$

puis tu divises par 2 :

$$x=4$$

L'antécédent de 11 est donc 4. Tu peux vérifier : $f(4)=2\times 4+3=11$. C'est bien le sens inverse du calcul d'image.

Les fonctions linéaires

Exemples.

$$f(x)=3x$$ $$g(x)=-2x$$ $$h(x)=\mathrm{0,5}x$$

Ces fonctions sont linéaires parce qu'elles sont toutes de la forme $ax$.

Fonction linéaire et proportionnalité

Une fonction linéaire correspond toujours à une situation de proportionnalité.

Exemple.

Un kilogramme de pommes coûte 12 dh.
Si $x$ représente la masse en kilogrammes, le prix est :

$$f(x)=12x$$

Tu as donc :

$$f(1)=12$$ $$f(2)=24$$ $$f(5)=60$$

Le prix est proportionnel à la masse.

Représenter une fonction linéaire

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère.

L'origine est le point de coordonnées :

$$(0;0)$$

Exemple.

Pour la fonction :

$$f(x)=2x$$

Tu peux calculer quelques images :

$x$	0	1	2	3
$f(x)$	0	2	4	6

Les points correspondants sont :

$$(0;0),(1;2),(2;4),(3;6)$$

Ils sont alignés sur une droite qui passe par l'origine.

Les fonctions affines

Exemples.

$$f(x)=2x+3$$ $$g(x)=-5x+1$$ $$h(x)=4x-7$$

Ces fonctions sont affines parce qu'elles sont de la forme $ax+b$.

Comprendre le rôle de $a$ et de $b$

Dans une fonction affine :

$$f(x)=ax+b$$

• $a$ indique la variation de la fonction ;
• $b$ est l'image de 0.

Exemple.

On considère :

$$f(x)=3x+5$$

Ici :

• $a=3$ ;
• $b=5$.

Calculons l'image de 0 :

$$f(0)=3\times 0+5=5$$

Donc $b$ correspond bien à l'image de 0.

Exemple concret

Un taxi facture 7 dh de prise en charge, puis 5 dh par kilomètre.

Si $x$ est le nombre de kilomètres parcourus, le prix est :

$$f(x)=5x+7$$

Cette fonction est affine.

Elle n'est pas linéaire, car il y a une somme fixe de 7 dh au départ. Même pour 0 km, le prix est déjà de 7 dh.

Représenter une fonction affine

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

Contrairement à une fonction linéaire, cette droite ne passe pas forcément par l'origine.

Exemple.

On considère :

$$f(x)=2x+1$$

Calculons quelques images :

$x$	0	1	2	3
$f(x)$	1	3	5	7

Les points correspondants sont :

$$(0;1),(1;3),(2;5),(3;7)$$

Ils sont alignés sur une droite.

Le point $(0;1)$ montre que la droite coupe l'axe vertical au niveau de 1.

Lire et interpréter le coefficient directeur

Dans une fonction affine $f(x)=ax+b$, le coefficient directeur $a$ contient à lui seul beaucoup d'informations. Apprendre à le lire et à l'interpréter te permet de comprendre une droite d'un seul coup d'œil.

Le signe de $a$ donne le sens de variation

Le coefficient $a$ indique comment $f(x)$ évolue quand $x$ augmente.

Exemple.

Pour $f(x)=-2x+5$, le coefficient $a=-2$ est négatif : la fonction est décroissante. On le vérifie sur quelques images :

$$f(0)=5,f(1)=3,f(2)=1$$

Quand $x$ augmente, les images diminuent : la droite descend.

Sur un même repère, le signe de $a$ se lit d'un coup d'œil à l'inclinaison de la droite.

Lire $a$ comme une pente sur le graphique

Le coefficient directeur se lit directement sur la droite : c'est la montée (ou la descente) quand $x$ augmente de 1.

Exemple.

Une droite coupe l'axe vertical en 4, et quand $x$ augmente de 1, elle monte de 2. Tu lis directement :

• la montée de 2 pour un pas de 1 donne le coefficient directeur $a=2$ ;
• le point où la droite coupe l'axe vertical donne l'ordonnée à l'origine $b=4$.

La fonction est donc $f(x)=2x+4$. Attention à ne pas inverser les rôles : le « monte de 2 » donne $a$, le « coupe en 4 » donne $b$ — écrire $f(x)=4x+2$ serait une erreur.

Même coefficient directeur, droites parallèles

Comme $a$ représente la pente, deux droites de même coefficient directeur ont la même inclinaison : elles sont parallèles.

Exemple.

Les fonctions $f(x)=4x+1$ et $g(x)=4x-3$ ont toutes deux $a=4$ : leurs droites sont parallèles. La fonction $h(x)=2x+1$, avec $a=2$, a une droite moins pentue : elle n'est parallèle à aucune des deux.

Sur le graphique ci-dessous, garde le même $a$ et fais seulement varier $b$ : les droites glissent verticalement sans jamais se croiser.

Déterminer une fonction linéaire

Pour déterminer une fonction linéaire, il suffit de trouver son coefficient.

Une fonction linéaire est de la forme :

$$f(x)=ax$$

Si tu connais une valeur de $x$ et son image, tu peux trouver $a$.

Exemple.

On sait que $f$ est une fonction linéaire et que :

$$f(4)=20$$

Comme $f(x)=ax$, alors :

$$f(4)=4a$$

Donc :

$$4a=20$$

Tu divises par 4 :

$$a=5$$

La fonction est donc :

$$f(x)=5x$$

Méthode rapide

Pour une fonction linéaire :

$$a={\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$$

à condition que $x\mathrm{\ne }0$.

Exemple.

Si $f(6)=18$, alors :

$$a={\displaystyle \frac{18}{6}}=3$$

Donc :

$$f(x)=3x$$

Déterminer une fonction affine

Pour déterminer une fonction affine, tu cherches une expression de la forme :

$$f(x)=ax+b$$

Si tu connais deux points de la droite, tu peux trouver $a$ puis $b$.

Exemple.

On sait que :

$$f(2)=7$$

et :

$$f(5)=16$$

Quand $x$ passe de 2 à 5, il augmente de :

$$5-2=3$$

L'image passe de 7 à 16, elle augmente de :

$$16-7=9$$

Le coefficient $a$ vaut donc :

$$a={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$$

La fonction est de la forme :

$$f(x)=3x+b$$

Tu utilises maintenant $f(2)=7$ :

$$3\times 2+b=7$$

Donc :

$$6+b=7$$

Ainsi :

$$b=1$$

La fonction est donc :

$$f(x)=3x+1$$

Pièges classiques

Piège 1 : confondre fonction linéaire et fonction affine. Une fonction linéaire est de la forme $f(x)=ax$ et passe toujours par l'origine. Une fonction affine est de la forme $f(x)=ax+b$ et ne passe pas forcément par l'origine. Ainsi $f(x)=3x+2$ n'est pas linéaire : c'est une fonction affine.

Piège 2 : confondre antécédent et image. Dans $f(4)=11$, le nombre 4 est l'antécédent (le nombre de départ) et 11 est l'image (le résultat du calcul). L'image, c'est ce que tu obtiens après avoir appliqué la fonction.

Piège 3 : penser que toute droite représente une fonction linéaire. Toute fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine. Mais une droite qui ne passe pas par l'origine représente une fonction affine qui n'est pas linéaire.

Piège 4 : se tromper dans le rôle de $a$ et de $b$. Pour $f(x)=2x+5$, Karim affirme que le coefficient directeur est 5. C'est faux : le coefficient directeur est $a=2$ ; le nombre $b=5$ est l'image de 0, l'endroit où la droite coupe l'axe vertical.

Piège 5 : croire qu'une fonction affine traduit une proportionnalité. Seules les fonctions linéaires ($b=0$) traduisent une proportionnalité. Pour $f(x)=5x+7$, doubler $x$ ne double pas $f(x)$ à cause des 7 fixes : $f(2)=17$ mais $f(4)=27\mathrm{\ne }2\times 17$.

Piège 6 : utiliser $a={\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$ avec $x=0$. La formule rapide $a={\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$ pour une fonction linéaire n'est valable que si $x\mathrm{\ne }0$ : on ne divise jamais par zéro. Avec $x=0$, $f(0)=0$ ne donne aucune information sur $a$.

Application concrète

Amine doit choisir un forfait téléphone à Casablanca. Deux opérateurs s'affrontent : l'offre A coûte 20 dh par mois, sans frais d'ouverture ; l'offre B coûte 50 dh d'ouverture, puis 10 dh par mois. Amine veut savoir laquelle est la plus avantageuse selon la durée.

Étape 1 — Modéliser chaque offre par une fonction. En notant $x$ le nombre de mois :

$$A(x)=20xB(x)=10x+50$$

L'offre A est linéaire (proportionnelle au temps) ; l'offre B est affine, à cause des 50 dh fixes au départ.

Étape 2 — Chercher le point d'égalité. Les deux offres coûtent le même prix quand $A(x)=B(x)$ :

$$20x=10x+50$$

Amine soustrait $10x$, puis divise par 10 :

$$10x=50⟹x=5$$

Au bout de 5 mois, les deux offres reviennent au même : $20\times 5=100$ dh de chaque côté.

Étape 3 — Conclure selon la durée. Avant 5 mois, l'offre A est moins chère ; après 5 mois, c'est l'offre B qui devient avantageuse, car ses 50 dh fixes sont vite compensés par son tarif mensuel plus bas.

Conclusion. En traduisant chaque tarif par une fonction, Amine compare les deux offres pour toutes les durées d'un seul coup. Cette idée de comparer deux droites pour trouver leur point d'intersection, tu la retrouveras en 2ⁿᵈᵉ avec les systèmes d'équations.

À retenir