Probabilités conditionnelles

Leçon 1 — Probabilité conditionnelle

Quand on sait qu'un événement $A$ est réalisé, l'univers possible se réduit à $A$. On ne raisonne plus sur toute la population, mais seulement sur les cas où $A$ est vrai.

On lit : « probabilité de $B$ sachant $A$ ».

Exemple. Dans une classe, $60\mathrm{\%}$ des élèves font espagnol. Parmi les élèves qui font espagnol, $40\mathrm{\%}$ participent à un club.

Si $A$ désigne « l'élève fait espagnol » et $B$ désigne « l'élève participe à un club », alors : $P_A(B)=\mathrm{0,40.}$

Cela ne signifie pas que $40\mathrm{\%}$ de toute la classe participe au club. Cela signifie que $40\mathrm{\%}$ des élèves parmi ceux qui font espagnol participent au club.

Le piège de l'univers

Karim confond $P(B)$ et $P_A(B)$.

Ce sont deux probabilités différentes :

• $P(B)$ regarde toute la population ;
• $P_A(B)$ regarde seulement la partie où $A$ est réalisé.

Leçon 2 — Formule du produit

La définition de la probabilité conditionnelle permet de calculer une intersection.

Cette formule est très utilisée dans les arbres pondérés.

Exemple. Une entreprise reçoit des candidatures. $30\mathrm{\%}$ viennent de la filière scientifique. Parmi ces candidatures, $20\mathrm{\%}$ sont retenues.

On note :

• $S$ : « la candidature vient de la filière scientifique » ;
• $R$ : « la candidature est retenue ».

On a : $P(S)=\mathrm{0,30.}$

et : $P_S(R)=\mathrm{0,20.}$

Donc : $P(S\cap R)=P(S)P_S(R)=\mathrm{0,30}\times \mathrm{0,20}=\mathrm{0,06.}$

Ainsi, $6\mathrm{\%}$ des candidatures sont à la fois scientifiques et retenues.

Le piège de l'addition

Salma additionne $\mathrm{0,30}$ et $\mathrm{0,20}$ et trouve $\mathrm{0,50}$.

C'est faux. Pour une intersection le long d'un chemin, on multiplie.

Leçon 3 — Arbres pondérés

Un arbre pondéré est une manière claire d'organiser des probabilités conditionnelles.

Exemple. Une compagnie de transport observe que $70\mathrm{\%}$ des voyageurs achètent leur billet en ligne. Parmi eux, $90\mathrm{\%}$ valident leur billet sans aide. Parmi ceux qui achètent au guichet, $60\mathrm{\%}$ valident leur billet sans aide.

On note :

• $L$ : « achat en ligne » ;
• $V$ : « validation sans aide ».

On a : $P(L)=\mathrm{0,70.}$

Donc : $P(\bar{L})=\mathrm{0,30.}$

On a aussi : $P_L(V)=\mathrm{0,90}\text{et}{P}_{\bar{L}}(V)=\mathrm{0,60.}$

La probabilité du chemin $L\cap V$ est : $P(L\cap V)=\mathrm{0,70}\times \mathrm{0,90}=\mathrm{0,63.}$

La probabilité du chemin $\bar{L}\cap V$ est : $P(\bar{L}\cap V)=\mathrm{0,30}\times \mathrm{0,60}=\mathrm{0,18.}$

Le piège des branches complémentaires

Karim écrit que si $P_L(V)=\mathrm{0,90}$, alors $P_{\bar{L}}(V)=\mathrm{0,10}$.

C'est faux. Le complément de $P_L(V)$ est $P_L(\bar{V})$, pas $P_{\bar{L}}(V)$.

Ici : $P_L(\bar{V})=\mathrm{0,10.}$

Mais : $P_{\bar{L}}(V)=\mathrm{0,60.}$

Leçon 4 — Formule des probabilités totales

Quand un événement peut se produire par plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins.

Avec les probabilités conditionnelles : $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)\mathrm{.}$

Exemple. Dans l'exemple du transport, la probabilité qu'un voyageur valide son billet sans aide est : $P(V)=P(L\cap V)+P(\bar{L}\cap V)\mathrm{.}$

Donc : $P(V)=\mathrm{0,63}+\mathrm{0,18}=\mathrm{0,81.}$

Ainsi, $81\mathrm{\%}$ des voyageurs valident leur billet sans aide.

Visualise pourquoi : l'univers se découpe en parts disjointes, et $B$ traverse chacune d'elles.

Le piège du chemin oublié

Salma calcule seulement $P(L\cap V)$ et oublie le chemin $\bar{L}\cap V$.

Elle trouve $\mathrm{0,63}$ au lieu de $\mathrm{0,81}$.

Leçon 5 — Inversion de condition et formule de Bayes

Une erreur fréquente consiste à confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$.

Ces deux probabilités sont généralement différentes.

Pour cela, on utilise la formule de Bayes.

Exemple. On reprend l'exemple du transport. On sait : $P(L)=\mathrm{0,70},P_L(V)=\mathrm{0,90},P(V)=\mathrm{0,81.}$

On cherche la probabilité qu'un voyageur ait acheté en ligne sachant qu'il a validé sans aide : $P_V(L)={\displaystyle \frac{P(L)P_L(V)}{P(V)}}\mathrm{.}$

Donc : $P_V(L)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,70}\times \mathrm{0,90}}{\mathrm{0,81}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,63}}{\mathrm{0,81}}}\approx \mathrm{0,778.}$

Environ $\mathrm{77,8}\mathrm{\%}$ des voyageurs qui valident sans aide ont acheté leur billet en ligne.

Le piège de l'inversion automatique

Karim pense que : $P_A(B)=P_B(A)\mathrm{.}$

C'est faux en général.

Par exemple, la probabilité d'avoir un résultat positif sachant qu'on est malade n'est pas la même chose que la probabilité d'être malade sachant que le test est positif.

Leçon 6 — Indépendance

Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre.

Si $P(A)>0$, cela revient à dire : $P_A(B)=P(B)\mathrm{.}$

Pourquoi ces deux écritures sont-elles équivalentes ? La démonstration

L'indépendance a deux visages : l'égalité symétrique $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, et l'égalité conditionnelle $P_A(B)=P(B)$ qui traduit littéralement l'intuition « savoir que $A$ est réalisé ne change rien à la probabilité de $B$ ». Démontrons qu'elles disent exactement la même chose lorsque $P(A)>0$. C'est un résultat exigible — sache l'établir dans les deux sens.

On suppose donc $P(A)>0$, ce qui donne un sens à $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$.

Sens 1 — de la définition vers la forme conditionnelle. Suppose $A$ et $B$ indépendants, c'est-à-dire $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Alors, par définition de la probabilité conditionnelle : $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{P(A)P(B)}{P(A)}}=P(B)\mathrm{.}$

Sens 2 — de la forme conditionnelle vers la définition. Suppose maintenant $P_A(B)=P(B)$. En partant de la définition $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$, on a ${\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}=P(B)$, et en multipliant les deux membres par $P(A)$ : $P(A\cap B)=P(A)P(B)\mathrm{.}$

Les deux implications étant établies, les deux caractérisations sont équivalentes. Retiens que la forme symétrique $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ est la bonne définition : elle ne suppose pas $P(A)>0$, elle est symétrique en $A$ et $B$ (l'indépendance est une relation réciproque), et elle reste valable même quand une probabilité conditionnelle n'a pas de sens. La forme $P_A(B)=P(B)$ n'en est qu'une lecture, précieuse pour l'intuition.

Exemple. Si la probabilité d'être sélectionné est la même chez les élèves qui font option théâtre que dans toute la population, alors l'option théâtre et la sélection sont indépendantes.

Exemple numérique

Supposons : $P(A)=\mathrm{0,4},P(B)=\mathrm{0,5},P(A\cap B)=\mathrm{0,2.}$

On calcule : $P(A)P(B)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,2.}$

Donc : $P(A\cap B)=P(A)P(B)\mathrm{.}$

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Le piège de l'incompatibilité

Salma confond événements indépendants et événements incompatibles.

Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble : $P(A\cap B)=0.$

Deux événements indépendants peuvent très bien se produire ensemble.

Pièges classiques

1. Confondre $P(B)$ et $P_A(B)$.
   La première probabilité concerne tout l'univers, la seconde seulement les cas où $A$ est réalisé.

2. Additionner au lieu de multiplier le long d'un chemin.
   Dans un arbre, un chemin correspond à une intersection : on multiplie.

3. Oublier un chemin dans la formule des probabilités totales.
   Il faut additionner tous les chemins qui mènent à l'événement demandé.

4. Confondre condition et condition inverse.
   $P_A(B)$ n'est pas forcément égal à $P_B(A)$.

5. Oublier les compléments conditionnels.
   $P_A(\bar{B})=1-P_A(B)$.

6. Confondre indépendance et incompatibilité.
   Deux événements indépendants ne sont pas forcément incompatibles.

7. Mal lire un énoncé.
   « Parmi les élèves admis » et « parmi les élèves scientifiques » ne désignent pas le même univers.

Application concrète

Salma étudie un test de dépistage dans une population.

On note :

• $M$ : « la personne est malade » ;
• $T$ : « le test est positif ».

On sait que : $P(M)=\mathrm{0,02.}$

Donc : $P(\bar{M})=\mathrm{0,98.}$

Le test est positif chez $95\mathrm{\%}$ des personnes malades : $P_M(T)=\mathrm{0,95.}$

Mais il est aussi positif chez $3\mathrm{\%}$ des personnes non malades : $P_{\bar{M}}(T)=\mathrm{0,03.}$

Étape 1 — Calculer la probabilité d'un test positif.

On utilise la formule des probabilités totales : $P(T)=P(M)P_M(T)+P(\bar{M})P_{\bar{M}}(T)\mathrm{.}$

Donc : $P(T)=\mathrm{0,02}\times \mathrm{0,95}+\mathrm{0,98}\times \mathrm{0,03.}$

Ainsi : $P(T)=\mathrm{0,019}+\mathrm{0,0294}=\mathrm{0,0484.}$

La probabilité d'avoir un test positif est donc $\mathrm{4,84}\mathrm{\%}$.

Étape 2 — Calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif.

On cherche : $P_T(M)\mathrm{.}$

Avec la formule de Bayes : $P_T(M)={\displaystyle \frac{P(M)P_M(T)}{P(T)}}\mathrm{.}$

Donc : $P_T(M)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}\times \mathrm{0,95}}{\mathrm{0,0484}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,019}}{\mathrm{0,0484}}}\approx \mathrm{0,393.}$

Donc, parmi les personnes qui ont un test positif, environ $\mathrm{39,3}\mathrm{\%}$ sont réellement malades.

Interprétation.
Même avec un test fiable, si la maladie est rare, un résultat positif ne garantit pas que la personne est malade. Il faut tenir compte de la fréquence de la maladie dans la population et des faux positifs.

C'est précisément ce que permettent les probabilités conditionnelles.

À retenir