Probabilités conditionnelles — exercices corrigés

Que signifie la notation $P_A(B)$ ?

Quelle est la formule qui définit $P_A(B)$, avec $P(A)>0$ ?

Quelle est la formule du produit qui exprime $P(A\cap B)$ ?

Dans un arbre pondéré à deux niveaux avec les événements $A$, $\bar{A}$ au premier niveau et $B$, $\bar{B}$ au second niveau, combien y a-t-il de chemins complets ?

Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités portées par les branches qui partent d'un même nœud vaut toujours $1$.

On sait que $P_A(B)=\mathrm{0,3}$. Que vaut $P_A(\bar{B})$ ?

Quelle est la formule des probabilités totales avec la partition $\{A,\bar{A}\}$ ?

Quelle est la formule de Bayes, avec $P(A)>0$ et $P(B)>0$ ?

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

Si $P(A)>0$, alors $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_A(B)=P(B)$.

En général, $P(B)=P_A(B)$.

Dans un arbre pondéré, pour obtenir la probabilité d'un chemin, on additionne les probabilités portées par ses branches.

En général, $P_A(B)=P_B(A)$.

Deux événements indépendants sont nécessairement incompatibles.

On a $P(A)=\mathrm{0,3}$ et $P_A(B)=\mathrm{0,4}$. Que vaut $P(A\cap B)$ ?

Sur un arbre pondéré, on lit $P(A)=\mathrm{0,2}$ au premier niveau. Quelle valeur porte la branche $\bar{A}$ qui part du même nœud initial ?

Dans un arbre pondéré à deux niveaux, à quoi correspond un chemin complet allant de la racine à une feuille ?

Une compagnie de transport observe $P(L)=\mathrm{0,7}$ pour l'événement « le voyageur achète son billet en ligne ». Que vaut $P(\bar{L})$ ?

Sur l'arbre du transport, on lit au premier niveau $P(L)=\mathrm{0,7}$ et $P(\bar{L})=\mathrm{0,3}$. Au second niveau, à partir du nœud $\bar{L}$, on lit que la branche $V$ porte la valeur $\mathrm{0,6}$. Que vaut $P_{\bar{L}}(V)$ ?

Yasmine lit cet énoncé : « Parmi les élèves de filière scientifique, $80\mathrm{\%}$ sont admis. » Quelle probabilité décrit-il ?

Soient $S$ : « l'élève est en filière scientifique » et $A$ : « l'élève est admis ».

Dans un lycée de Casablanca, on classe les élèves selon leur filière et leur admission au baccalauréat :

Calcule $P_S(A)$, où $A$ désigne « l'élève est admis ».

Sur un arbre pondéré, on lit $P(\bar{L})=\mathrm{0,3}$ et $P_{\bar{L}}(V)=\mathrm{0,6}$. Calcule $P(\bar{L}\cap V)$.

Une compagnie de transport observe $P(L)=\mathrm{0,7}$, $P_L(V)=\mathrm{0,9}$ et $P_{\bar{L}}(V)=\mathrm{0,6}$. Calcule $P(V)$ avec la formule des probabilités totales.

On sait $P(L)=\mathrm{0,7}$, $P_L(V)=\mathrm{0,9}$ et $P(V)=\mathrm{0,81}$. Calcule $P_V(L)$ avec la formule de Bayes. Donner la réponse arrondie à ${10}^{-3}$.

On a $P(A)=\mathrm{0,5}$, $P(B)=\mathrm{0,4}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,25}$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

On a $P(A)=\mathrm{0,4}$, $P(B)=\mathrm{0,5}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,2}$. Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Karim étudie les candidatures reçues par son entreprise à Casablanca : $30\mathrm{\%}$ viennent de la filière scientifique ($S$). Parmi ces candidatures scientifiques, $20\mathrm{\%}$ sont retenues ($R$). Parmi les candidatures non scientifiques, $10\mathrm{\%}$ sont retenues.

Construis l'arbre pondéré correspondant en indiquant la valeur portée par chaque branche.

Sur l'arbre de l'entreprise de Karim, on connaît $P(S)$, $P(\bar{S})$, $P_S(R)$ et $P_{\bar{S}}(R)$. La question est : « Quelle est la probabilité qu'une candidature soit retenue ? »

Quelle formule appliques-tu ?

On sait $P_L(V)=\mathrm{0,9}$. Calcule $P_L(\bar{V})$.

On a $P(A)=\mathrm{0,3}$, $P(B)=\mathrm{0,5}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,2}$. Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

L'égalité $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ est vraie uniquement lorsque $A$ et $B$ sont incompatibles.

L'entreprise de Karim reçoit des candidatures : $30\mathrm{\%}$ viennent de la filière scientifique ($S$). Parmi les candidatures scientifiques, $20\mathrm{\%}$ sont retenues. Parmi les autres, $10\mathrm{\%}$ sont retenues.

Quelle est la probabilité qu'une candidature prise au hasard soit retenue ?

Dans le tramway de Casablanca, $70\mathrm{\%}$ des voyageurs achètent leur billet en ligne ($L$). Parmi eux, $90\mathrm{\%}$ valident leur billet sans aide ($V$).

Quelle est la probabilité qu'un voyageur achète en ligne et valide son billet sans aide ?

Salma étudie un test de dépistage. Dans la population, $2\mathrm{\%}$ des personnes sont malades ($M$). Le test est positif chez $95\mathrm{\%}$ des malades et chez $3\mathrm{\%}$ des non-malades.

Quelle est la probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif ? Donner la réponse arrondie à ${10}^{-3}$.

Sur un diagramme de Venn, on lit pour deux événements $A$ et $B$ :

• la zone $A$ seule (hors $B$) : $\mathrm{0,3}$,
• la zone $A\cap B$ : $\mathrm{0,2}$,
• la zone $B$ seule (hors $A$) : $\mathrm{0,1}$,
• la zone hors $A\cup B$ : $\mathrm{0,4}$.

Calcule $P_A(B)$.

Sur un arbre, à partir du nœud $L$, la branche $V$ porte $\mathrm{0,9}$. À partir du nœud $\bar{L}$, la branche $V$ porte $\mathrm{0,6}$. Quelle valeur doit nécessairement porter la branche $\bar{V}$ partant du nœud $L$ ?

On a $P(A)=\mathrm{0,4}$ et $P_B(A)=\mathrm{0,7}$. Comment interprètes-tu ce résultat ?

Salma étudie un test médical. Elle connaît $P(M)$, $P_M(T)$ et $P_{\bar{M}}(T)$. Elle veut calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. Quelle stratégie applique-t-elle ?

Karim affirme : « Deux événements quelconques sont toujours indépendants. » Quel contre-exemple le réfute le plus directement ?

On a $P(A)=\mathrm{0,5}$, $P(B)=\mathrm{0,4}$ et $P_A(B)=\mathrm{0,4}$. Calcule $P(A\cup B)$.

Une plateforme de billetterie de Rabat observe que $70\mathrm{\%}$ des voyageurs achètent en ligne. Parmi eux, $90\mathrm{\%}$ valident leur billet sans aide ; parmi ceux du guichet, $60\mathrm{\%}$ valident sans aide. On note $L$ « achat en ligne » et $V$ « validation sans aide ».

Amine veut la probabilité $P(V)$ qu'un voyageur quelconque valide sans aide. Il écrit : $P(V)=P(L)\times P_L(V)=\mathrm{0,70}\times \mathrm{0,90}=\mathrm{0,63.}$

A-t-il raison ?

Dans un atelier de Fès, on note $L$ « la pièce sort de la ligne A » et $V$ « la pièce passe le contrôle ». Sur l'arbre, la branche $V$ partant du nœud $L$ porte $P_L(V)=\mathrm{0,90}$.

Karim en déduit : « Donc la branche $V$ partant du nœud $\bar{L}$ porte $P_{\bar{L}}(V)=\mathrm{0,10}$, puisque c'est le complément. »

Karim a-t-il raison ?

Une école de Casablanca publie ses chiffres d'admission. L'énoncé précise : « Parmi les candidats admis, $80\mathrm{\%}$ sont des élèves scientifiques. »

Salma traduit cette phrase par : « La probabilité qu'un candidat scientifique soit admis est de $\mathrm{0,80}$. » Elle note donc $P_S(A)=\mathrm{0,80}$, où $S$ est « être scientifique » et $A$ « être admis ».

A-t-elle correctement traduit l'énoncé ?

Yasmine étudie les admissions d'une école d'ingénieurs marocaine. Dans le vivier des candidats :

• $60\mathrm{\%}$ viennent de la spécialité « Maths » ($M$),
• $40\mathrm{\%}$ viennent d'une autre spécialité ($\bar{M}$).

Parmi les candidats « Maths », $75\mathrm{\%}$ sont admis ($A$). Parmi les autres, $30\mathrm{\%}$ sont admis.

Quelle est la probabilité qu'un candidat tiré au hasard soit admis ?

Karim travaille pour une compagnie d'assurance auto à Rabat. Dans son portefeuille :

• $25\mathrm{\%}$ des conducteurs sont jeunes (moins de $25$ ans, événement $J$),
• $75\mathrm{\%}$ sont plus âgés ($\bar{J}$).

Parmi les jeunes, $16\mathrm{\%}$ ont un accident dans l'année ($D$). Parmi les autres, $5\mathrm{\%}$ ont un accident.

Quelle est la probabilité qu'un conducteur tiré au hasard ait un accident dans l'année ?

Salma étudie un test de dépistage d'une maladie rare. Dans la population :

• $1\mathrm{\%}$ des personnes sont malades ($M$),
• le test est positif chez $98\mathrm{\%}$ des malades ($P_M(T)=\mathrm{0,98}$),
• le test est positif chez $2\mathrm{\%}$ des non-malades ($P_{\bar{M}}(T)=\mathrm{0,02}$).

Une personne est testée positive. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ? Donner la réponse arrondie à ${10}^{-3}$.

Karim lit cette information : « Parmi les voyageurs qui achètent en ligne, $90\mathrm{\%}$ valident leur billet sans aide. » Il en conclut : « Donc $90\mathrm{\%}$ de tous les voyageurs valident sans aide. »

Quelle est la critique correcte de son raisonnement ?

Salma observe l'arbre : la branche $S$ porte $\mathrm{0,30}$ et la branche conditionnelle $R$ (sachant $S$) porte $\mathrm{0,20}$.

Elle écrit : $P(S\cap R)=\mathrm{0,30}+\mathrm{0,20}=\mathrm{0,50}$.

Quelle est la critique correcte ?

Yasmine connaît la probabilité d'être positif au test sachant qu'on est malade : $P_M(T)=\mathrm{0,95}$.

Elle en déduit que la probabilité d'être malade sachant que le test est positif est aussi $\mathrm{0,95}$.

Quelle est la critique correcte ?

Une usine d'Agadir produit des bouteilles d'huile d'argan dans deux chaînes :

• la chaîne $A$ assure $60\mathrm{\%}$ de la production, avec $1\mathrm{\%}$ de défauts ($D$),
• la chaîne $B$ assure $40\mathrm{\%}$ de la production, avec $4\mathrm{\%}$ de défauts.

Une bouteille est prise au hasard sur la chaîne de conditionnement. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?

Une loterie propose deux types de tickets, vendus en quantités égales :

• les tickets « or », qui font gagner avec probabilité $\mathrm{0,30}$ ;
• les tickets « argent », qui font gagner avec probabilité $\mathrm{0,20}$.

Karim a acheté un ticket sans regarder. Il découvre qu'il a gagné. Quelle est la probabilité que ce soit un ticket « or » ?

Yasmine étudie le filtre anti-spam de sa boîte mail. Dans l'ensemble des messages reçus :

• $30\mathrm{\%}$ sont des spams ($S$),
• $70\mathrm{\%}$ sont légitimes ($\bar{S}$).

Le filtre marque comme spam ($F$) :

• $99\mathrm{\%}$ des vrais spams,
• $2\mathrm{\%}$ des messages légitimes (faux positifs).

Un message est marqué comme spam par le filtre. Quelle est la probabilité qu'il soit effectivement un spam ? Donner la réponse arrondie à ${10}^{-3}$.

Soient $A$ et $\bar{A}$ formant une partition de l'univers, et $B$ un événement quelconque. Démontre que : $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)\mathrm{.}$

Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $P(A)>0$ et $P(B)>0$. Démontre que : $P_B(A)={\displaystyle \frac{P(A)\times P_A(B)}{P(B)}}\mathrm{.}$

On lance deux fois une pièce équilibrée. Soient :

• $A$ : « le premier lancer donne pile »,
• $B$ : « le second lancer donne pile ».

Démontre que $A$ et $B$ sont indépendants.

Salma étudie un test de dépistage d'une maladie très rare. Dans la population :

• $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$ des personnes sont malades ($P(M)=\mathrm{0,001}$),
• le test détecte $99\mathrm{\%}$ des malades ($P_M(T)=\mathrm{0,99}$),
• le test a un taux de faux positifs de $1\mathrm{\%}$ ($P_{\bar{M}}(T)=\mathrm{0,01}$).

Quelle est la probabilité d'être malade sachant que le test est positif ? Donner la réponse arrondie à ${10}^{-3}$.

Salma compare deux situations pour le même test médical, qui a une sensibilité de $99\mathrm{\%}$ ($P_M(T)=\mathrm{0,99}$) et un taux de faux positifs de $1\mathrm{\%}$ ($P_{\bar{M}}(T)=\mathrm{0,01}$).

• Situation 1 : maladie fréquente, $P(M)=\mathrm{0,5}$. On calcule $P_T(M)=\mathrm{0,99}$.
• Situation 2 : maladie rare, $P(M)=\mathrm{0,001}$. On calcule $P_T(M)\approx \mathrm{0,09}$.

Comment interprètes-tu cette différence ?

Construis un exemple concret d'expérience aléatoire et de deux événements $A$ et $B$ tels que $P(A\cap B)\mathrm{\ne }P(A)\times P(B)$. Justifie chiffres à l'appui.

Yasmine étudie un parcours d'admission à une école en trois étapes successives. Une candidature franchit chaque étape avec les probabilités suivantes :

• présélection sur dossier ($D$) : $P(D)=\mathrm{0,80}$,
• réussite à l'écrit ($E$) sachant le dossier admis : $P_D(E)=\mathrm{0,50}$,
• réussite à l'oral ($O$) sachant l'écrit réussi : $P_{D\cap E}(O)=\mathrm{0,56}$.

Quelle est la probabilité qu'une candidature passe les trois étapes ?

Karim a deux énoncés à résoudre.

Énoncé 1 : « Dans un lycée, on dispose d'un tableau croisant la filière (S/L) et l'admission (admis/non admis), avec les effectifs exacts. »

Énoncé 2 : « Une compagnie publie : $30\mathrm{\%}$ des voyageurs achètent en ligne, et parmi eux $90\mathrm{\%}$ valident sans aide. »

Quelle est la meilleure stratégie de modélisation pour chacun ?

Karim tire deux cartes successivement et sans remise dans un jeu de $52$ cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir deux rois ? Donner la réponse arrondie à ${10}^{-3}$.

Salma observe un protocole médical de diagnostic en deux étapes. Pour une maladie donnée :

• un premier test est positif chez $80\mathrm{\%}$ des malades et $10\mathrm{\%}$ des non-malades,
• en cas de premier test positif, un second test (plus spécifique) est positif chez $95\mathrm{\%}$ des malades et $4\mathrm{\%}$ des non-malades.

Dans la population de patients arrivant en consultation, $30\mathrm{\%}$ sont malades. Quelle est la probabilité qu'un patient qui a deux tests positifs soit effectivement malade ? Donner la réponse arrondie à ${10}^{-3}$.

Karim travaille pour une entreprise de Casablanca qui recrute en trois étapes :

• entretien RH ($E_1$) : $60\mathrm{\%}$ des candidats passent,
• test technique ($E_2$) : $45\mathrm{\%}$ de ceux qui ont passé le RH le réussissent,
• entretien final ($E_3$) : $40\mathrm{\%}$ de ceux qui ont réussi le technique sont embauchés.

Quelle est la probabilité qu'un candidat tiré au hasard soit embauché ?

Restitution organisée de connaissances. On rappelle la définition de la probabilité conditionnelle : pour deux événements $A$ et $B$ avec $P(A)>0$, $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}\mathrm{.}$ On rappelle aussi que, par définition, $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A)>0$. Démontre l'équivalence : $A\text{ et }B\text{ ind}\acute{\text{e}}\text{pendants}⟺P_A(B)=P(B)\mathrm{.}$ Ta démonstration comportera les deux implications. Explique enfin pourquoi la définition retenue est la forme $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ plutôt que $P_A(B)=P(B)$.