Nombres premiers et divisibilité

Multiples et diviseurs

Tout commence par un seul mot de vocabulaire, qu'il faut manier sans hésiter.

Ces trois façons de le dire décrivent la même situation : « $b$ divise $a$ », « $a$ est multiple de $b$ », « la division $a÷b$ tombe juste ».

Exemple 1. Comme $48=6\times 8$, le nombre $6$ divise $48$ : $6$ est un diviseur de $48$, et $48$ est un multiple de $6$ (et de $8$).

Le piège multiple / diviseur

Karim affirme que « $6$ est un multiple de $48$ ». C'est inversé. Comme $48=6\times 8$, c'est $48$ qui est le multiple (le grand, le résultat de la multiplication), et $6$ qui est le diviseur (le petit, qui le partage). Un multiple est toujours plus grand ou égal au nombre dont il est multiple.

Les critères de divisibilité

Plutôt que de poser la division, quelques règles permettent de savoir d'un coup d'œil si un nombre en divise un autre.

Méthode (critères de divisibilité). Un nombre est divisible :

• par 2 si son chiffre des unités est pair ($0,2,4,6,8$) ;
• par 5 si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
• par 10 si son chiffre des unités est $0$ ;
• par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;
• par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par $9$ ;
• par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$.

Exemple 1. Étudions $1236$. Il se termine par $6$ (pair) : divisible par $2$. Somme des chiffres : $1+2+3+6=12$, divisible par $3$ : donc $1236$ est divisible par $3$. Ses deux derniers chiffres forment $36$, divisible par $4$ : donc $1236$ est divisible par $4$. En revanche il ne finit ni par $0$ ni par $5$ : il n'est pas divisible par $5$.

Le piège de la somme des chiffres

Salma teste la divisibilité par $4$ en additionnant les chiffres. C'est une fausse piste : la somme des chiffres ne renseigne que sur $3$ et $9$. Pour $4$, on regarde uniquement les deux derniers chiffres ; pour $2$, $5$ et $10$, le seul chiffre des unités.

Les nombres premiers

Parmi tous les entiers, certains sont les « briques » de base de la multiplication : on ne peut pas les fabriquer en multipliant des nombres plus petits.

Deux remarques importantes : $1$ n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur, lui-même) ; et $2$ est le seul nombre premier pair (tous les autres pairs sont divisibles par $2$).

Méthode (crible d'Ératosthène). Pour lister les premiers jusqu'à un nombre : on barre $1$, on entoure $2$ et on barre tous ses multiples, on entoure $3$ et on barre ses multiples, et ainsi de suite. Les nombres jamais barrés sont les nombres premiers.

Exemple 1. Le nombre $97$ est-il premier ? On teste $2$ (non, impair), $3$ (non, $9+7=16$), $5$ (non), $7$ (non, $97=7\times 13+6$). Le carré suivant, ${11}^2=121$, dépasse $97$ : on s'arrête. Aucun premier ne divise $97$, donc $97$ est premier.

Le piège du « impair donc premier »

Amine croit que $9$ est premier « parce qu'il est impair ». Faux : $9=3\times 3$, donc $9$ a trois diviseurs ($1$, $3$, $9$). Être impair ne suffit pas pour être premier — il faut n'avoir que deux diviseurs.

La décomposition en produit de facteurs premiers

Les nombres premiers servent à reconstruire tous les autres, comme des briques élémentaires.

Exemple 1. Décomposons $60$ : $60=2\times 30=2\times 2\times 15=2\times 2\times 3\times 5$. On écrit la décomposition avec des puissances : $60=2^2\times 3\times 5$.

Le piège de la décomposition incomplète

Karim écrit $60=4\times 15$ et s'arrête là. Mais ni $4$ ni $15$ ne sont premiers : la décomposition n'est pas finie. Il faut continuer : $4=2\times 2$ et $15=3\times 5$, ce qui redonne bien $60=2^2\times 3\times 5$.

Le PGCD et les fractions irréductibles

Voici l'aboutissement du chapitre, et son lien direct avec les fractions.

Méthode (par décomposition). On décompose les deux nombres en facteurs premiers, puis on multiplie les facteurs premiers communs, chacun affecté de son plus petit exposant.

Exemple 1. Cherchons le PGCD de $36$ et $60$. On décompose : $36=2^2\times 3^2$ et $60=2^2\times 3\times 5$. Les facteurs communs sont $2^2$ et $3$ (au plus petit exposant). Donc $\text{PGCD}(36,60)=2^2\times 3=12$.

Ce PGCD est exactement l'outil qui manquait au chapitre précédent pour simplifier une fraction d'un seul coup.

Exemple 2. ${\displaystyle \frac{36}{60}}={\displaystyle \frac{36÷12}{60÷12}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$, irréductible immédiatement.

Le piège du diviseur commun non maximal

Salma simplifie ${\displaystyle \frac{36}{60}}$ en divisant par $2$ : elle obtient ${\displaystyle \frac{18}{30}}$ et s'arrête. Mais ${\displaystyle \frac{18}{30}}$ n'est pas irréductible (on peut encore diviser par $6$). En divisant directement par le PGCD ($12$), on atteint ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ du premier coup.

Pièges classiques

1. Confondre multiple et diviseur. Dire que $6$ est un multiple de $48$. C'est l'inverse : $6$ est un diviseur, $48$ est le multiple.

2. Étendre la somme des chiffres à $2$ ou $4$. La somme des chiffres ne teste que $3$ et $9$. Pour $4$, on regarde les deux derniers chiffres ; pour $2$, le chiffre des unités.

3. Croire que $1$ est premier, ou qu'impair $=$ premier. $1$ a un seul diviseur (pas premier) ; $9=3\times 3$ est impair mais composé.

4. Arrêter la décomposition trop tôt. Écrire $60=4\times 15$ : $4$ et $15$ ne sont pas premiers, il faut continuer jusqu'à $2^2\times 3\times 5$.

5. Prendre un diviseur commun non maximal. Simplifier ${\displaystyle \frac{36}{60}}$ par $2$ seulement donne ${\displaystyle \frac{18}{30}}$, encore réductible. C'est le PGCD qu'il faut.

6. Oublier le plus petit exposant pour le PGCD. Pour $36=2^2\times 3^2$ et $60=2^2\times 3$, le facteur $3$ commun se prend à l'exposant $1$ (le plus petit), pas $2$.

Application concrète

Yasmine prépare un grand plateau pour une fête de famille : elle a $36$ cornes de gazelle et $60$ msemen, et veut composer des sachets-cadeaux identiques, en utilisant absolument tout.

Étape 1 — Diviseurs. Pour que les sachets soient identiques sans reste, le nombre de sachets doit diviser à la fois $36$ et $60$ : c'est un diviseur commun des deux nombres.

Étape 2 — Critères. Yasmine vérifie vite quelques pistes : $36$ et $60$ sont tous deux pairs (divisibles par $2$) et leurs sommes de chiffres ($9$ et $6$) sont divisibles par $3$ : un diviseur commun comme $6$ existe donc déjà. Mais elle veut le plus grand possible.

Étape 3 — Nombres premiers. Elle repère les briques de base à l'œuvre : seuls les premiers $2$, $3$ et $5$ interviennent dans ces deux nombres.

Étape 4 — Décomposition. Elle décompose : $36=2^2\times 3^2$ et $60=2^2\times 3\times 5$.

Étape 5 — PGCD. Les facteurs communs sont $2^2$ et $3$, soit $\text{PGCD}(36,60)=12$. Yasmine peut donc faire au maximum $12$ sachets identiques, contenant chacun $36÷12=3$ cornes de gazelle et $60÷12=5$ msemen. On retrouve d'ailleurs la proportion ${\displaystyle \frac{36}{60}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ : $3$ cornes pour $5$ msemen dans chaque sachet.

Conclusion. D'une simple question de partage, Yasmine a traversé tout le chapitre : diviseurs, critères, premiers, décomposition, PGCD. Ces outils reviendront chaque fois qu'il faudra simplifier une fraction, réduire au même dénominateur, ou répartir équitablement. L'arithmétique des entiers est le socle discret sur lequel repose une grande partie des mathématiques.

À retenir