Théorème de Thalès — exercices corrigés

À quelle condition peut-on appliquer le théorème de Thalès ?

Dans une configuration de Thalès avec $A$, $M$, $B$ alignés et $A$, $N$, $C$ alignés, à quelle longueur correspond $AM$ dans le grand triangle ?

Dans une configuration de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ avec $AM=5$ cm, $AB=20$ cm et $AC=28$ cm. Calcule $AN$.

On affirme que la réciproque du théorème de Thalès sert à démontrer que deux droites sont parallèles.

Quelle égalité traduit correctement le théorème de Thalès ?

On sait que ${\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{x}{12}}$. Détermine $x$.

$A$, $M$, $B$ sont alignés dans le même ordre que $A$, $N$, $C$, et ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$. On affirme qu'alors $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

À quoi sert la contraposée du théorème de Thalès ?

Simplifie le rapport ${\displaystyle \frac{3}{9}}$ sous forme a/b irréductible.

On affirme que le théorème de Thalès s'applique aussi dans la configuration dite « en papillon », où les deux triangles sont de part et d'autre du point $A$.

Dans une configuration de Thalès avec $A$, $M$, $B$ alignés et $A$, $N$, $C$ alignés, à quelle longueur du grand triangle correspond $MN$ ?

On sait que ${\displaystyle \frac{3}{15}}={\displaystyle \frac{x}{30}}$. Détermine $x$.

Dans la configuration de Thalès, quel rôle joue le point $A$ ?

Dans une configuration de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ avec $AM=4$ cm, $AB=12$ cm et $AN=8$ cm. Calcule $AC$.

On affirme que le théorème de Thalès ne peut s'appliquer que si le triangle $ABC$ est rectangle.

En configuration de Thalès, quelle égalité permet de calculer $MN$ quand on connaît $AM$, $AB$ et $BC$ ?

Dans une configuration de Thalès avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$, $AM=6$ cm, $AB=12$ cm et $AC=18$ cm. Calcule $AN$.

Dans la configuration emboîtée de Thalès, on affirme que le petit triangle $AMN$ est une réduction du grand triangle $ABC$.

$A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés. On a calculé ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Que peut-on conclure sur les droites $(MN)$ et $(BC)$ ?

Le petit triangle d'une configuration de Thalès a des longueurs trois fois plus petites que le grand. Par combien son aire est-elle plus petite ?

Dans un triangle $ABC$, $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$ avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM=14$ cm, $AB=35$ cm et $AC=45$ cm. Calcule $AN$.

En configuration de Thalès, $AM=16$ cm, $AB=24$ cm, $MN=22$ cm et $(MN)$ parallèle à $(BC)$. Calcule $BC$.

$A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre, avec $AM=11$ cm, $AB=55$ cm, $AN=13$ cm et $AC=65$ cm. On affirme que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

$A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés, avec $AM=21$ cm, $AB=42$ cm, $AN=25$ cm et $AC=40$ cm. On affirme que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Dans une configuration de Thalès, $AM=4$ cm et $AB=10$ cm. Donne le rapport de réduction ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ sous forme a/b irréductible.

En configuration de Thalès avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$ : $AB=6$ cm, $AN=3$ cm, $AC=9$ cm. Calcule $AM$.

En configuration de Thalès avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$ : $AM=5$ cm, $AB=15$ cm, $BC=15$ cm. Calcule $MN$.

Pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès, que faut-il vérifier en plus de l'égalité des rapports ?

Dans une configuration de Thalès, $AM=5$ cm et $AB=15$ cm. Par quel nombre faut-il multiplier une longueur du petit triangle pour obtenir la longueur correspondante du grand triangle ?

Sur un plan à l'échelle 1:100, une pièce mesure 4 cm de long. Quelle est la longueur réelle de la pièce ? Explique le lien avec les proportions de Thalès.

En configuration papillon, $A$ est situé entre $M$ et $B$, et entre $N$ et $C$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AM=6$ cm, $AB=21$ cm et $AN=8$ cm. Calcule $AC$.

En configuration de Thalès avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$ : $AM=8$ cm, $AB=12$ cm et $MN=7$ cm. Calcule $BC$.

En configuration de Thalès avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$ : $AM=5$ cm, $AB=20$ cm et $AC=16$ cm. Calcule $NC$, la partie restante du segment $[AC]$.

En configuration de Thalès avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$, tu connais $AN$, $AC$ et $BC$, et tu cherches $MN$. Quelle égalité dois-tu écrire ?

$A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre. Tu connais $AM$, $AB$, $AN$ et $AC$, et tu veux savoir si $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Quel outil dois-tu mobiliser ?

En configuration de Thalès avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$ : $AM=12$ cm, $AN=16$ cm et $AC=40$ cm. Calcule $AB$.

Dans un triangle $ABC$, $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$ avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM=6$ cm, $AN=9$ cm et $AC=30$ cm. Calcule $MB$, la partie restante du segment $[AB]$.

En configuration papillon, $A$ est situé entre $M$ et $B$, et entre $N$ et $C$, avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$. On affirme que les rapports de Thalès s'écrivent comme dans la configuration emboîtée : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$.

Dans une configuration de Thalès, $AM=18$ cm et $AB=42$ cm. Donne le rapport de réduction ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ sous forme a/b irréductible.

Yasmine veut estimer la largeur d'un oued sans le traverser. Sur sa rive, elle repère un arbre $C$ juste en face d'elle, puis recule de $A$ jusqu'à un point où elle plante un piquet. Elle obtient une configuration de Thalès de sommet $A$ : sur une droite, les points $A$, $M$, $B$ alignés, sur l'autre $A$, $N$, $C$ alignés, avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$. Elle mesure $AM=4$ m, $AB=20$ m et $MN=3$ m. La largeur de l'oued correspond à $BC$. Quelle est cette largeur ?

Dans un triangle $ABC$, les points $M$ et $N$ sont placés sur $[AB]$ et $[AC]$, avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$. Yasmine connaît $AM=4$ cm, $AB=10$ cm et $AN=6$ cm, et elle cherche $AC$. Pressée, elle écrit l'égalité de Thalès « en suivant les lettres dans l'ordre » :

${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AC}{AN}}$

et trouve $AC={\displaystyle \frac{4\times 6}{10}}=\mathrm{2,4}$ cm. A-t-elle écrit le bon rapport ?

Sur sa copie de Brevet blanc, Karim doit démontrer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, sachant que $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre, avec $AM=3$, $AB=12$, $AN=5$ et $AC=20$. Il rédige : « D'après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, donc $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. » Sa justification rapporte-t-elle les points ?

Salma observe une figure : un quadrilatère $MNPQ$ où les côtés $[MN]$ et $[QP]$ sont parallèles (un trapèze). Elle déclare : « Deux droites parallèles, $(MN)$ et $(QP)$ : c'est une configuration de Thalès, je peux donc écrire ${\displaystyle \frac{QM}{QN}}={\displaystyle \frac{PM}{PN}}$. » A-t-elle raison d'appliquer Thalès ici ?

À Rabat, Karim plante un bâton vertical de 1,4 m qui projette une ombre de 2,1 m. Au même moment, un arbre projette une ombre de 9,6 m. En utilisant Thalès, calcule la hauteur de l'arbre.

Pour calculer $AN$ avec $AM=4$, $AB=8$, $AC=12$, Salma écrit ${\displaystyle \frac{AB}{AM}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, soit ${\displaystyle \frac{8}{4}}={\displaystyle \frac{AN}{12}}$, et trouve $AN=24$. Son résultat est-il correct ? Corrige si besoin.

En configuration de Thalès avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$ : $AM=3$ cm, $AN=4$ cm, $AC=12$ cm. Calcule la longueur $MB$ (la partie restante du segment $[AB]$).

Yasmine mesure la hauteur d'un mur grâce à un miroir posé au sol. Ses yeux sont à 1,6 m du sol, elle est à 1 m du miroir, et le miroir est à 5 m du mur. Par un raisonnement de proportionnalité (deux triangles semblables), calcule la hauteur du mur.

$A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre, avec $AM=6$ cm, $AB=15$ cm, $AN=8$ cm et $AC=20$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifie rigoureusement.

Dans une configuration de Thalès, le petit triangle $AMN$ a des longueurs deux fois plus petites que le grand triangle $ABC$. On affirme que son aire est deux fois plus petite.

En configuration de Thalès avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$ : $AM=6$ cm, $AB=10$ cm, $BC=15$ cm. Calcule $MN$.

Un grand triangle $ABC$ a $AB=12$ cm et $BC=6$ cm. On place un point $M$ sur $[AB]$ tel que $AM=8$ cm, et un point $N$ sur $[AC]$ tel que $(MN)$ soit parallèle à $(BC)$. Calcule $MN$.

Amine construit une maquette d'un minaret à l'échelle 1:50. Sur la maquette, le minaret mesure 14 cm. Quelle est la hauteur réelle du minaret, en mètres ? Explique le rôle de la proportionnalité.

Dans une configuration en papillon, $A$ est entre $M$ et $B$, et entre $N$ et $C$. On a $AM=3$, $AB=6$, $AN=5$. Si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, que vaut $AC$ ?

Pour estimer la largeur du Bouregreg à Rabat, Yasmine repère un arbre $C$ sur la rive opposée, exactement en face d'un piquet $B$ planté sur sa rive. Elle s'éloigne de la berge en ligne droite jusqu'à un point $A$, formant l'angle droit $\widehat{ABC}$. Sur le segment $[AB]$ elle place $M$ avec $AM=12$ m et $MB=18$ m, puis, depuis $A$, elle vise l'arbre et place $N$ sur $[AC]$ de sorte que $(MN)$ soit parallèle à $(BC)$. Elle mesure $MN=8$ m. Quelle est la largeur $BC$ du fleuve à cet endroit ?

Karim a un triangle $ABC$ avec $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$, et il mesure $AM=4$ cm, $AB=10$ cm, $AN=6$ cm, $AC=14$ cm. Il déclare aussitôt : « ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, donc d'après Thalès $MN={\displaystyle \frac{4}{10}}\times BC$. » A-t-il le droit d'appliquer le théorème direct de Thalès ? Justifie.

Salma lit le plan d'un appartement à Marrakech tracé à l'échelle 1:200. Le salon y mesure 3 cm de long et 2 cm de large. Salma affirme : « La longueur réelle est $3\times 200=600$ cm $=6$ m, donc l'aire réelle du salon est $6\times 200=1200$ fois l'aire sur le plan. » Corrige son raisonnement et donne l'aire réelle du salon.

Yasmine appuie une échelle rectiligne contre un mur vertical d'une maison de Fès. Le pied de l'échelle est au sol en $A$, le haut touche le mur en $C$, et le mur rencontre le sol en $B$, formant l'angle droit $\widehat{ABC}$. Yasmine pose une barre horizontale entre un barreau de l'échelle, le point $M$ sur $[AC]$, et le mur, le point $N$ sur $[BC]$, de sorte que cette barre $(MN)$ soit parallèle au sol $(AB)$. Elle relève $CM=\mathrm{1,2}$ m, $CA=3$ m (l'échelle entière) et $AB=\mathrm{2,5}$ m (l'écart du pied au mur). Quelle est la longueur $MN$ de la barre horizontale ?

Amine étudie un triangle $ABC$ où $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$. Il affirme : « Comme $M$ et $N$ sont les milieux, la droite $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ et, en plus, $MN$ vaut exactement la moitié de $BC$. » En utilisant la réciproque puis le théorème de Thalès, justifie complètement les deux affirmations d'Amine.

Karim veut connaître la largeur d'un ravin près d'Ifrane sans le traverser. Sur le bord opposé, deux rochers $B$ et $C$ sont visibles. Karim plante un piquet $O$ en terrain plat de son côté, puis trace deux visées droites : la première passe par $B$ et par un piquet $M$ de son côté, la seconde passe par $C$ et par un piquet $N$ de son côté, et les deux visées se croisent justement en $O$. Ainsi $B$, $O$, $M$ sont alignés et $C$, $O$, $N$ sont alignés, $O$ étant entre les deux rochers et ses deux piquets. Karim s'arrange pour que $(MN)$ soit parallèle à $(BC)$ et mesure, de son côté, $OM=5$ m, $ON=6$ m et $MN=4$ m ; il mesure aussi $OB=15$ m. Quelle est la largeur $BC$ du ravin ?

Deux droites se coupent en $A$. Sur la première, les points $B$ et $M$ sont placés de part et d'autre de $A$ (donc $B$, $A$, $M$ alignés dans cet ordre). Sur la seconde, les points $C$ et $N$ sont placés de part et d'autre de $A$ (donc $C$, $A$, $N$ alignés dans cet ordre). On sait que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, $AM=4$ cm, $AB=10$ cm et $AC=15$ cm. Calcule $AN$.

En configuration de Thalès emboîtée, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM=5$ cm, $AB=8$ cm et $AN=10$ cm. Calcule $NC$, la partie restante du segment $[AC]$ entre $N$ et $C$.

Deux droites se coupent en $A$. Sur la première, l'ordre des points est $A$, $M$, $B$ avec $AM=4$ et $AB=6$. Sur la seconde, l'ordre des points est $A$, $C$, $N$ (attention : $C$ est entre $A$ et $N$) avec $AC=6$ et $AN=9$. Salma calcule ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{AC}{AN}}={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$, puis conclut que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. Que peut-on dire de sa conclusion ?

Dans une configuration de Thalès, le petit triangle $AMN$ est une réduction du grand triangle $ABC$ de rapport $k={\displaystyle \frac{2}{3}}$. Karim affirme : « Puisque les aires sont multipliées par $k^2$, le périmètre du petit triangle vaut lui aussi $k^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$ du périmètre du grand triangle. »