Suites numériques

Leçon 1 — Comprendre ce qu'est une suite

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. Chaque nombre de la liste occupe une position précise, appelée son rang.

Le nombre $u_n$ s'appelle le terme de rang $n$ de la suite.

Par exemple, si une suite est définie par : $u_n=2n+1$

alors :

• $u_0=2\times 0+1=1$ ;
• $u_1=2\times 1+1=3$ ;
• $u_2=2\times 2+1=5$ ;
• $u_3=2\times 3+1=7$.

La suite commence donc par : $1,3,5,7,9,\dots$

C'est la suite des nombres impairs positifs.

Rang et terme : deux rôles différents

Le rang $n$ indique la position dans la suite. Le terme $u_n$ indique la valeur de la suite à cette position.

Dans l'exemple précédent :

• le rang $3$ est une position ;
• le terme $u_3=7$ est la valeur à cette position.

Karim confond les deux et dit : « si $n=3$, alors $u_n=3$ ». C'est faux. Le rang n'est pas forcément égal au terme.

Le piège du premier terme

Certaines suites commencent à $u_0$, d'autres à $u_1$.

Si l'énoncé dit « pour tout $n\ge 0$ », le premier terme est $u_0$.

Si l'énoncé dit « pour tout $n\ge 1$ », le premier terme est $u_1$.

Leçon 2 — Définir une suite : formule explicite ou récurrence

Il existe deux grandes façons de définir une suite : par une formule explicite ou par une relation de récurrence.

La formule explicite

Une formule explicite donne directement $u_n$ en fonction de $n$.

Exemple. Soit la suite définie par : $u_n=3n+2.$

Alors : $u_{10}=3\times 10+2=32.$

On peut calculer $u_{10}$ directement, sans connaître $u_0$, $u_1$, ..., $u_9$.

La relation de récurrence

Une relation de récurrence donne un terme à partir d'un ou plusieurs termes précédents.

Exemple. Soit la suite définie par : $u_0=100\text{et}{u}_{n+1}=u_n+20.$

Alors :

• $u_0=100$ ;
• $u_1=u_0+20=120$ ;
• $u_2=u_1+20=140$ ;
• $u_3=u_2+20=160$.

Ici, pour trouver $u_3$, il faut avancer étape par étape depuis $u_0$.

Le piège de la récurrence

Karim voit : $u_{n+1}=2u_n+3$

et remplace $u_n$ par $n$. Il écrit : $u_6=2\times 5+3=13.$

C'est faux. Dans $u_n$, le symbole $u_n$ désigne une valeur de la suite, pas le nombre $n$.

Si on veut calculer $u_6$, il faut connaître $u_5$, puis appliquer : $u_6=2u_5+3.$

Leçon 3 — Étudier le sens de variation d'une suite

Comme une fonction, une suite peut augmenter, diminuer ou rester constante.

Méthode principale : étudier $u_{n+1}-u_n$

La méthode la plus fréquente consiste à comparer deux termes consécutifs.

Exemple. Soit la suite définie par : $u_n=4n-1.$

On calcule : $u_{n+1}=4(n+1)-1=4n+3.$

Donc : $u_{n+1}-u_n=(4n+3)-(4n-1)=4.$

Comme $4>0$, la suite est strictement croissante.

Cas des suites positives : utiliser un quotient

Quand tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer le quotient : ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\mathrm{.}$

Cette méthode est particulièrement utile pour les suites géométriques.

Le piège de quelques valeurs

Salma calcule : $u_0=2,u_1=5,u_2=8$

puis conclut : « la suite est croissante ».

Cette conclusion est trop rapide. Trois valeurs ne suffisent pas à démontrer qu'une suite est croissante pour tous les rangs.

Leçon 4 — Suites arithmétiques

Yasmine met $300$ dh de côté chaque mois. Son épargne augmente toujours du même montant. C'est le modèle typique d'une suite arithmétique.

Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

Formule explicite

Si la suite commence au rang $1$, alors : $u_n=u_1+(n-1)r\mathrm{.}$

Exemple. Yasmine commence avec $u_0=0$ dh et ajoute $300$ dh chaque mois.

La suite est arithmétique de raison $300$, donc : $u_n=0+300n=300n\mathrm{.}$

Après $12$ mois : $u_{12}=300\times 12=3600.$

Yasmine aura économisé $3600$ dh.

Somme des premiers termes

Dans de nombreux problèmes, on ne veut pas seulement connaître un terme, mais la somme de plusieurs termes.

Exemple. Calculer : $1+2+3+\cdots +100.$

Il y a $100$ termes, le premier vaut $1$, le dernier vaut $100$.

Donc : $S={\displaystyle \frac{100\times (1+100)}{2}}=5050.$

Le piège du rang de départ

Karim utilise toujours la formule : $u_n=u_0+nr\mathrm{.}$

Mais si l'énoncé donne $u_1$ comme premier terme, il faut écrire : $u_n=u_1+(n-1)r\mathrm{.}$

Leçon 5 — Suites géométriques

Karim suit une page Instagram qui gagne $20\mathrm{\%}$ d'abonnés chaque mois. Ce n'est pas une addition fixe : chaque mois, le nombre d'abonnés est multiplié par $\mathrm{1,20}$.

Dans une suite géométrique, on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

Formule explicite

D'où vient cette formule ? La démonstration

La définition d'une suite géométrique ne donne que la relation d'un terme au suivant : $u_{n+1}=q{u}_n$. La formule explicite $u_n=u_0{q}^n$, elle, saute directement du rang $0$ au rang $n$. Le passage de l'une à l'autre est le prototype de la démonstration par récurrence (méthode détaillée à la Leçon 7) : c'est un résultat exigible, sache le refaire dans les trois étapes réglementaires.

Notons $P(n)$ la propriété « $u_n=u_0{q}^n$ ».

Initialisation. Au rang $n=0$ : $u_0{q}^0=u_0\times 1=u_0$, qui est bien le premier terme. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un certain entier $n\ge 0$, c'est-à-dire $u_n=u_0{q}^n$. Montrons $P(n+1)$. En partant de la relation de récurrence, puis en utilisant l'hypothèse : $u_{n+1}=q{u}_n=q\times \left(u_0{q}^n\right)=u_0{q}^{n+1}\mathrm{.}$ C'est exactement $P(n+1)$. La propriété est donc héréditaire.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : par récurrence, $u_n=u_0{q}^n$ pour tout entier $n\ge 0$.

Retiens la mécanique : la relation $u_{n+1}=q{u}_n$ multiplie par $q$ à chaque pas, donc après $n$ pas depuis $u_0$ on a multiplié $n$ fois par $q$, ce qui donne le facteur $q^n$. La récurrence n'est que la version rigoureuse de ce comptage — indispensable pour transformer un « et ainsi de suite » en preuve valable.

Si la suite commence au rang $1$, alors : $u_n=u_1{q}^{n-1}\mathrm{.}$

Exemple. Une chaîne compte $1000$ abonnés et augmente de $20\mathrm{\%}$ par mois.

Augmenter de $20\mathrm{\%}$, c'est multiplier par : $1+{\displaystyle \frac{20}{100}}=\mathrm{1,20.}$

Donc : $u_n=1000\times {\mathrm{1,20}}^n\mathrm{.}$

Après $6$ mois : $u_6=1000\times {\mathrm{1,20}}^6\approx 2986.$

La chaîne compte environ $2986$ abonnés.

Hausse et baisse en pourcentage

Une augmentation de $t\mathrm{\%}$ correspond à une multiplication par : $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\mathrm{.}$

Une baisse de $t\mathrm{\%}$ correspond à une multiplication par : $1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\mathrm{.}$

Exemple. Un appareil coûte $8000$ dh et perd $15\mathrm{\%}$ de sa valeur chaque année.

Chaque année, on multiplie par : $1-{\displaystyle \frac{15}{100}}=\mathrm{0,85.}$

Après $n$ années : $u_n=8000\times {\mathrm{0,85}}^n\mathrm{.}$

Le piège de l'addition

Karim pense qu'une hausse de $20\mathrm{\%}$ revient à ajouter $20$ chaque mois. C'est faux.

Une hausse de $20\mathrm{\%}$ correspond à une multiplication par $\mathrm{1,20}$.

Garde ce contraste en tête : à gauche les points s'alignent sur une droite, à droite ils s'envolent le long d'une courbe.

Leçon 6 — Limite d'une suite

Étudier la limite d'une suite, c'est observer ce que deviennent ses termes quand le rang $n$ devient très grand.

On écrit : ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}{u}_n=\mathrm{\ell }\mathrm{.}$

Exemple de convergence

La suite définie par : $u_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\text{pour }n\ge 1$

a pour premiers termes : $1,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{4}},\dots$

Plus $n$ grandit, plus ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ se rapproche de $0$.

On écrit : ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0.$

Exemple de divergence vers $+\mathrm{\infty }$

La suite définie par : $u_n=n^2$

donne : $0,1,4,9,16,25,\dots$

Ses termes deviennent aussi grands que l'on veut.

On écrit : ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}{n}^2=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Visualise ces deux comportements sur des points isolés : à gauche ils se tassent contre une limite, à droite ils montent sans jamais s'arrêter.

Suites géométriques et limites

Pour une suite géométrique de forme $u_n=q^n$, le comportement dépend de la raison $q$.

Exemple. ${\mathrm{1,05}}^n\to +\mathrm{\infty }$ car $\mathrm{1,05}>1$.

Mais : ${\mathrm{0,85}}^n\to 0$ car $0<\mathrm{0,85}<1$.

Le piège de la croissance

Salma pense qu'une suite croissante tend forcément vers $+\mathrm{\infty }$.

C'est faux.

La suite : $u_n=1-{\displaystyle \frac{1}{n}}\text{pour }n\ge 1$

est croissante, mais elle se rapproche de $1$.

Donc une suite peut être croissante et converger vers une limite finie.

Leçon 7 — Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration propre aux propriétés qui dépendent d'un entier $n$.

Imagine une file de dominos. Pour faire tomber toute la file, il suffit de vérifier deux choses :

1. le premier domino tombe ;
2. chaque domino qui tombe fait tomber le suivant.

C'est exactement l'idée de la récurrence.

Exemple guidé

Démontrons que, pour tout entier $n\ge 0$ : $1+2+3+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\mathrm{.}$

Initialisation.

Pour $n=0$, la somme est vide et vaut $0$.

Le membre de droite vaut : ${\displaystyle \frac{0(0+1)}{2}}=0.$

La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité.

On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier $n\ge 0$, c'est-à-dire : $1+2+3+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\mathrm{.}$

On veut montrer qu'elle est vraie au rang $n+1$ : $1+2+3+\cdots +n+(n+1)={\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\mathrm{.}$

En utilisant l'hypothèse de récurrence : $1+2+\cdots +n+(n+1)={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}+(n+1)\mathrm{.}$

On factorise par $(n+1)$ : ${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}+(n+1)=(n+1)({\displaystyle \frac{n}{2}}+1)\mathrm{.}$

Donc : $(n+1)({\displaystyle \frac{n}{2}}+1)=(n+1)\left({\displaystyle \frac{n+2}{2}}\right)={\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\mathrm{.}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion.

Par récurrence, pour tout entier $n\ge 0$ : $1+2+3+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\mathrm{.}$

Le piège de la vérification

Karim vérifie la formule pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$, puis dit : « donc c'est vrai pour tout $n$ ».

C'est insuffisant. Vérifier quelques cas ne prouve pas une infinité de cas.

Pièges classiques

1. Confondre $n$ et $u_n$.
   $n$ est le rang. $u_n$ est la valeur du terme au rang $n$.

2. Oublier le rang de départ.
   Une suite peut commencer à $u_0$ ou à $u_1$. Les formules changent selon ce point de départ.

3. Confondre formule explicite et récurrence.
   Une formule explicite donne $u_n$ directement. Une récurrence donne $u_{n+1}$ à partir de $u_n$.

4. Conclure une variation avec seulement quelques valeurs.
   Pour démontrer qu'une suite est croissante, il faut raisonner pour tout $n$.

5. Confondre suite arithmétique et suite géométrique.
   Arithmétique : on ajoute. Géométrique : on multiplie.

6. Traiter un pourcentage comme une addition.
   Une hausse de $20\mathrm{\%}$ correspond à une multiplication par $\mathrm{1,20}$, pas à une addition de $20$.

7. Croire qu'une suite croissante tend forcément vers $+\mathrm{\infty }$.
   Une suite croissante peut converger vers une limite finie.

8. Mal rédiger la récurrence.
   Il faut initialisation, hérédité et conclusion.

Application concrète

Yasmine compare deux façons d'économiser pour acheter un ordinateur à $9000$ dh.

Option A — Épargne régulière.
Elle met $500$ dh de côté chaque mois. Si $u_n$ désigne son épargne après $n$ mois, alors : $u_n=500n\mathrm{.}$

C'est une suite arithmétique de raison $500$.

Elle atteint $9000$ dh lorsque : $500n=9000.$

Donc : $n=18.$

Il lui faut $18$ mois.

Option B — Épargne avec rendement.
Elle place $6000$ dh dans un produit qui rapporte $4\mathrm{\%}$ par an. Si $v_n$ désigne le capital après $n$ années, alors : $v_n=6000\times {\mathrm{1,04}}^n\mathrm{.}$

C'est une suite géométrique de raison $\mathrm{1,04}$.

Après $5$ ans : $v_5=6000\times {\mathrm{1,04}}^5\approx 7300.$

Le capital augmente, mais il n'atteint pas encore $9000$ dh.

Conclusion.
Les suites permettent de comparer deux évolutions : l'une régulière par addition, l'autre multiplicative par pourcentage. C'est exactement leur force : transformer une situation réelle en modèle mathématique, puis calculer, comparer, prévoir.

À retenir