Suites numériques — exercices corrigés

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\ge 0$ par $u_n=2n+1$.

Quelle est la valeur de $u_3$ ?

Dans une suite $(u_n)$, que représente le nombre $u_5$ ?

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\ge 0$ par $u_n=n^2$.

Quelle est la valeur de $u_0$ ?

Parmi les suites suivantes, laquelle est arithmétique ?

Parmi les suites suivantes, laquelle est géométrique ?

Soit la suite arithmétique $(u_n)$ définie pour tout $n\ge 0$ par $u_n=3n+5$.

Quelle est sa raison $r$ ?

Soit la suite géométrique $(u_n)$ définie pour tout $n\ge 0$ par $u_n=2\times 3^n$.

Quelle est sa raison $q$ ?

Soit la suite arithmétique $(u_n)$ définie pour tout $n\ge 0$ par $u_n=4n+7$.

Quelle est la valeur de son premier terme $u_0$ ?

Soit la suite géométrique $(u_n)$ définie pour tout $n\ge 0$ par $u_n=5\times 2^n$.

Quelle est la valeur de son premier terme $u_0$ ?

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n+5$ pour tout $n\ge 0$.

Quelle est la valeur de $u_1$ ?

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n$ pour tout $n\ge 0$.

Quelle est la valeur de $u_2$ ?

Soit $(u_n)$ une suite telle que, pour tout $n\ge 0$ : $u_{n+1}-u_n>0.$

Que peux-tu en conclure ?

Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ définie pour $n\ge 1$ par $u_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$ ?

Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=n^2$ ?

Quelle est la limite de la suite géométrique $(u_n)$ définie par $u_n={\mathrm{1,05}}^n$ ?

Quelle est la limite de la suite géométrique $(u_n)$ définie par $u_n={\mathrm{0,5}}^n$ ?

Quelles sont les trois étapes d'une démonstration par récurrence ?

Augmenter une quantité de $20\mathrm{\%}$ revient à la multiplier par $\mathrm{1,20}$.

Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, alors pour tout $n\ge 0$ : $u_n=u_0+nr\mathrm{.}$

Dans toute suite $(u_n)$, on a toujours $u_n=n$.

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0=2$ et de raison $r=5$.

Calcule $u_{10}$.

Une chaîne YouTube compte $1000$ abonnés au départ et son nombre d'abonnés est multiplié par $\mathrm{1,20}$ chaque mois.

Soit $u_n$ le nombre d'abonnés après $n$ mois.

Quelle est la valeur de $u_5$, arrondie à l'unité ?

Calcule la somme : $S=1+2+3+\cdots +50.$

Calcule la somme des $10$ premiers entiers pairs strictement positifs : $S=2+4+6+\cdots +20.$

Yasmine met de côté $300$ dh chaque mois, à partir de zéro. On note $u_n$ son épargne (en dirhams) après $n$ mois.

Combien aura-t-elle économisé au bout de $18$ mois ?

Une voiture achetée $8000$ dh perd $15\mathrm{\%}$ de sa valeur chaque année. On note $u_n$ sa valeur après $n$ années.

Quelle est la valeur de la voiture après $3$ ans, arrondie au dirham ?

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\ge 0$ par $u_n=3n+2$.

Quel est son sens de variation ?

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=4$ et $u_{n+1}=u_n+4$ pour tout $n\ge 0$.

Calcule $u_3$.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n$ pour tout $n\ge 0$.

Calcule $u_4$.

Yasmine économise $300$ dh chaque mois à partir de zéro. On note $u_n$ son épargne après $n$ mois.

Quel est le plus petit entier $n$ tel que $u_n\ge 5000$ dh ?

Karim suit une page Instagram qui compte $5000$ abonnés aujourd'hui. Le nombre d'abonnés augmente de $10\mathrm{\%}$ chaque mois. On note $u_n$ le nombre d'abonnés après $n$ mois.

Quel sera le nombre d'abonnés au bout de $4$ mois, arrondi à l'unité ?

Salma étudie une culture de bactéries qui double toutes les heures. Au départ, on compte $100$ bactéries. On note $u_n$ le nombre de bactéries après $n$ heures.

Combien y aura-t-il de bactéries après $5$ heures ?

On considère deux suites de premier terme $u_0=v_0=100$ :

• $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=50$ ;
• $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\mathrm{1,5}$.

À partir d'un certain rang, laquelle est la plus grande ?

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=8000\times {\mathrm{0,85}}^n$ (valeur d'une voiture qui perd $15\mathrm{\%}$ par an).

Quelle est la limite de cette suite ?

Si une suite est croissante, alors elle tend forcément vers $+\mathrm{\infty }$.

Pour étudier le sens de variation d'une suite $(u_n)$ à termes strictement positifs, on peut comparer le quotient ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ à $1$.

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique définie pour $n\ge 1$, de premier terme $u_1=10$ et de raison $r=3$.

Calcule $u_5$.

Calcule la somme : $S=1+2+3+\cdots +100.$

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0=3$ et $u_5=23$.

Quelle est sa raison $r$ ?

Soit $(u_n)$ une suite géométrique à termes strictement positifs, telle que $u_0=2$ et $u_2=18$.

Quelle est sa raison $q$ ?

Une chaîne de magasins de Casablanca ouvre $7$ boutiques la première année, puis $4$ de plus chaque année suivante. On note $u_n$ le nombre de boutiques l'année $n$, avec $u_1=7$ (première année) et raison $r=4$.

Karim veut le nombre de boutiques la ${10}^{\text{e}}$ année. Il écrit : $u_{10}=u_1+10r=7+10\times 4=47.$

A-t-il raison ?

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=3u_n-2\text{pour tout }n\ge 0.$

Salma veut $u_4$. Elle remplace directement $n$ par $4$ dans la relation et écrit : $u_4=3\times 4-2=10.$

A-t-elle raison ?

À Fès, Amine observe le nombre de cigognes recensées chaque printemps : $40$, puis $60$, puis $90$, puis $135$.

Il déclare : « Ça monte régulièrement, donc c'est une suite arithmétique : entre $40$ et $60$ il y a $+20$, je continue avec $+20$ et je prévois $155$ l'an prochain. »

A-t-il raison ?

Yasmine veut financer son permis de conduire, qui coûte $9000$ dh. Elle ouvre un compte d'épargne et y verse $500$ dh dès l'ouverture, puis $500$ dh à chaque début de mois suivant. On note $u_n$ son épargne (en dirhams) après $n$ mois pleins, avec $u_0=500$.

1. Donne la nature de la suite $(u_n)$ et précise son premier terme et sa raison.
2. Donne l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
3. Au bout de combien de mois pleins son épargne atteint-elle pour la première fois $9000$ dh ?

La chaîne YouTube du cousin de Karim compte $1000$ abonnés aujourd'hui. Le nombre d'abonnés augmente de $20\mathrm{\%}$ chaque mois. On note $u_n$ le nombre d'abonnés après $n$ mois, avec $u_0=1000$.

1. Justifie que $(u_n)$ est une suite géométrique et précise sa raison.
2. Donne l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
3. Combien d'abonnés la chaîne aura-t-elle au bout d'un an, arrondi à l'unité ?

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\ge 0$ par $u_n=n^2-3n+5$.

Démontre que la suite est strictement croissante à partir d'un certain rang, à déterminer.

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\ge 0$ par $u_n={\displaystyle \frac{3^n}{n+1}}$.

Démontre, à l'aide de la méthode du quotient, que la suite est strictement croissante.

Yasmine et Amine veulent tous les deux économiser pour acheter un ordinateur à $9000$ dh.

• Yasmine met $500$ dh de côté chaque mois (premier versement à $n=0$).
• Amine place $6000$ dh dès le départ sur un produit bancaire qui rapporte $4\mathrm{\%}$ par an.

On note $u_n$ l'épargne de Yasmine après $n$ mois et $v_n$ celle d'Amine après $n$ années.

1. Donne l'expression de $u_n$ puis de $v_n$.
2. Après $5$ ans, lequel des deux a le plus d'argent (arrondi au dirham) ?

Karim affirme : « Si une chaîne YouTube de $1000$ abonnés augmente de $20\mathrm{\%}$ par mois, alors elle gagne $200$ abonnés chaque mois. Au bout d'un an, elle aura donc $1000+12\times 200=3400$ abonnés. »

Quelle est la critique correcte du raisonnement de Karim ?

Salma observe la suite $(u_n)$ et calcule : $u_0=2,u_1=5,u_2=8.$

Elle conclut : « la suite est croissante pour tout $n$ ».

Le raisonnement de Salma est-il valide ?

Soit la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ pour tout $n\ge 0$.

Karim veut calculer $u_3$ et écrit : $u_3=2\times 3+3=9.$

Quelle est l'erreur de Karim ?

Démontre par récurrence que, pour tout entier $n\ge 1$ : $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2\mathrm{.}$

Démontre par récurrence que, pour tout entier $n\ge 0$ : $2^n\ge n+1.$

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3=10$ et $u_8=25$.

Calcule $u_{15}$.

Soit $(u_n)$ une suite géométrique à termes strictement positifs telle que $u_2=12$ et $u_5=96$.

Calcule $u_{10}$.

Salma achète un téléphone à $5000$ dh. Sa valeur diminue de $20\mathrm{\%}$ chaque année. On note $u_n$ la valeur du téléphone (en dirhams) après $n$ années.

Au bout de combien d'années entières la valeur du téléphone passe-t-elle pour la première fois sous $1500$ dh ?

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=200\times {\mathrm{0,95}}^n$.

Quelle est la justification correcte du calcul de ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}{u}_n$ ?

Yasmine ouvre un nouveau compte d'épargne. Elle décide de verser $100$ dh le premier mois, puis d'augmenter son versement mensuel de $50$ dh chaque mois.

Quel sera le montant total versé après $12$ mois ?

Pour démontrer que la propriété $P(n):\text{«}1+2+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\text{»}$ est vraie pour tout $n\ge 1$, Karim écrit :

« Pour $n=1$ : $1={\displaystyle \frac{1\times 2}{2}}$, c'est vrai. Pour $n=2$ : $1+2=3={\displaystyle \frac{2\times 3}{2}}$, c'est vrai. Pour $n=3$ : $1+2+3=6={\displaystyle \frac{3\times 4}{2}}$, c'est vrai. Donc la propriété est vraie pour tout $n\ge 1$. »

Quelle est la critique correcte de la démonstration de Karim ?

Karim observe la chaîne YouTube de son cousin : elle compte $1000$ abonnés et augmente de $20\mathrm{\%}$ chaque mois. On note $u_n$ le nombre d'abonnés après $n$ mois.

Au bout de combien de mois entiers le nombre d'abonnés dépasse-t-il pour la première fois $2000$ ?

Une boutique de prêt-à-porter à Casablanca affiche un produit au prix initial de $800$ dh. Pendant la période des soldes, le prix est diminué de $10\mathrm{\%}$ chaque semaine. On note $u_n$ le prix du produit (en dirhams) après $n$ semaines de soldes, avec $u_0=800$.

1. Justifie que $(u_n)$ est géométrique et précise sa raison.
2. Quel est le prix après $4$ semaines, arrondi au dirham ?
3. Yasmine affirme : « Après $10$ semaines de soldes à $-10\mathrm{\%}$, le produit sera gratuit ». A-t-elle raison ? Justifie.

Un village du Moyen Atlas comptait $2400$ habitants en $2020$. Chaque année, $3\mathrm{\%}$ des habitants quittent le village pour s'installer en ville. On note $u_n$ le nombre d'habitants $n$ années après $2020$, avec $u_0=2400$.

1. Justifie que $(u_n)$ est géométrique et précise sa raison.
2. Quelle sera la population estimée en $2030$ (arrondie à l'unité) ?
3. Salma affirme que la population du village va finir par disparaître complètement. Que penser de cette affirmation à la lumière du modèle mathématique ?

Parmi les quatre situations suivantes, laquelle se modélise naturellement par une suite arithmétique (et non géométrique) ?

Restitution organisée de connaissances. Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$, c'est-à-dire vérifiant $u_{n+1}=q{u}_n$ pour tout entier $n\ge 0$.

Démontre par récurrence que, pour tout entier $n\ge 0$ : $u_n=u_0{q}^n\mathrm{.}$

Ta rédaction fera apparaître les trois étapes attendues : initialisation, hérédité, conclusion.