Limites de fonctions — exercices corrigés

La fonction $x\mapsto 3x+1$ est affine, donc définie et continue en $2$. Pour ce type de fonction « régulière », la limite se calcule par substitution directe : ${\lim }_{x\to 2}(3x+1)=3\times 2+1=7.$

À retenir : pour un polynôme ou une fonction affine, la limite en un réel $a$ s'obtient simplement en remplaçant $x$ par $a$. Ce n'est plus vrai si la fonction n'est pas définie en $a$ (par exemple un quotient avec $0$ au dénominateur).

Quand $x$ devient aussi grand que l'on veut, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ devient aussi petit que l'on veut, tout en restant strictement positif. Sa valeur se rapproche de $0$ sans jamais l'atteindre : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x}}=0.$

À retenir : c'est l'une des limites usuelles à connaître par cœur. La courbe de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ admet la droite $y=0$ comme asymptote horizontale en $+\mathrm{\infty }$.

Quand $x$ devient très grand, $x^2$ devient encore plus grand : pour $x=100$, $x^2=10000$ ; pour $x=1000$, $x^2=1000000$. La valeur de $x^2$ dépasse n'importe quel seuil dès que $x$ est assez grand.

On écrit donc : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{x}^2=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

À retenir : cette limite fait partie des limites usuelles. Plus généralement, ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{x}^n=+\mathrm{\infty }$ pour tout entier $n\ge 1$.

Le cube garde le signe : si $x<0$, alors $x^3<0$. Par exemple, $(-10{)}^3=-1000$ et $(-100{)}^3=-1000000$. Quand $x$ devient très négatif, $x^3$ devient très négatif aussi : ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^3=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

À retenir : pour une puissance impaire ($x$, $x^3$, $x^5$, …), la limite en $-\mathrm{\infty }$ vaut $-\mathrm{\infty }$. Pour une puissance paire ($x^2$, $x^4$, …), elle vaut $+\mathrm{\infty }$. Le piège classique est de confondre les deux.

Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul. Pour $x=-100$, $x^2=10000$ ; pour $x=-1000$, $x^2=1000000$. Quand $x$ devient très négatif, $x^2$ devient très positif : ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^2=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

Si tu as répondu B, tu as confondu avec $x^3$ : une puissance impaire garde le signe, mais une puissance paire le supprime. C'est exactement l'erreur de Karim dans le cours.

La fonction racine carrée est croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et n'est bornée par aucune valeur. Pour $x=10000$, $\sqrt{x}=100$ ; pour $x=1000000$, $\sqrt{x}=1000$. Elle croît plus lentement que $x$, mais elle tend bien vers $+\mathrm{\infty }$ : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\sqrt{x}=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

À retenir : c'est une limite usuelle. Attention, $\sqrt{x}$ n'est pas définie pour $x<0$, donc on ne parle pas de sa limite en $-\mathrm{\infty }$.

Quand $x$ se rapproche de $0$ par valeurs strictement positives, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ explose vers le haut. Pour $x=\mathrm{0,01}$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}=100$ ; pour $x=\mathrm{0,0001}$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}=10000$. Donc : ${\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

À retenir : la droite $x=0$ est une asymptote verticale à la courbe de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$. Il faut toujours préciser le côté ($0^{+}$ ou $0^{-}$), car les deux comportements sont opposés.

Quand $x$ se rapproche de $0$ par valeurs strictement négatives, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ devient très négatif. Pour $x=-\mathrm{0,01}$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}=-100$ ; pour $x=-\mathrm{0,0001}$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}=-10000$. Donc : ${\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{1}{x}}=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$

À retenir : combinée avec la limite à droite, on voit que la limite en $0$ « tout court » n'existe pas : les deux côtés donnent des comportements opposés. C'est le piège classique de la valeur interdite.

C'est faux. Une fonction peut très bien admettre une limite en un point où elle n'est pas définie. L'exemple type du cours : $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}\mathrm{.}$

Cette fonction n'est pas définie en $x=1$ (division par $0$), pourtant pour $x\mathrm{\ne }1$ on a $f(x)=x+1$, et donc : ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2.$

À retenir : la limite décrit un comportement quand $x$ se rapproche de $a$, pas la valeur en $a$. Confondre les deux est le premier piège à éviter en analyse.

Par définition, si la limite de $f(x)$ en $+\mathrm{\infty }$ est un réel $\mathrm{\ell }$, alors la droite horizontale d'équation $y=\mathrm{\ell }$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\mathrm{\infty }$. Ici $\mathrm{\ell }=5$, donc la droite est $y=5$.

Si tu as répondu B, attention : une asymptote verticale correspond à une limite infinie en un réel $a$, pas à une limite finie en $+\mathrm{\infty }$. Si tu as répondu D, n'oublie pas que la courbe peut osciller, monter ou descendre tant qu'elle finit par se rapprocher de $y=5$.

Quand $f(x)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ (ou $-\mathrm{\infty }$) lorsque $x$ tend vers un réel $a$, la droite verticale d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe. Ici $a=3$, donc la droite est $x=3$.

Si tu as répondu C, retiens que $+\mathrm{\infty }$ n'est pas un nombre : une fonction ne peut pas « prendre la valeur » $+\mathrm{\infty }$. La fonction n'est tout simplement pas définie en $3$, et c'est précisément ce qui produit l'asymptote.

Dans le cas A, $x^2\to +\mathrm{\infty }$ et $x\to +\mathrm{\infty }$, donc on obtient $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ : on ne peut pas conclure directement. C'est une forme indéterminée.

Dans le cas B, les deux termes tendent vers $+\mathrm{\infty }$, leur somme tend vers $+\mathrm{\infty }$ : pas d'indétermination. Dans le cas C, c'est une limite usuelle qui vaut $0$. Dans le cas D, on a $3+(+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$, pas d'indétermination.

À retenir : la forme $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ se reconnaît quand deux termes infinis sont soustraits l'un à l'autre. Pour la lever, on factorise par le terme dominant.

Pour le cas A, en remplaçant $x$ par $3$ : le numérateur vaut $9-9=0$ et le dénominateur vaut $3-3=0$. C'est bien ${\displaystyle \frac{0}{0}}$, indéterminée.

Pour les autres : B donne ${\displaystyle \frac{3}{-4}}$, valeur finie. C donne $0$ (limite usuelle). D donne ${\displaystyle \frac{1}{-2}}$, valeur finie. Aucune indétermination.

À retenir : la forme ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ se reconnaît quand le numérateur et le dénominateur s'annulent ensemble en $a$. On la lève typiquement par factorisation et simplification du facteur commun.

Lire une limite sur un graphique en $+\mathrm{\infty }$, c'est repérer la valeur dont la courbe se rapproche quand on regarde très loin à droite. Ici, la courbe se colle à la droite $y=4$, donc : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=4.$

La droite $y=4$ est alors une asymptote horizontale en $+\mathrm{\infty }$. Le fait que la courbe « ne franchisse pas » la droite n'est pas obligatoire pour la limite — elle pourrait osciller autour de $y=4$ et avoir la même limite.

À droite de $2$ (c'est-à-dire pour $x>2$ proche de $2$), la courbe monte vers $+\mathrm{\infty }$ : ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\mathrm{\infty }$. À gauche de $2$, la courbe descend vers $-\mathrm{\infty }$ : ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Comme les deux limites latérales sont différentes, la limite « en $2$ tout court » n'existe pas — d'où le rejet de C. La droite $x=2$ est cependant une asymptote verticale, peu importe le côté.

Quand les deux limites sont finies, la limite d'une somme est la somme des limites : ${\lim }_{x\to 2}(f(x)+g(x))={\lim }_{x\to 2}f(x)+{\lim }_{x\to 2}g(x)=3+4=7.$

À retenir : cette règle ne s'applique sans réserve qu'avec des limites finies. Dès qu'un infini apparaît, il faut vérifier qu'on n'obtient pas une forme indéterminée comme $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$.

Pour deux limites finies, la limite d'un produit est le produit des limites : ${\lim }_{x\to 1}(f(x)\times g(x))=5\times (-2)=-10.$

À retenir : la règle marche tant que les deux limites sont finies. Si l'une vaut $0$ et l'autre $\pm \mathrm{\infty }$, on tombe sur la forme indéterminée $0\times \mathrm{\infty }$ qui demande une transformation.

C'est faux. $+\mathrm{\infty }$ n'est pas un nombre que l'on soustrait comme $5-5=0$. C'est un symbole qui décrit un comportement, pas une valeur numérique.

L'écriture $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ représente une forme indéterminée : selon les fonctions, le résultat peut être $+\mathrm{\infty }$, $-\mathrm{\infty }$, un réel quelconque, ou même ne pas exister.

Exemple : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(x^2-x)=+\mathrm{\infty }$, alors que ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(x-x^2)=-\mathrm{\infty }$. Les deux ressemblent pourtant à $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$. À retenir : ne jamais « calculer » avec l'infini comme avec un nombre.

C'est faux. L'asymptote horizontale décrit un comportement à l'infini : la courbe finit par s'en rapprocher autant qu'on veut. Mais rien n'interdit qu'elle la touche, voire la coupe, pour des valeurs finies de $x$.

Exemple : la fonction $f(x)={\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}$ a pour asymptote horizontale $y=0$ en $+\mathrm{\infty }$, et pourtant elle coupe cette droite une infinité de fois (à chaque fois que $\sin (x)=0$).

À retenir : l'asymptote concerne le comportement à long terme, pas le tracé local. Une courbe peut couper son asymptote horizontale autant de fois qu'elle veut.

Les quatre limites usuelles en $+\mathrm{\infty }$ à connaître par cœur : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}x=+\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{x}^2=+\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\sqrt{x}=+\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x}}=0.$

Les fonctions « qui montent » ($x$, $x^2$, $x^n$, $\sqrt{x}$) explosent toutes vers $+\mathrm{\infty }$. Les fonctions « qui descendent vers $0$ » sont les inverses de puissances ($1\mathrm{/}x$, $1\mathrm{/}{x}^2$, …). Si tu as répondu B, attention : $\sqrt{x}$ croît, même lentement — il ne tend pas vers $0$.