Primitives et intégrales

Leçon 1 — Comprendre l'idée de primitive

Tu sais déjà dériver une fonction. Par exemple, si : $F(x)=x^2,$

alors : $F^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\mathrm{.}$

La question inverse est : si on connaît $f(x)=2x$, peut-on retrouver une fonction dont la dérivée est $2x$ ?

Oui : une telle fonction est $F(x)=x^2$. On dit que $F$ est une primitive de $f$.

Exemple. Une primitive de $f(x)=3x^2$ est : $F(x)=x^3,$

car : $F^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2\mathrm{.}$

Il n'y a jamais une seule primitive

Si $F(x)=x^3$ est une primitive de $3x^2$, alors : $G(x)=x^3+5$

est aussi une primitive, car la dérivée d'une constante est nulle.

Plus généralement, toutes les fonctions : $x^3+C$

avec $C$ réel, sont des primitives de $3x^2$.

Pourquoi toutes les primitives diffèrent d'une constante

Ce théorème se démontre, et c'est une ROC classique du bac. Il repose sur un résultat que tu connais déjà : sur un intervalle, une fonction dont la dérivée est nulle partout est constante (une fonction qui ne monte ni ne descend reste à la même valeur).

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$, et soit $G$ une autre primitive quelconque de $f$ sur ce même intervalle $I$. Considère leur différence $H=G-F$. En dérivant : $H^{\mathrm{\prime }}(x)=G^{\mathrm{\prime }}(x)-F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-f(x)=0\text{pour tout }x\in I\mathrm{.}$

La dérivée de $H$ est nulle sur l'intervalle $I$ : donc $H$ est constante, c'est-à-dire qu'il existe un réel $C$ tel que $H(x)=C$ pour tout $x\in I$. Autrement dit $G(x)-F(x)=C$, soit : $G(x)=F(x)+C\mathrm{.}$

Toute primitive de $f$ s'écrit donc bien sous la forme $F+C$. Réciproquement, pour n'importe quelle constante $C$, la fonction $F+C$ vérifie $(F+C{)}^{\mathrm{\prime }}=F^{\mathrm{\prime }}=f$ : c'est bien une primitive. Les primitives de $f$ sont donc exactement les fonctions $F+C$.

L'hypothèse « sur un intervalle » est essentielle : sur une réunion de deux intervalles disjoints, la constante pourrait différer d'un morceau à l'autre. Cette idée « dérivée nulle $\Rightarrow$ fonction constante » est aussi au cœur de la résolution des équations différentielles, que tu croiseras juste après.

Le piège de la constante

Karim écrit que la primitive de $2x$ est seulement $x^2$.

C'est incomplet. La famille complète des primitives est : $x^2+C\mathrm{.}$

La constante $C$ ne disparaît pas dans la primitive ; elle disparaît seulement quand on dérive.

Leçon 2 — Primitives usuelles

Trouver une primitive, c'est faire une dérivation à l'envers. Certaines formules doivent devenir automatiques.

Exemples guidés

Exemple 1. Trouver une primitive de : $f(x)=5x^4\mathrm{.}$

Une primitive de $x^4$ est : ${\displaystyle \frac{x^5}{5}}\mathrm{.}$

Donc une primitive de $5x^4$ est : $5\times {\displaystyle \frac{x^5}{5}}=x^5\mathrm{.}$

Exemple 2. Trouver une primitive de : $g(x)=3x^2-4x+7.$

On primitive terme à terme : $G(x)=x^3-2x^2+7x\mathrm{.}$

En effet : $G^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x+7.$

Exemple 3. Trouver une primitive de : $h(x)=2{\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{3}{x}}$

sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Une primitive est : $H(x)=2{\mathrm{e}}^x+3\ln (x)\mathrm{.}$

Le piège de la puissance

Salma cherche une primitive de $x^3$ et écrit : $3x^2\mathrm{.}$

Elle a dérivé au lieu de primitiver.

La bonne primitive est : ${\displaystyle \frac{x^4}{4}}\mathrm{.}$

Leçon 3 — Primitives de fonctions composées simples

Certaines fonctions demandent de reconnaître une structure composée.

Forme $u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$

Exemple. Trouver une primitive de : $f(x)=3{\mathrm{e}}^{3x+1}\mathrm{.}$

On reconnaît : $u(x)=3x+1\text{et}{u}^{\mathrm{\prime }}(x)=3.$

Donc une primitive est : $F(x)={\mathrm{e}}^{3x+1}\mathrm{.}$

Forme ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$

Exemple. Trouver une primitive de : $g(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}\mathrm{.}$

On pose : $u(x)=x^2+1.$

Alors : $u^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\mathrm{.}$

Donc une primitive est : $G(x)=\ln (x^2+1)\mathrm{.}$

Forme $u^{\mathrm{\prime }}{u}^n$

Exemple. Trouver une primitive de : $k(x)=4x(2x^2+1{)}^5\mathrm{.}$

On pose : $u(x)=2x^2+1.$

Alors : $u^{\mathrm{\prime }}(x)=4x\mathrm{.}$

Donc une primitive est : $K(x)={\displaystyle \frac{(2x^2+1{)}^6}{6}}\mathrm{.}$

Le piège du facteur manquant

Karim cherche une primitive de : ${\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{.}$

Il répond : ${\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{.}$

Mais la dérivée de ${\mathrm{e}}^{2x}$ est : $2{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{.}$

Il y a un facteur $2$ en trop.

La bonne primitive est : ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{.}$

Leçon 4 — De l'aire sous la courbe à l'intégrale

L'intégrale permet de mesurer une aire sous une courbe.

Imaginons une fonction $f$ positive sur un intervalle $[a;b]$. L'aire comprise entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites verticales $x=a$ et $x=b$ est notée : ${\int }_a^{b}f(x)dx\mathrm{.}$

Pourquoi cette aire est utile

Si $f(x)$ représente une vitesse en km/h et $x$ le temps en heures, alors : ${\int }_a^{b}f(x)dx$

représente la distance parcourue entre les instants $a$ et $b$.

Si $f(x)$ représente un débit en litres par minute, alors : ${\int }_a^{b}f(x)dx$

représente le volume total écoulé.

Si $f(x)$ représente un bénéfice marginal, alors : ${\int }_a^{b}f(x)dx$

représente un bénéfice total accumulé.

Le piège de l'aire négative

Salma pense qu'une intégrale est toujours une aire positive.

Ce n'est vrai que si la fonction est positive.

Si la fonction est négative sur un intervalle, l'intégrale est négative : elle correspond à une aire comptée avec un signe moins.

Leçon 5 — Calculer une intégrale avec une primitive

Le lien entre primitive et intégrale est l'un des résultats les plus importants de l'analyse.

On note aussi : ${\int }_a^{b}f(x)dx={[F(x)]}_a^b\mathrm{.}$

Exemple guidé

Calculer : ${\int }_1^{3}2xdx\mathrm{.}$

Une primitive de $2x$ est : $F(x)=x^2\mathrm{.}$

Donc : ${\int }_1^{3}2xdx=F(3)-F(1)\mathrm{.}$

Ainsi : ${\int }_1^{3}2xdx=3^2-1^2=9-1=8.$

Autre exemple

Calculer : ${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x}dx\mathrm{.}$

Une primitive de ${\mathrm{e}}^x$ est ${\mathrm{e}}^x$.

Donc : ${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x}dx={\mathrm{e}}^1-{\mathrm{e}}^0=\mathrm{e}-1.$

Le piège de l'ordre

Karim calcule : ${\int }_1^{3}2xdx$

et fait : $F(1)-F(3)\mathrm{.}$

Il obtient : $1-9=-8.$

C'est le mauvais ordre. La formule est : $F(b)-F(a)\mathrm{.}$

Ici : $F(3)-F(1)=8.$

Leçon 6 — Propriétés de l'intégrale

Les intégrales obéissent à des règles simples mais très utiles.

Linéarité

Relation de Chasles

Changement d'orientation

En particulier : ${\int }_a^{a}f(x)dx=0.$

Le piège du découpage

Salma écrit : ${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_b^{c}f(x)dx\mathrm{.}$

C'est faux. Si les bornes sont dans l'ordre $a$, $b$, $c$, alors on additionne : ${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx\mathrm{.}$

Leçon 7 — Valeur moyenne d'une fonction

L'intégrale permet aussi de calculer une valeur moyenne.

Si une fonction $f$ varie sur un intervalle $[a;b]$, sa valeur moyenne est le nombre constant qui donnerait la même aire sur cet intervalle.

Exemple. Une température varie au cours de la journée entre $8$ h et $20$ h. Si $T(t)$ représente la température à l'heure $t$, alors : ${\displaystyle \frac{1}{20-8}}{\int }_8^{20}T(t)dt$

donne la température moyenne sur cette période.

Exemple guidé

Calculer la valeur moyenne de : $f(x)=2x$

sur $[1;3]$.

On a déjà calculé : ${\int }_1^{3}2xdx=8.$

La longueur de l'intervalle est : $3-1=2.$

Donc la valeur moyenne est : $m={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 8=4.$

Le piège de la moyenne arithmétique

Karim calcule la moyenne de $f$ sur $[1;3]$ en faisant seulement : ${\displaystyle \frac{f(1)+f(3)}{2}}\mathrm{.}$

Cela donne parfois le bon résultat pour des fonctions très simples, mais ce n'est pas la définition générale.

La vraie valeur moyenne est : $m={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f(x)dx\mathrm{.}$

Pièges classiques

1. Oublier la constante dans les primitives.
   Toutes les primitives s'écrivent $F(x)+C$.

2. Dériver au lieu de primitiver.
   Une primitive de $x^3$ est ${\displaystyle \frac{x^4}{4}}$, pas $3x^2$.

3. Oublier le facteur intérieur.
   Une primitive de ${\mathrm{e}}^{2x}$ est ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{2x}$, pas ${\mathrm{e}}^{2x}$.

4. Croire qu'une intégrale est toujours positive.
   Elle est positive si la fonction est positive, négative si la fonction est négative.

5. Inverser les bornes.
   ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, pas $F(a)-F(b)$.

6. Confondre aire géométrique et aire algébrique.
   Une partie sous l'axe des abscisses compte négativement dans l'intégrale.

7. Mal appliquer la relation de Chasles.
   On additionne les morceaux dans le bon ordre.

8. Calculer une valeur moyenne avec seulement deux valeurs.
   La valeur moyenne d'une fonction se calcule avec une intégrale.

Application concrète

Yasmine étudie le débit d'eau qui remplit une citerne. Le débit, en litres par minute, est modélisé par : $d(t)=2t+10$

pour $0\le t\le 30$, où $t$ est le temps en minutes.

Elle veut connaître le volume total d'eau entré dans la citerne pendant les $30$ premières minutes.

Le volume total est : $V={\int }_0^{30}d(t)dt\mathrm{.}$

Donc : $V={\int }_0^{30}(2t+10)dt\mathrm{.}$

Une primitive de $2t+10$ est : $D(t)=t^2+10t\mathrm{.}$

On calcule : $V=D(30)-D(0)\mathrm{.}$

Or : $D(30)={30}^2+10\times 30=900+300=1200.$

et : $D(0)=0.$

Donc : $V=1200.$

La citerne reçoit donc $1200$ litres d'eau en $30$ minutes.

Interprétation.
Le débit donne une quantité instantanée, en litres par minute. L'intégrale additionne tous ces petits apports minute après minute pour obtenir le volume total.

C'est la même logique avec une vitesse : intégrer une vitesse donne une distance. Avec une puissance : intégrer une puissance donne une énergie. Avec un gain marginal : intégrer le gain marginal donne un gain total.

À retenir