Primitives et intégrales — exercices corrigés

Quelle est une primitive de la fonction $f(x)=0$ sur $\mathbb{R}$ ?

Quelle est une primitive de la fonction $f(x)=1$ sur $\mathbb{R}$ ?

Quelle est une primitive de la fonction $f(x)=x$ sur $\mathbb{R}$ ?

Quelle est une primitive de la fonction $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$ ?

Quelle est une primitive de la fonction $f(x)=x^4$ sur $\mathbb{R}$ ?

Quelle est une primitive de la fonction $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ ?

Quelle est une primitive de la fonction $f(x)={\mathrm{e}}^x$ sur $\mathbb{R}$ ?

Quelle est la forme générale de toutes les primitives de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$ ?

La fonction $F(x)=x^3+2x$ est une primitive de $f(x)=3x^2+2$ sur $\mathbb{R}$.

Calculer : ${\int }_0^{3}5dx\mathrm{.}$

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $a\in \mathbb{R}$. Que vaut : ${\int }_a^{a}f(x)dx?$

Pour toute fonction $f$ continue sur un intervalle contenant $a$ et $b$ : ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx\mathrm{.}$

Parmi les expressions suivantes, laquelle est de la forme ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)}{u(x)}}$ sur un intervalle où $u>0$ ?

Parmi les expressions suivantes, laquelle est de la forme $u^{\mathrm{\prime }}(x){\mathrm{e}}^{u(x)}$ ?

Parmi les expressions suivantes, laquelle est de la forme $u^{\mathrm{\prime }}(x)u(x{)}^n$ ?

Si $f$ est continue et positive sur $[a;b]$ (avec $a<b$), alors : ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0.$

Une fonction continue sur un intervalle n'admet qu'une seule primitive.

Dériver et primitiver sont des opérations inverses l'une de l'autre.

Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=x^3$. Calculer : $F(3)-F(1)\mathrm{.}$

Quelle est la formule de la valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur $[a;b]$ avec $a<b$ ?

Donner une primitive sur $\mathbb{R}$ de : $f(x)=3x^2-4x+7.$

Donner une primitive sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ de : $f(x)=2{\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{3}{x}}\mathrm{.}$

Donner une primitive sur $\mathbb{R}$ de : $f(x)=3{\mathrm{e}}^{3x+1}\mathrm{.}$

Donner une primitive sur $\mathbb{R}$ de : $f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}\mathrm{.}$

Donner une primitive sur $\mathbb{R}$ de : $f(x)=4x(2x^2+1{)}^5\mathrm{.}$

Calculer : ${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x}dx\mathrm{.}$

Calculer : ${\int }_1^{3}2xdx\mathrm{.}$

Calculer : ${\int }_0^2(3x^2+1)dx\mathrm{.}$

Calculer : ${\int }_1^{\mathrm{e}}{\displaystyle \frac{1}{x}}dx\mathrm{.}$

Calculer la valeur moyenne de la fonction $f(x)=2x$ sur l'intervalle $[1;3]$.

Calculer la valeur moyenne de $f(x)={\mathrm{e}}^x$ sur $[0;1]$.

On donne : ${\int }_0^{2}f(x)dx=4\text{et}{\int }_2^{5}f(x)dx=7.$

Calculer : ${\int }_0^{5}f(x)dx\mathrm{.}$

On donne : ${\int }_0^{1}f(x)dx=5\text{et}{\int }_0^{1}g(x)dx=2.$

Calculer : ${\int }_0^1(2f(x)+3g(x))dx\mathrm{.}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites verticales $x=0$ et $x=3$.

Donner une primitive sur $]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\mathrm{\infty }[$ de : $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2x+1}}\mathrm{.}$

Donner une primitive sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ de : $f(x)={\displaystyle \frac{x+2}{x}}\mathrm{.}$

La fonction $F(x)=(x-1){\mathrm{e}}^x$ est une primitive de $f(x)=x{\mathrm{e}}^x$ sur $\mathbb{R}$.

Pour primitiver $f(x)={\displaystyle \frac{3x^2}{x^3+1}}$ sur $]-1;+\mathrm{\infty }[$, quelle forme reconnaître ?

Calculer : ${\int }_{-1}^{1}xdx\mathrm{.}$

Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $F(0)=5$.

On demande à Karim une primitive de $f(x)=x^3$ sur $\mathbb{R}$. Il répond, sûr de lui : « C'est $3x^2$. » A-t-il raison ?

Yasmine cherche une primitive de $f(x)={\mathrm{e}}^{2x}$. Elle raisonne : « La primitive de ${\mathrm{e}}^x$ est ${\mathrm{e}}^x$, donc la primitive de ${\mathrm{e}}^{2x}$ est ${\mathrm{e}}^{2x}$. » A-t-elle raison ?

Salma connaît ${\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)dx=5}$ et ${\displaystyle {\int }_2^{7}f(x)dx=3}$. Elle veut ${\displaystyle {\int }_0^{7}f(x)dx}$ et écrit : « Avec la relation de Chasles, ${\displaystyle {\int }_0^{7}f={\int }_0^{2}f-{\int }_2^{7}f=5-3=2}$. » A-t-elle raison ?

Amine doit calculer la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0;3]$. Il écrit : « La moyenne, c'est la moyenne des deux extrémités : ${\displaystyle \frac{f(0)+f(3)}{2}}={\displaystyle \frac{0+9}{2}}=\mathrm{4,5}$. » A-t-il raison ?

Yasmine surveille le remplissage de la citerne sur le toit de la maison familiale à Casablanca. Le débit du robinet, en litres par minute, varie au cours du temps selon : $d(t)=2t+10,0\le t\le 30,$

où $t$ est exprimé en minutes.

Calculer le volume total $V$, en litres, qui entre dans la citerne au cours des $30$ premières minutes.

Karim conduit de Casablanca à El Jadida. Sa vitesse, en km/h, est modélisée par : $v(t)=80+20t,0\le t\le 1,$

où $t$ est exprimé en heures.

Calculer la distance totale $D$, en km, parcourue pendant cette heure.

Salma teste un petit appareil électronique au laboratoire de physique. La puissance consommée, en watts, suit : $P(t)=60+10t,0\le t\le 1,$

où $t$ est exprimé en heures.

Calculer l'énergie totale $E$, en wattheures (Wh), consommée pendant cette heure.

Karim doit calculer : ${\int }_1^{4}3x^{2}dx\mathrm{.}$

Il écrit : « Une primitive de $3x^2$ est $x^3$. Donc l'intégrale vaut $F(1)-F(4)=1-64=-63$. »

Quelle est la critique correcte du raisonnement de Karim ?

Salma affirme : « Une intégrale représente une aire, et une aire est toujours positive. Donc ${\int }_a^{b}f(x)dx$ est forcément positive. »

Quelle est la critique correcte de son raisonnement ?

On demande à Yasmine de donner toutes les primitives de $f(x)=6x^2+4$ sur $\mathbb{R}$.

Elle répond : « C'est $F(x)=2x^3+4x$. »

Quelle est la critique correcte de sa réponse ?

Dans une commune marocaine, le taux de naissances par mois est modélisé, sur une année, par : $n(t)=100+10t,0\le t\le 12,$

où $t$ est le mois et $n(t)$ s'exprime en naissances par mois.

Calculer le nombre total $N$ de naissances sur l'année.

À Ifrane, lors d'un orage, la station météo enregistre un débit de précipitation, en mm/h, modélisé par : $p(t)=6t-3t^2,0\le t\le 2,$

où $t$ est en heures.

Calculer la quantité totale $H$ de pluie tombée pendant ces deux heures, en mm.

Karim dirige une petite fabrique de jus de fruits à Agadir. Le coût marginal de production, en dirhams par bouteille supplémentaire, est modélisé par : $C_m(q)=20+2q,0\le q\le 10,$

où $q$ est le nombre de bouteilles produites.

Sachant qu'il n'y a pas de coût fixe, calculer le coût total $C$, en dirhams, de la production de $10$ bouteilles.

Salma modélise la température, en °C, à Marrakech au cours d'une journée d'avril, entre $6$ h et $18$ h, par : $T(t)=15+(t-6)-{\displaystyle \frac{(t-6{)}^2}{12}},6\le t\le 18.$

Calculer la valeur moyenne $\bar{T}$ de la température sur cette période de $12$ heures.

On considère les fonctions $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$ sur $[0;1]$. Sur cet intervalle, on a $f(x)\ge g(x)$.

Calculer l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire, du domaine compris entre les deux courbes pour $x\in [0;1]$.

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ contenant $a$, $b$ et $c$, et soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.

Démontrer que : ${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx\mathrm{.}$

Soit $f(x)=x$ sur $[-2;2]$. Calculer l'aire géométrique $\mathcal{A}$ du domaine compris entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses sur $[-2;2]$.

On considère la fonction $f(x)=3x^2$ sur $\mathbb{R}$. Parmi les fonctions suivantes, laquelle est la primitive $F$ de $f$ vérifiant $F(1)=10$ ?

Déterminer la primitive $F$ de $f(x)={\mathrm{e}}^{2x}$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $F(0)=2$.

Une particule se déplace sur une route rectiligne. Sa vitesse algébrique, en m/s, est donnée par $v(t)=t-2$ pour $0\le t\le 4$.

On calcule : ${\int }_0^{4}v(t)dt\mathrm{.}$

Interpréter le résultat en termes de déplacement, et expliquer pourquoi il diffère de la distance totale parcourue.

Si $f$ est continue sur $[a;b]$ (avec $a<b$) et si ${\int }_a^{b}f(x)dx=0$, alors $f$ est identiquement nulle sur $[a;b]$.

Yasmine gère une boutique en ligne à Rabat. Le bénéfice marginal réalisé pour la $q$-ième commande, en dirhams, est modélisé par : $B_m(q)=50-2q,0\le q\le 20.$

Calculer le bénéfice total $B$, en dirhams, dégagé après $20$ commandes.

Pour quelle valeur de $a>0$ l'aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ entre $0$ et $a$ vaut-elle exactement $9$ unités d'aire ?

Soit la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t}dt\mathrm{.}$

1. Donner une expression simple de $F(x)$.
2. Calculer $F^{\mathrm{\prime }}(x)$.
3. Étudier le signe de $F$ et son sens de variation.

Restitution organisée de connaissances. On admet le résultat suivant : sur un intervalle, une fonction dont la dérivée est nulle est constante.

Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$. Démontre que les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions de la forme $F+C$, où $C$ est une constante réelle.

Ta démonstration comportera les deux sens : que $F+C$ est bien une primitive, et que toute primitive s'écrit ainsi. Explique enfin pourquoi l'hypothèse « sur un intervalle » est indispensable.