Dérivation et convexité — exercices corrigés

Soit $f$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x+2$.

Calcule le taux de variation de $f$ entre $a=1$ et $b=4$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.

Calcule le taux de variation de $f$ entre $1$ et $4$.

Donne la fonction dérivée de $f(x)=x^2$.

Donne la fonction dérivée de $f(x)=x^3$.

En utilisant la formule ${\left(x^n\right)}^{\mathrm{\prime }}=n{x}^{n-1}$, donne la dérivée de $f(x)=x^5$.

Donne la fonction dérivée de $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Donne la fonction dérivée de $f(x)=\sqrt{x}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Soit $c$ un réel fixé. Donne la dérivée de la fonction constante $f(x)=c$.

Calcule la dérivée de $f(x)=3x^2+5x$.

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ?

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$. Que représente le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ géométriquement ?

Vrai ou faux : pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$, on a $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}{v}^{\mathrm{\prime }}$.

Vrai ou faux : si $f$ est dérivable et $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors $f$ admet forcément un extremum local en $a$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, telle que $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ pour tout $x$ de $I$.

Que peut-on conclure sur $f$ ?

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, telle que $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ pour tout $x$ de $I$.

Que peut-on conclure sur $f$ ?

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, telle que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ pour tout $x$ de $I$.

Que peut-on conclure sur $f$ ?

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, telle que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$ pour tout $x$ de $I$.

Que peut-on conclure sur $f$ ?

On considère deux courbes :

• la courbe ${\mathcal{C}}_1$ d'équation $y=x^2$,
• la courbe ${\mathcal{C}}_2$ d'équation $y=-x^2$.

Laquelle est convexe sur $\mathbb{R}$ et laquelle est concave sur $\mathbb{R}$ ?

Vrai ou faux : si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors le point d'abscisse $a$ est un point d'inflexion de la courbe de $f$.

Parmi les quatre lignes suivantes, laquelle est fausse ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=2x^3-5x^2+x-4.$

Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.

Donne l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a=1$.

On considère la fonction $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-4$ définie sur $\mathbb{R}$.

Étudie le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$.

On considère la fonction $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x(2-x)$ définie sur $\mathbb{R}$.

Étudie le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+1$.

Dresse le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x+5$.

Quelle est la valeur du minimum local de $f$ ?

Une fonction $f$ étudiée sur l'intervalle $[-2;5]$ admet le tableau de variations suivant :

• $f$ est croissante sur $[-2;1]$, avec $f(-2)=0$ et $f(1)=3$ ;
• $f$ est décroissante sur $[1;4]$, avec $f(4)=-1$ ;
• $f$ est croissante sur $[4;5]$, avec $f(5)=6$.

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.

Étudie la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$ en utilisant $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x$.

Étudie la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$ et donne l'abscisse du point d'inflexion.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$.

Justifie que $0$ est l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe de $f$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ par : $f(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}}\mathrm{.}$

Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par : $g(x)=x^2\sqrt{x}\mathrm{.}$

Calcule $g^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x$.

Détermine les abscisses des points où la tangente à la courbe de $f$ est horizontale.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.

Pour quelle valeur de $a$ la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est-elle parallèle à la droite d'équation $y=4x+1$ ?

Vrai ou faux : une fonction convexe sur un intervalle est nécessairement croissante sur cet intervalle.

Vrai ou faux : si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors la courbe de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $a$.

On veut dériver la fonction : $h(x)={\displaystyle \frac{x^2+1}{x-3}}\mathrm{.}$

Quelle formule appliquer en priorité ?

Soit $f(x)=x^2$.

Compare le taux de variation de $f$ entre $2$ et $4$ avec le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(3)$.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On donne le tableau de variations de $f^{\mathrm{\prime }}$ :

• $f^{\mathrm{\prime }}$ est décroissante sur $]-\mathrm{\infty };1]$ ;
• $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante sur $[1;+\mathrm{\infty }[$.

Que peut-on en déduire sur la convexité de $f$ ?

On observe la courbe d'une fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ : la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$ et la courbe est concave sur $\mathbb{R}$ (tournée vers le bas, comme la courbe de $\sqrt{x}$).

Que peut-on dire des signes de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$ ?

Yasmine modélise la distance parcourue, en kilomètres, sur la route de Casablanca à Ifrane par une fonction $d(t)$, où $t$ est le temps en heures. Sachant que $d(0)=0$ et $d(3)=240$, elle affirme :

« La voiture roule à $80$ km/h, donc à l'instant $t=\mathrm{1,5}$ h sa vitesse instantanée est forcément $d^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{1,5})=80$. »

A-t-elle raison ?

Karim étudie le bénéfice d'une entreprise de Rabat, modélisé par une fonction $B$ sur $[0;6]$. Son tableau de variations donne :

• $B$ croissante sur $[0;2]$, avec $B(0)=1$ et $B(2)=5$ ;
• $B$ décroissante sur $[2;4]$, avec $B(4)=3$ ;
• $B$ croissante sur $[4;6]$, avec $B(6)=9$.

Karim affirme : « En $x=2$, la dérivée s'annule et passe du $+$ au $-$, donc $B(2)=5$ est le bénéfice maximal de l'entreprise. »

A-t-il raison ?

Yasmine roule sur la route qui monte vers Ifrane. Sa position, en kilomètres, depuis son point de départ à l'instant $t$ exprimé en heures est donnée par : $d(t)=50t+10t^2$

pour $t\in [0;\mathrm{1,5}]$.

Calcule sa vitesse instantanée à $t=1$ h, exprimée en km/h.

Karim modélise le bénéfice de son stand de jus frais à Casablanca par : $B(x)=-x^3+6x^2+15x-20,$

où $x$ représente le nombre de centaines de bouteilles vendues par jour, pour $x\in [0;8]$, et $B(x)$ est exprimé en milliers de dirhams.

Pour quelle valeur de $x$ le bénéfice de Karim est-il maximal ?

Salma étudie en classe de physique le profil d'une rampe d'accès devant un bâtiment de Rabat. La hauteur du sol au-dessus du niveau d'entrée (en mètres) en fonction de la distance horizontale $x$ (en mètres) est modélisée par : $h(x)=\mathrm{0,05}{x}^2$

pour $x\in [0;4]$.

Calcule la pente de la rampe à $x=2$ m. Que représente cette pente géométriquement ?

Salma veut dériver $f(x)=x^2\times (x+1)$. Elle écrit :

« Je dérive séparément les deux facteurs. La dérivée de $x^2$ est $2x$, celle de $x+1$ est $1$. Donc $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\times 1=2x$. »

Quelle est la critique correcte du raisonnement de Salma ?

Karim étudie les variations de $f(x)=x^2-4x+1$. Il calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-4$ et affirme :

« Comme $2x-4$ contient un $x$, alors la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$. »

Quelle est la critique correcte du raisonnement de Karim ?

Yasmine affirme : « Une tangente à une courbe ne peut toucher la courbe qu'en un seul point, sinon ce n'est plus une tangente. »

Quelle est la critique correcte ?

Démontre que si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. (Démonstration guidée : utilise l'inégalité des accroissements finis, admise dans le cours.)

Justifie le théorème suivant : « si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est convexe sur $I$ ». Tu pourras utiliser le lien admis « $f$ convexe $⟺$ $f^{\mathrm{\prime }}$ croissante » et le théorème reliant signe de $g^{\mathrm{\prime }}$ et monotonie de $g$.

Une entreprise de Tanger modélise son bénéfice mensuel par : $B(q)=-2q^2+40q-100,$

où $q$ est le nombre de centaines d'unités produites et $B(q)$ est le bénéfice en milliers de dirhams, sur l'intervalle $[0;20]$.

Pour quelle valeur de $q$ le bénéfice est-il maximal ?

Le coût total de production d'une coopérative agricole d'Agadir est modélisé par : $C(q)=q^2+100$

(en milliers de dirhams), où $q$ est le nombre de centaines de caisses produites, pour $q\in ]0;30]$.

Le coût moyen par centaine de caisses est : $C_m(q)={\displaystyle \frac{C(q)}{q}}=q+{\displaystyle \frac{100}{q}}\mathrm{.}$

Pour quelle valeur de $q$ le coût moyen est-il minimal ?

Yasmine veut clôturer un jardin rectangulaire dans la palmeraie de Marrakech avec $20$ m de grillage. Si on note $x$ la longueur (en mètres) et $y$ la largeur du jardin, on a $2x+2y=20$, soit $y=10-x$.

Pour quelle dimension du jardin l'aire $A(x)=x(10-x)$ est-elle maximale ?

Donne la valeur de l'aire maximale (en m²).

Karim découpe quatre carrés identiques de côté $x$ (en cm) aux quatre coins d'un carton carré de côté $12$ cm, puis replie les bords pour fabriquer une boîte sans couvercle. Le volume de la boîte, en cm³, est : $V(x)=x(12-2x{)}^2$

pour $x\in ]0;6[$.

Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.

Détermine les abscisses $a$ telles que la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ passe par le point $M(1;-3)$ (qui n'est pas sur la courbe).

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ par : $f(x)={\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}\mathrm{.}$

Détermine le domaine, calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, étudie son signe et déduis les variations de $f$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-6x^2+9x$.

Étudie les variations et la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$, et donne l'abscisse du point d'inflexion.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+1$.

Détermine la (ou les) valeur(s) de $a$ telle(s) que la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ passe par l'origine $O(0;0)$.

Yasmine est passagère d'une voiture sur l'autoroute Casablanca-Rabat. Soit $x(t)$ sa position en mètres à l'instant $t$ (en secondes), $v(t)=x^{\mathrm{\prime }}(t)$ sa vitesse instantanée, et $a(t)=v^{\mathrm{\prime }}(t)=x^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$ son accélération.

Sur un certain intervalle, on observe $a(t)>0$. Que ressent Yasmine pendant cet intervalle ?

Karim suit le nombre cumulé d'abonnés à sa chaîne YouTube depuis sa création. La courbe est strictement croissante. Sur les premiers mois, elle est convexe (« la croissance s'accélère »), puis à partir d'un certain mois $t_0$, elle devient concave (« la croissance ralentit »).

Que représente économiquement le point d'inflexion en $t_0$ ?

Vrai ou faux : il existe des fonctions dérivables dont une tangente recoupe la courbe en un autre point que le point de contact.

Yasmine hésite entre deux modèles de bénéfice mensuel pour une petite boulangerie de Rabat, où $q$ est le nombre de centaines de pains produits par mois et $B(q)$ est en milliers de dirhams :

• modèle A : $B_A(q)=-q^2+12q-20$ sur $[0;12]$ ;
• modèle B : $B_B(q)=-2q^2+20q-30$ sur $[0;10]$.

Pour chacun, elle veut trouver le bénéfice maximal. Quel modèle donne le bénéfice maximal le plus élevé ?

Restitution organisée de connaissances. On admet dans cet exercice les deux résultats du cours suivants :

• (R1) une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est convexe sur $I$ lorsque sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante sur $I$ ;
• (R2) une fonction dérivable sur un intervalle, dont la dérivée est positive sur cet intervalle, y est croissante.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, telle que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$ pour tout $x\in I$.

Démontre que $f$ est convexe sur $I$. Explique ensuite pourquoi l'hypothèse « sur un intervalle » est indispensable au bon fonctionnement de l'argument.