Les nombres relatifs

Découvrir les nombres négatifs

Avant la 5e, tu as toujours compté des choses positives : 3 pommes, 7 km, 12,5 L. Mais certaines situations demandent d'aller en dessous de zéro : une température hivernale, une altitude sous le niveau de la mer, un compte bancaire en négatif. Pour ça, on a inventé les nombres négatifs.

Le zéro devient une frontière : au-dessus les nombres positifs, en dessous les négatifs. Ensemble, positifs, négatifs et zéro forment les nombres relatifs.

Comment on les écrit

Un nombre négatif s'écrit toujours avec le signe $-$ devant. Pas de raccourci possible, ce signe est obligatoire pour qu'on sache qu'il s'agit d'un nombre négatif.

Pour les nombres positifs, le signe $+$ est facultatif. On peut écrire $+3$ ou simplement $3$, c'est exactement le même nombre. En général, on l'omet sauf quand on veut insister sur le signe (par exemple dans une liste qui contient des positifs et des négatifs côte à côte).

Quelques exemples pour t'habituer

• $+7$ et $7$ sont le même nombre, c'est un nombre positif.
• $-3$ est un nombre négatif. On le lit "moins trois".
• $-\mathrm{2,5}$ est un nombre négatif décimal. On le lit "moins deux virgule cinq".
• $0$ n'est ni positif ni négatif. C'est le seul nombre dans ce cas.

Repérer un nombre sur une droite graduée

Pour mieux comprendre les nombres relatifs, le meilleur outil c'est un dessin : la droite graduée. C'est une droite horizontale sur laquelle on a marqué le zéro, puis qu'on a découpée en intervalles réguliers.

À droite du zéro, on place les nombres positifs. À gauche, les nombres négatifs. Plus on s'éloigne du zéro, plus le nombre est "grand en distance" — peu importe son signe.

Placer un nombre décimal

Placer $3$ ou $-2$ est facile, ces nombres tombent pile sur une graduation. Mais comment placer $\mathrm{2,5}$ ou $-\mathrm{3,7}$ ?

La règle est simple : tu repères les deux entiers entre lesquels le nombre se trouve, puis tu places le point entre ces deux graduations, en respectant la proportion.

• $\mathrm{2,5}$ se trouve à mi-chemin entre $2$ et $3$.
• $-\mathrm{3,7}$ se trouve entre $-4$ et $-3$, plus près de $-4$ (parce que $\mathrm{0,7}$ est plus proche de $1$ que de $0$).

Distance à zéro et opposé

Deux notions importantes vont venir de la droite graduée.

Par exemple, la distance à zéro de $+5$ est $5$. La distance à zéro de $-5$ est aussi $5$. Les deux nombres sont à la même distance du zéro, mais de chaque côté.

Par exemple, $+5$ et $-5$ sont opposés. $-\mathrm{2,3}$ et $+\mathrm{2,3}$ sont opposés. Le seul nombre qui est son propre opposé, c'est $0$.

Comparer deux nombres relatifs

Maintenant que tu sais placer les nombres relatifs sur une droite graduée, comparer deux nombres devient visuel.

Cette règle est universelle. Elle marche pour deux positifs, deux négatifs, ou un mélange des deux.

Comparer deux positifs

Tu sais déjà le faire depuis le primaire : entre $3$ et $7$, c'est $7$ qui est le plus grand, parce que $7$ est plus à droite que $3$ sur la droite graduée. On écrit $3<7$ ou $7>3$.

Comparer deux négatifs — attention au piège

C'est ici qu'il faut être vigilant. Compare $-3$ et $-7$. Lequel est le plus grand ?

L'instinct te souffle que $7$ est plus grand que $3$, donc $-7$ devrait être plus grand que $-3$. C'est faux.

Sur la droite graduée, $-7$ est à gauche de $-3$. Donc $-7$ est plus petit que $-3$. On écrit $-7<-3$.

Une astuce pour ne plus te tromper : pense au thermomètre. $-7$ degrés, c'est plus froid que $-3$ degrés. Plus froid = plus petit comme température. Donc $-7<-3$.

Comparer un positif et un négatif

Cette comparaison est la plus simple : un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif. Toujours, sans exception.

• $+1>-1000$ (oui, même $-1000$ est plus petit que $+1$)
• $+\mathrm{0,1}>-50$
• $0>-3$

Ranger une série de nombres

Pour ranger plusieurs nombres dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand), une méthode infaillible :

1. Sépare les négatifs et les positifs en deux groupes.
2. Range les négatifs entre eux (le plus négatif d'abord, c'est-à-dire celui dont la distance à zéro est la plus grande).
3. Place le zéro après les négatifs s'il est dans la liste.
4. Range les positifs entre eux comme tu sais déjà le faire.
5. Recolle tout.

Exemple. Range dans l'ordre croissant : $-3$ ; $+5$ ; $-7$ ; $0$ ; $+2$ ; $-\mathrm{1,5}$.

• Négatifs : $-3$ ; $-7$ ; $-\mathrm{1,5}$. Rangés : $-7<-3<-\mathrm{1,5}$.
• Zéro : $0$.
• Positifs : $+5$ ; $+2$. Rangés : $+2<+5$.
• Résultat : $-7<-3<-\mathrm{1,5}<0<+2<+5$.

Additionner deux nombres relatifs

L'addition de deux nombres relatifs suit une règle qui dépend des signes des deux nombres.

Cas 1 — Deux nombres de même signe

Quand les deux nombres ont le même signe (tous deux positifs, ou tous deux négatifs) :

1. Tu additionnes leurs distances à zéro.
2. Tu gardes le signe commun.

Exemples.

• $(+5)+(+3)=+8$ — tu connais déjà.
• $(-5)+(-3)=-8$ — les deux distances $5$ et $3$ s'additionnent en $8$, le signe commun est $-$.
• $(-\mathrm{2,5})+(-7)=-\mathrm{9,5}$.

Cas 2 — Deux nombres de signes contraires

Quand les deux nombres ont des signes contraires (un positif et un négatif) :

1. Tu fais la différence de leurs distances à zéro (la plus grande moins la plus petite).
2. Tu prends le signe du nombre dont la distance à zéro est la plus grande.

Exemples.

• $(+8)+(-3)=+5$ — la différence $8-3=5$, et le signe est $+$ parce que $8>3$.
• $(+3)+(-8)=-5$ — la différence est encore $5$, mais le signe est $-$ parce que cette fois $8>3$ avec $8$ du côté du négatif.
• $(-12)+(+4)=-8$.
• $(+6)+(-6)=0$ — quand on additionne un nombre et son opposé, on tombe toujours sur $0$.

Pratique mentale

Avec un peu d'entraînement, ces calculs deviennent automatiques. Pose-toi systématiquement deux questions :

• Les signes sont-ils les mêmes ou contraires ?
• Quelle est la plus grande distance à zéro ?

Une fois que tu sais répondre à ces deux questions, le résultat sort tout seul.

Soustraire deux nombres relatifs

Voici la règle la plus utile de tout le chapitre. Une fois que tu la connais, tu n'auras plus jamais à apprendre une autre méthode.

Cela veut dire que toute soustraction peut être transformée en addition. Tu remplaces le signe $-$ de la soustraction par un $+$, et tu changes le signe du nombre qui suit. Une fois la transformation faite, tu appliques les règles d'addition que tu viens d'apprendre.

Quatre cas à connaître

Voyons comment ça marche sur les quatre combinaisons possibles de signes.

Cas 1. $(+5)-(+3)=(+5)+(-3)=+2$. La soustraction d'un positif devient l'addition de son opposé négatif.

Cas 2. $(+5)-(-3)=(+5)+(+3)=+8$. La soustraction d'un négatif devient l'addition de son opposé positif. Attention : c'est ici que les élèves se trompent souvent. Soustraire un nombre négatif augmente le résultat.

Cas 3. $(-5)-(+3)=(-5)+(-3)=-8$. Tous les signes restent négatifs.

Cas 4. $(-5)-(-3)=(-5)+(+3)=-2$. Encore une fois, soustraire un négatif fait apparaître un $+$.

La méthode systématique

Quand tu vois une soustraction de relatifs, applique toujours la même méthode en deux étapes :

1. Réécris la soustraction comme une addition (change le signe de la soustraction, change le signe du second nombre).
2. Applique les règles d'addition.

Exemple. Calcule $(-7)-(-4)$.

Étape 1 : $(-7)-(-4)=(-7)+(+4)$. Étape 2 : Signes contraires, distances $7$ et $4$, différence $3$, signe du plus grand en distance ($-7$). Résultat : $-3$.

Avec un peu de pratique, tu sauteras l'étape 1 mentalement.

Pièges classiques

Cette section regroupe les erreurs que tous les élèves font au moins une fois. Les connaître à l'avance, c'est ne plus tomber dedans.

Piège 1 : confondre signe et opération. Quand tu vois $-3-5$, attention. Le premier $-$ est le signe du nombre $-3$, le deuxième est l'opération soustraction. Donc $-3-5=(-3)-(+5)=(-3)+(-5)=-8$. Pas $-3-5=+2$ ou autre acrobatie.

Piège 2 : croire que $-7>-3$ parce que $7>3$. Quand on compare deux négatifs, plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit. $-7$ est à gauche de $-3$ sur la droite graduée, donc $-7<-3$. Pense thermomètre.

Piège 3 : oublier que la soustraction n'est pas commutative. $(+5)-(+3)=+2$ mais $(+3)-(+5)=-2$. L'ordre compte. Si tu inverses, tu obtiens l'opposé.

Piège 4 : mal placer un décimal négatif. $-\mathrm{3,5}$ se trouve entre $-4$ et $-3$, pas entre $-3$ et $-2$. Quand le nombre est négatif, il faut "compter à reculons". Pour t'aider, place d'abord la version positive ($+\mathrm{3,5}$) puis prends son symétrique par rapport au zéro.

Application concrète

Voyons comment tout ce que tu viens d'apprendre sert dans la vie réelle. Suivons le compte bancaire de Yasmine sur une semaine.

Yasmine commence la semaine avec un solde de $+200$ dirhams. Voici les opérations :

Jour	Opération	Calcul	Solde
Lundi	Solde initial	—	$+200$
Mardi	Achat de 80 dh	$200+(-80)$	$+120$
Mercredi	Achat de 150 dh	$120+(-150)$	$-30$
Jeudi	Dépôt de 50 dh	$(-30)+(+50)$	$+20$
Vendredi	Achat de 60 dh	$20+(-60)$	$-40$
Samedi	Dépôt de 100 dh	$(-40)+(+100)$	$+60$

Trois choses à remarquer dans ce tableau :

• Quand Yasmine dépense, on ajoute un nombre négatif (parce que la dépense fait baisser le solde).
• Quand elle dépose, on ajoute un nombre positif.
• Mercredi, son solde devient négatif : elle est à découvert. Cela ne pose pas de problème de calcul — les nombres relatifs gèrent naturellement cette situation.

Un autre exemple parlant : la variation de température entre deux moments.

Si la température était de $-5$°C ce matin et qu'elle est maintenant de $+3$°C, de combien a-t-elle augmenté ? Tu cherches la différence entre la température finale et la température initiale :

$3-(-5)=3+5=8.$

La température a augmenté de $8$°C. C'est exactement ce que tu vois sur la droite graduée : pour aller de $-5$ à $+3$, tu fais $8$ pas vers la droite.

Inversement, si la température passe de $+10$°C à $-2$°C, la variation est :

$-2-(+10)=-2+(-10)=-12.$

La température a baissé de $12$°C. Le signe $-$ du résultat indique que c'est une diminution.

À retenir

Avant de passer aux exercices, voici les cinq règles essentielles à mémoriser. Si tu les as solidement en tête, tu maîtriseras les nombres relatifs.