Les symétries — exercices corrigés

La symétrie axiale est une transformation qui utilise comme référence :

Si un point $A$ est situé sur l'axe de symétrie $d$, alors son symétrique par rapport à $d$ est lui-même.

Le point $A(3;5)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Quelle est l'abscisse de son image $A^{\mathrm{\prime }}$ ?

Le point $B(6;-4)$ est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. Quelle est l'ordonnée de son image $B^{\mathrm{\prime }}$ ?

Combien un triangle isocèle (non équilatéral) possède-t-il d'axes de symétrie ?

Combien un rectangle non carré possède-t-il d'axes de symétrie ?

Dans la symétrie centrale de centre $O$, le point $O$ est :

Le symétrique du point $C(-2;5)$ par rapport à l'origine $O(0;0)$ est :

Le centre de symétrie d'un parallélogramme est l'intersection de ses diagonales.

La symétrie axiale conserve les longueurs : si $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ est le symétrique de $[AB]$, alors $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}=AB$.

Combien un carré possède-t-il d'axes de symétrie ?

Un triangle quelconque (dont les trois côtés ont des longueurs différentes) possède au moins un axe de symétrie.

Combien un losange non carré possède-t-il d'axes de symétrie ?

Combien un cercle possède-t-il d'axes de symétrie ?

La symétrie axiale conserve l'orientation d'une figure (sens de parcours des sommets).

Pour construire le symétrique du point $A$ par rapport à l'axe $d$, la première étape consiste à :

Contrairement à la symétrie axiale, la symétrie centrale conserve l'orientation d'une figure.

La médiatrice d'un segment $[AB]$ est l'axe de symétrie qui envoie $A$ sur $B$.

Un parallélogramme quelconque (non rectangle, non losange) possède des axes de symétrie.

Combien un triangle équilatéral possède-t-il d'axes de symétrie ?

Le point $A(1;3)$ est symétrique par rapport à la droite verticale $x=5$. Quelles sont les coordonnées de $A^{\mathrm{\prime }}$ ?

Le point $B(4;2)$ est symétrique par rapport à la droite horizontale $y=-2$. Quelle est l'ordonnée de $B^{\mathrm{\prime }}$ ?

Le point $A(1;4)$ est symétrique par rapport au point $O(3;1)$. Quelles sont les coordonnées de $A^{\mathrm{\prime }}$ ?

Le triangle $ABC$ a pour sommets $A(0;2)$, $B(3;0)$, $C(3;4)$. Salma affirme que la droite $x=3$ est un axe de symétrie de ce triangle. A-t-elle raison ?

Le segment $[AB]$ mesure 7 cm. On effectue la symétrie axiale par rapport à une droite $d$. Quelle est la longueur du segment image $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$, en cm ?

$A(2;5)$ et $A^{\mathrm{\prime }}(8;5)$ sont symétriques par rapport à un axe vertical. Quelle est l'équation de cet axe ?

$B(1;6)$ et $B^{\mathrm{\prime }}(7;2)$ sont symétriques par rapport à un point $O$. Quelles sont les coordonnées de $O$ ?

Le triangle $ABC$ a pour sommets $A(1;1)$, $B(4;1)$, $C(1;4)$. On effectue la symétrie axiale par rapport à la droite $y=x$ (la diagonale du repère). Parmi les propositions suivantes, laquelle donne correctement l'image de $A$ ?

Un triangle $ABC$ a un périmètre de 18 cm. On effectue sa symétrie axiale par rapport à une droite $d$. Quel est le périmètre du triangle image $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$, en cm ?

Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$ si et seulement si la médiatrice de $[BC]$ est un axe de symétrie du triangle.

Karim affirme : « Un triangle isocèle a un centre de symétrie. » A-t-il raison ?

Dans le triangle $ABC$, l'angle $\widehat{B}=73\mathrm{°}$. On effectue la symétrie axiale par rapport à une droite $d$, ce qui donne le triangle image $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{B^{\mathrm{\prime }}}$, en degrés ?

Le parallélogramme $ABCD$ a ses diagonales qui se coupent en $O(3;2)$. Le sommet $A$ a pour coordonnées $(1;5)$. Quelles sont les coordonnées du sommet $C$, symétrique de $A$ par rapport à $O$ ?

Si une figure possède deux axes de symétrie perpendiculaires, alors leur point d'intersection est un centre de symétrie de cette figure.

Salma doit construire le symétrique du point $A$ par rapport à un axe oblique $d$. Elle trace une droite parallèle à $d$ passant par $A$ et reporte la distance. A-t-elle la bonne méthode ?

Le segment $[MN]$ avec $M(2;7)$ et $N(8;3)$ possède un centre de symétrie. Quelles sont ses coordonnées ?

On effectue la symétrie centrale de centre $O(0;0)$ sur le carré de sommets $A(1;1)$, $B(3;1)$, $C(3;3)$, $D(1;3)$. L'image de $B(3;1)$ est :

Un rectangle a une aire de 12 cm². On effectue sa symétrie centrale par rapport à un point $O$. Quelle est l'aire du rectangle image, en cm² ?

Un parallélogramme $ABCD$ quelconque (dont les angles ne sont pas droits et dont les côtés adjacents sont inégaux) possède combien d'axes de symétrie ?

Le symétrique du point $P$ par rapport au centre $O(4;3)$ est $P^{\mathrm{\prime }}(7;1)$. Quelles sont les coordonnées de $P$ ?

Yasmine cherche le symétrique de $A$ par rapport à l'axe $d$. Elle trace la perpendiculaire à $d$, trouve le pied $I$ sur $d$, et écrit : « le symétrique de $A$, c'est $I$ ». Où est l'erreur ?

Karim cherche le symétrique de $A(5;1)$ par rapport au point $O(2;3)$. Il répond $A^{\mathrm{\prime }}(-5;-1)$ en « changeant les deux signes ». Quel est le vrai symétrique de $A$ ?

Salma affirme : « Ce parallélogramme a un centre de symétrie, donc il a forcément un axe de symétrie. » A-t-elle raison ?

Le triangle $ABC$ a pour sommets $A(0;4)$, $B(0;0)$, $C(3;0)$. On effectue sa symétrie axiale par rapport à la droite $d$ d'équation $x=4$.

1. Calcule les coordonnées de $A^{\mathrm{\prime }}$, $B^{\mathrm{\prime }}$, $C^{\mathrm{\prime }}$.
2. Quelle est la nature du triangle image $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ ? Justifie.

On effectue successivement deux symétries axiales sur le point $A(1;3)$ :

• d'abord la symétrie par rapport à la droite $x=3$, qui donne $A^{\mathrm{\prime }}$ ;
• puis la symétrie de $A^{\mathrm{\prime }}$ par rapport à la droite $x=7$, qui donne $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

1. Calcule les coordonnées de $A^{\mathrm{\prime }}$ puis de $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.
2. Décris le déplacement de $A$ à $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ en une phrase simple.

Amine trace quatre points : $P(1;1)$, $Q(5;1)$, $R(6;4)$, $S(2;4)$.

Il affirme : « $PQRS$ est un parallélogramme car le milieu de $[PR]$ est le même que le milieu de $[QS]$. »

Vérifie le calcul d'Amine et confirme ou infirme sa conclusion.

On effectue successivement deux symétries centrales sur le point $M(2;5)$ :

• d'abord la symétrie par rapport à $O_1(4;3)$, qui donne $M^{\mathrm{\prime }}$ ;
• puis la symétrie de $M^{\mathrm{\prime }}$ par rapport à $O_2(7;3)$, qui donne $M^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

1. Calcule les coordonnées de $M^{\mathrm{\prime }}$ et $M^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.
2. Quelle relation simple relie $M$ et $M^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ ?

Salma étudie le quadrilatère $EFGH$ de sommets $E(0;2)$, $F(3;0)$, $G(6;2)$, $H(3;4)$.

1. Montre que $EFGH$ a un centre de symétrie et donne ses coordonnées.
2. Salma affirme que $EFGH$ est un losange. Vérifie en calculant les longueurs des quatre côtés (utilise la formule de distance si tu la connais, sinon compte les cases).

Un motif de zellige est formé d'un carré de côté 4 cm, centré en $O(0;0)$, avec ses diagonales tracées. Combien ce motif complet (carré + ses deux diagonales) possède-t-il d'axes de symétrie ?

On donne trois sommets d'un parallélogramme : $A(1;4)$, $B(5;2)$, $C(7;5)$.

En utilisant la symétrie centrale, trouve les coordonnées du quatrième sommet $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

On effectue deux transformations successives sur le point $A(1;2)$ :

• d'abord la symétrie axiale par rapport à la droite $x=4$, qui donne $A^{\mathrm{\prime }}$ ;
• puis la symétrie centrale par rapport au point $O(5;3)$, qui donne $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

1. Calcule les coordonnées de $A^{\mathrm{\prime }}$ puis de $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.
2. Vérifie que $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }A$ : les deux transformations ne s'annulent pas.

Le rectangle $ABCD$ a pour sommets $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(6;4)$, $D(0;4)$.

Montre que la droite $x=3$ est un axe de symétrie de ce rectangle en calculant les symétriques des quatre sommets et en vérifiant qu'on retombe sur les sommets du rectangle.

Karim affirme : « La diagonale d'un rectangle est un axe de symétrie du rectangle. »

Prends le rectangle $ABCD$ avec $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(4;2)$, $D(0;2)$, et calcule le symétrique de $B(4;0)$ par rapport à la droite $y={\displaystyle \frac{x}{2}}$ (la diagonale $[AC]$) pour vérifier si Karim a raison.

On veut construire un triangle isocèle $ABC$ isocèle en $A$, avec $A(3;5)$ et $B(1;1)$ donnés. L'axe de symétrie du triangle est la droite $x=3$.

Trouve les coordonnées de $C$, le troisième sommet, en utilisant la symétrie axiale.

Salma effectue la symétrie centrale de centre $O(2;3)$ sur le point $P(5;7)$ pour obtenir $P^{\mathrm{\prime }}$. Puis elle effectue de nouveau la symétrie centrale de centre $O(2;3)$ sur $P^{\mathrm{\prime }}$ pour obtenir $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

Sans calculer, Salma affirme que $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=P$. A-t-elle raison ? Vérifie par le calcul.

On considère le segment $[AB]$ avec $A(1;2)$ et $B(5;4)$. On effectue la symétrie centrale de centre $O(3;4)$.

1. Calcule $A^{\mathrm{\prime }}$ et $B^{\mathrm{\prime }}$, les images de $A$ et $B$.
2. Amine affirme : « Le segment image $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$ est parallèle au segment $[AB]$. » A-t-il raison ?

Parmi les figures suivantes, laquelle possède à la fois des axes de symétrie et un centre de symétrie ?

Salma dessine un motif en forme de croix grecque (une croix dont les quatre branches sont identiques, à angles droits). La croix est centrée en $O(0;0)$ et ses quatre branches pointent vers le haut, le bas, la gauche et la droite.

1. Combien d'axes de symétrie ce motif possède-t-il ? Décris-les.
2. Ce motif possède-t-il un centre de symétrie ? Si oui, lequel ?

Un parallélogramme $ABCD$ a son centre de symétrie en $O(4;3)$. On effectue la symétrie axiale par rapport à la droite $x=6$ sur tout le parallélogramme pour obtenir le parallélogramme image $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$.

1. Quelle est l'image de $O$ par cette symétrie axiale ? Appelle-la $O^{\mathrm{\prime }}$.
2. Que représente $O^{\mathrm{\prime }}$ pour le parallélogramme $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$ ?

Karim affirme : « Effectuer trois fois de suite la symétrie centrale par rapport au même point $O$ revient à effectuer une seule symétrie centrale par rapport à $O$. »

A-t-il raison ?

Un point $P$ est son propre symétrique par rapport au centre $O(3;5)$ (c'est-à-dire $P^{\mathrm{\prime }}=P$). Quelles sont les coordonnées de $P$ ?

Amine sait que $A(1;4)$ et son image $A^{\mathrm{\prime }}(7;4)$ sont symétriques par rapport à une droite $d$ (inconnue). Il sait aussi que $B(3;1)$ et son image $B^{\mathrm{\prime }}(5;1)$ sont symétriques par rapport à la même droite $d$.

À partir de ces données, décris précisément la droite $d$.

Salma visite le pavillon des arts à Marrakech. Elle observe un motif en forme de losange $ABCD$ avec $A(0;3)$, $B(3;0)$, $C(6;3)$, $D(3;6)$.

1. Montre que $ABCD$ est bien un losange (les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu commun).
2. Donne les deux axes de symétrie du losange.
3. Donne le centre de symétrie du losange.
4. Salma ajoute un second losange identique en prenant le symétrique de $ABCD$ par rapport à la droite $x=6$. Donne les coordonnées des sommets de ce second losange $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$.