62 exercices pour t'entraîner sur Les angles en 5ᵉ, du QCM à la démonstration. 20 corrigés en détail ci-dessous. Revoir le cours.
On considère l'angle noté .
Quel est le sommet de cet angle ?
B
Dans la notation d'un angle à trois lettres, le sommet est toujours la lettre du milieu. Ici, a pour sommet . Les points et sont chacun sur l'un des deux côtés de l'angle, mais ils ne sont pas le sommet. C'est une convention universelle qu'il faut intégrer comme un réflexe : à chaque fois que tu lis , tu dois automatiquement repérer comme le sommet.
Un angle a pour sommet le point , et ses deux côtés passent par les points et .
Comment peut-on noter cet angle ?
A
Le sommet doit être la lettre du milieu dans la notation. Comme le sommet est , on l'écrit au milieu : (ou de manière équivalente , l'ordre des deux lettres extérieures n'ayant pas d'importance). Les options B, C et D placent ailleurs qu'au milieu, ce qui désigne en réalité un autre angle de sommet différent.
Les notations et désignent le même angle.
A
C'est vrai. Le sommet (ici ) est au milieu dans les deux écritures, donc l'angle a bien le même sommet. Les deux côtés sont les mêmes (l'un passe par , l'autre par ) — peu importe dans quel ordre on les nomme. Règle à retenir : seule la position du sommet compte ; l'ordre des deux autres lettres est libre.
Karim affirme : « Dans la notation , le sommet de l'angle est le point . »
A-t-il raison ?
B
Karim a tort. Dans la notation à trois lettres, le sommet est toujours la lettre du milieu. Donc dans , le sommet est , pas . C'est exactement le piège n°2 du chapitre. Astuce : visualise un chapeau pointu posé sur — c'est le sommet où se rencontrent les deux côtés.
Combien vaut un tour complet en degrés ?
360
Un tour complet vaut . Cette convention vient des Babyloniens, qui utilisaient un système numérique en base 60 et appréciaient les nombreuses divisions possibles de (par ). C'est un héritage qu'on retrouve aussi sur les horloges et dans les coordonnées géographiques. À mémoriser absolument : tous les autres repères (demi-tour, quart de tour, etc.) en découlent.
Combien vaut un demi-tour en degrés ?
180
Un demi-tour, c'est la moitié d'un tour complet : . Géométriquement, un demi-tour correspond à un angle plat : les deux côtés de l'angle sont alignés et forment une droite. C'est un repère essentiel : tu vas le retrouver à chaque fois que deux angles seront supplémentaires (somme ).
Quelle est l'unité de mesure usuelle des angles en géométrie au collège ?
C
L'unité de mesure usuelle des angles est le degré, noté °. Le mètre et le centimètre mesurent des longueurs, pas des angles — c'est une erreur classique chez les débutants de mélanger ces deux types de grandeurs. Le kilogramme mesure une masse. En 1ère et au-delà, tu rencontreras une autre unité d'angle (le radian), mais au collège, on travaille exclusivement en degrés.
Combien vaut un quart de tour en degrés ?
90
Un quart de tour, c'est . C'est exactement la mesure d'un angle droit, c'est-à-dire de deux demi-droites perpendiculaires. C'est l'angle le plus important à reconnaître d'un coup d'œil : on le marque toujours par un petit carré dans les figures.
Comment qualifier un angle qui mesure ?
B
Un angle est aigu quand sa mesure est strictement comprise entre et . Comme , l'angle de est aigu. Il n'est pas nul (sa mesure n'est pas ), pas droit (), pas obtus (sa mesure est inférieure à , alors qu'un obtus est entre et ).
Comment qualifier un angle qui mesure exactement ?
B
Un angle qui mesure exactement est appelé un angle droit. Ses deux côtés sont alors perpendiculaires (synonyme : qui forment un angle droit). Sur une figure, un angle droit se marque toujours par un petit carré dans le coin. Attention : un angle aigu est strictement plus petit que , un obtus est strictement plus grand — la valeur exactement est réservée à l'angle droit.
Comment qualifier un angle qui mesure ?
C
Un angle est obtus quand sa mesure est strictement comprise entre et . Comme , l'angle de est obtus. Si tu as répondu A (aigu), tu as confondu : un angle aigu est inférieur à . Si tu as répondu D (plat), c'est que tu n'as gardé que l'idée "supérieur à " sans voir qu'un angle plat vaut exactement .
Un angle qui mesure exactement est appelé un angle plat.
A
C'est vrai. Un angle de est un angle plat : les deux côtés sont alignés et forment ensemble une droite. C'est aussi exactement la mesure d'un demi-tour. Un angle plat est la frontière entre les angles obtus (qui sont strictement inférieurs à ) et les angles dits "rentrants" (qui dépassent , étudiés plus tard).
Quelle est, en degrés, la mesure d'un angle droit ?
90
Un angle droit mesure exactement . C'est la mesure-pivot du chapitre : en dessous, l'angle est aigu ; au-dessus, il est obtus. Les deux côtés d'un angle droit sont perpendiculaires — un mot que tu retrouveras dans tous les chapitres de géométrie qui suivent (triangles, parallélogrammes, aires, etc.).
Quelle est, en degrés, la mesure de l'angle complémentaire d'un angle de ?
60
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures vaut . On cherche donc la mesure manquante : . Si tu as répondu 150, tu as confondu avec supplémentaire (). Astuce mnémotechnique : "complémentaires fait un coin droit" (donc ).
Quelle est, en degrés, la mesure de l'angle supplémentaire d'un angle de ?
70
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut . On cherche donc : . Astuce mnémotechnique : "supplémentaires fait une simple droite" (donc ). Remarque : ici, le complémentaire de n'existe pas — un angle obtus n'a pas de complémentaire (parce que sa mesure dépasse déjà ).
Deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut...
C
Deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme vaut — soit la mesure d'un angle plat. Si tu as répondu A (), tu as confondu avec les angles complémentaires : c'est le piège n°4 du chapitre. Mnémo : "supplémentaires fait une simple droite" () ; "complémentaires fait un coin droit" ().
Deux angles qui mesurent chacun sont complémentaires.
A
C'est vrai. Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut . Or . Donc deux angles de sont bien complémentaires l'un de l'autre. Ce cas est intéressant parce que les deux angles ont la même mesure — chacun est le complémentaire de l'autre, et les deux ensemble forment exactement un angle droit.
Deux droites et sont coupées par une sécante . Deux des huit angles formés sont dits alternes-internes s'ils sont...
B
Deux angles sont alternes-internes quand ils sont :
Visuellement, deux alternes-internes dessinent un Z (ou son miroir) sur la figure. L'option C décrit plutôt la configuration des angles correspondants (voir l'exo suivant). L'option D est un piège : être alternes-internes n'a rien à voir avec la mesure — c'est une question de position sur la figure.
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants qu'elles forment avec cette sécante sont :
C
C'est le théorème central du chapitre : deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux (et aussi des angles alternes-internes égaux). Si tu as répondu B (supplémentaires), tu as peut-être confondu avec deux angles adjacents formés sur une même droite. Attention : ce théorème ne fonctionne que si les deux droites sont parallèles — sans cette hypothèse, l'égalité n'est pas garantie. C'est le piège n°6 du chapitre.
Deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants qui mesurent tous les deux . On peut alors affirmer que ces deux droites sont parallèles.
A
C'est vrai. C'est exactement la réciproque du théorème des parallèles : si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux (ou des angles alternes-internes égaux), alors ces deux droites sont parallèles. Cette réciproque est l'outil principal pour démontrer un parallélisme : on mesure (ou on calcule) les deux angles correspondants, et si on trouve la même valeur, on conclut au parallélisme. Tu réutiliseras ce résultat très souvent dans les chapitres de géométrie suivants.
Trois demi-droites , et partent toutes du même point . Elles forment trois angles distincts deux à deux : , et .
Quelle notation désigne l'angle dont les côtés sont et ?
On considère trois points , et qui forment un angle dont le sommet est , et dont les deux côtés passent respectivement par et par .
Parmi les notations suivantes, lesquelles désignent correctement cet angle ?
Yasmine partage un gâteau circulaire en 8 parts égales pour ses amis.
Quelle est, en degrés, la mesure de l'angle au centre d'une seule part ?
À 3 heures pile, sur une horloge à aiguilles, quel est l'angle formé entre la grande aiguille (qui pointe sur le 12) et la petite aiguille (qui pointe sur le 3) ?
Combien vaut, en degrés, un sixième de tour ?
Karim mesure un angle qu'il sait être aigu avec son rapporteur. Il lit la valeur .
Quelle est l'erreur la plus probable, et quelle est la vraie mesure de l'angle ?
Karim affirme : « Un angle qui mesure peut être considéré comme un angle droit, parce que c'est très proche de . »
A-t-il raison ?
On donne trois angles :
a) Range ces trois angles dans l'ordre croissant de leurs mesures.
b) Pour chacun, indique sa famille (aigu, droit, obtus, plat...).
Un angle qui mesure exactement est-il aigu ?
Un angle mesure . Quelle est, en degrés, la mesure de son supplémentaire ?
Un angle mesure . Quelle est, en degrés, la mesure de son complémentaire ?
Un angle de mesure n'admet pas d'angle complémentaire.
Deux angles sont supplémentaires. L'un d'eux mesure . Quelle est, en degrés, la mesure du second ?
Un angle plat est partagé en deux angles par une troisième demi-droite issue de son sommet. Si l'un des deux angles mesure , alors l'autre mesure .
Yasmine dessine deux angles complémentaires sur une feuille. Elle constate que l'un est exactement le double de l'autre.
Quelles sont, en degrés, les mesures de ces deux angles ?
Deux droites et sont coupées par une sécante . Parmi les caractéristiques suivantes, laquelle définit correctement une paire d'angles correspondants ?
Deux droites et sont parallèles. Elles sont coupées par une sécante qui forme, en l'un des deux points d'intersection, un angle alterne-interne de mesure .
Quelle est, en degrés, la mesure de l'autre angle alterne-interne (à l'autre point d'intersection) ?
Deux droites et sont parallèles, coupées par une sécante . Au premier point d'intersection , un angle mesure .
Quelle est, en degrés, la mesure de l'angle correspondant au second point d'intersection ?
Deux droites et sont parallèles, coupées par une sécante. Au point , un angle vaut . L'angle correspondant en vaut donc également (par le théorème des parallèles). On affirme alors que l'angle adjacent à ce correspondant en (formé sur la droite ) vaut .
Deux droites et sont coupées par une sécante. Lequel des constats suivants permet à lui seul de conclure que et sont parallèles ?
Salma affirme : « Un angle, c'est la surface coloriée entre les deux demi-droites. Si je l'ouvre plus, sa surface grandit, donc l'angle grandit. »
A-t-elle raison ?
On cherche le complémentaire d'un angle de . Karim répond : « C'est , parce que . »
Où est l'erreur de Karim, et quelle est la bonne réponse ?
Salma écrit dans son cahier : « Les notations et désignent le même angle, parce que ce sont les mêmes trois lettres dans un ordre différent. »
Quelle est l'erreur de Salma ?
Trois demi-droites , et partent toutes du même point .
a) Liste tous les angles distincts formés par ces demi-droites, en utilisant la notation à trois lettres correcte.
b) Combien y en a-t-il au total ?
Calcule, en degrés, la somme d'un huitième de tour et d'un sixième de tour.
Deux demi-droites issues d'un même point partagent le plan en deux régions, donc en deux angles. La somme de ces deux angles vaut un tour complet.
L'un des deux angles mesure . Quelle est, en degrés, la mesure de l'autre angle ?
Karim mesure deux angles avec son rapporteur. Il lit pour le premier et pour le second. Il affirme : « 130 et 50, ce sont presque les mêmes mesures, donc ces deux angles sont sans doute égaux. »
Quel est le diagnostic le plus probable de la situation ?
Soit trois angles : , , .
Quel est le classement correct de ces trois angles dans les familles vues au chapitre ?
Un angle qui mesure est un angle plein.
Deux angles droits placés côte à côte (adjacents) forment ensemble un angle plat.
Deux angles sont complémentaires. Le plus grand est exactement le double du plus petit.
Quelle est, en degrés, la mesure du plus grand des deux angles ?
Deux angles sont supplémentaires. L'un dépasse l'autre de .
Quelles sont, en degrés, les mesures de chacun des deux angles ?
Soit le supplémentaire d'un angle de . Soit le complémentaire de .
Calcule, en degrés, la mesure de .
Le complémentaire d'un angle aigu est toujours un angle aigu.
Yasmine trace une droite sur sa feuille. À partir d'un point situé sur cette droite, elle trace deux demi-droites au-dessus de la droite, ce qui partage l'angle plat (du côté supérieur) en trois angles adjacents.
Le premier mesure , le deuxième mesure . Quelle est, en degrés, la mesure du troisième ?
Salma observe deux droites et coupées par une sécante . Elle pointe deux angles : le premier est situé au-dessus de et à droite de la sécante ; le second est situé au-dessus de et à droite de la sécante également. Elle affirme : « Ces deux angles sont alternes-internes. »
Comment qualifier correctement la paire d'angles identifiée par Salma ?
Karim affirme : « Si je trouve sur une figure une paire d'angles supplémentaires formés par deux droites et une sécante, alors je peux conclure que les deux droites sont parallèles. »
Deux droites et sont parallèles, coupées par une sécante. Au point d'intersection avec , on identifie un angle alterne-interne mesurant .
Sur la droite , on considère l'angle adjacent à l'autre angle alterne-interne (le long de ).
Quelle est, en degrés, la mesure de cet angle adjacent ?
Yasmine examine un motif de zellige dans un riad de Marrakech. Elle veut vérifier que deux lignes du motif, qu'elle pense parallèles, le sont réellement. Elle utilise une troisième ligne du motif comme sécante, et mesure un angle correspondant à chaque intersection. Elle obtient au premier point, et au second.
a) Que peut-elle conclure sur le parallélisme des deux lignes ?
b) Justifie en t'appuyant sur un théorème précis du chapitre.
Sur une figure, deux droites et sont coupées par une sécante. Un angle correspondant au point d'intersection vaut ; le correspondant au point d'intersection vaut .
Karim affirme : « Les angles correspondants ne sont pas égaux, donc les deux droites ne sont pas parallèles. »
Karim a-t-il raison ? Justifie rigoureusement.
Deux droites et sont parallèles, coupées par une sécante. Au point d'intersection (sur ), un angle obtus mesure .
On note l'angle aigu adjacent à cet angle obtus (sur ), et l'angle aigu correspondant à situé en (sur ).
Quelle est, en degrés, la valeur de la somme ?
Trois droites du plan : , et . On sait que . Une sécante coupe les trois droites en trois points distincts.
Au point d'intersection avec , un angle correspondant aigu mesure . Au point d'intersection avec , l'angle correspondant aigu (du même côté de la sécante) mesure .
a) Quelle est, en degrés, la mesure de l'angle correspondant aigu au point d'intersection avec ?
b) Les droites et sont-elles parallèles ? Justifie.