La divisibilité et les nombres premiers

Diviseurs et multiples

Tu connais déjà l'idée de division "qui tombe juste" : $12÷4=3$, sans reste. C'est exactement la situation qui définit la divisibilité.

Les deux notions sont les deux faces d'une même pièce : dire "$3$ est un diviseur de $12$" ou dire "$12$ est un multiple de $3$" revient exactement au même.

Quelques exemples

• $4$ est un diviseur de $12$ (parce que $12=4\times 3$). Donc $12$ est un multiple de $4$.
• $7$ n'est pas un diviseur de $20$ (parce que $20÷7=2$ reste $6$ — la division ne tombe pas juste).
• $1$ est un diviseur de tout entier (parce que $n=1\times n$ pour tout entier $n$).
• Tout nombre est un diviseur de lui-même ($n=n\times 1$).

Trouver tous les diviseurs d'un nombre

Pour trouver tous les diviseurs d'un entier, on cherche systématiquement par paires : si $a\times b=n$, alors $a$ et $b$ sont tous les deux des diviseurs de $n$.

Exemple. Trouve tous les diviseurs de $12$.

On commence par $1$ et on monte. À chaque fois qu'on trouve un diviseur, on note deux nombres en même temps :

• $1\times 12=12$ → $1$ et $12$ sont diviseurs.
• $2\times 6=12$ → $2$ et $6$ sont diviseurs.
• $3\times 4=12$ → $3$ et $4$ sont diviseurs.
• $4$ déjà trouvé, on s'arrête.

Liste des diviseurs de $12$ : $1,2,3,4,6,12$. Soit 6 diviseurs au total.

Cette méthode systématique fonctionne pour tout nombre. Tu sais que tu peux t'arrêter quand le diviseur que tu testes dépasse la racine carrée approximative du nombre — au-delà, tu ne trouveras plus que des "doublons" déjà notés.

Les critères de divisibilité

Pour vérifier rapidement si un nombre est divisible par un autre, on n'a pas besoin de poser la division. Quelques règles simples permettent un coup d'œil immédiat.

Critère de divisibilité par $2$

Exemples. $156$ se termine par $6$, donc divisible par $2$. $283$ se termine par $3$, donc pas divisible par $2$. $940$ se termine par $0$, donc divisible par $2$.

Critère de divisibilité par $5$

Exemples. $135$ se termine par $5$, divisible par $5$. $470$ se termine par $0$, divisible par $5$. $738$ se termine par $8$, pas divisible par $5$.

Critère de divisibilité par $10$

Exemples. $370$ et $1500$ sont divisibles par $10$. $35$ ne l'est pas.

Critère de divisibilité par $3$

C'est un critère un peu plus subtil mais très puissant.

Exemple 1. $234$ est-il divisible par $3$ ? Somme des chiffres : $2+3+4=9$. Or $9$ est divisible par $3$. Donc $234$ est divisible par $3$. Vérification : $234÷3=78$ ✓.

Exemple 2. $1247$ est-il divisible par $3$ ? Somme : $1+2+4+7=14$. $14$ n'est pas divisible par $3$ (puisque $14=12+2$). Donc $1247$ n'est pas divisible par $3$.

Astuce : si la somme des chiffres est encore grande, on peut recommencer ! Pour $999$, la somme est $9+9+9=27$, et la somme des chiffres de $27$ est $2+7=9$, qui est bien divisible par $3$. Donc $999$ est divisible par $3$.

Critère de divisibilité par $9$

Très similaire au critère par $3$.

Exemples. $7281$ : somme $=7+2+8+1=18$, qui est divisible par $9$. Donc $7281$ est divisible par $9$. $4023$ : somme $=4+0+2+3=9$, divisible par $9$, donc $4023$ aussi.

Les nombres premiers

Parmi tous les entiers, certains sont "spéciaux" : ils n'ont presque aucun diviseur. Ce sont les nombres premiers, et ils jouent un rôle central dans toute la théorie des nombres.

Pourquoi $1$ n'est pas premier

Le nombre $1$ n'a qu'un seul diviseur (lui-même), donc il ne satisfait pas la définition. C'est une convention mathématique : les premiers commencent à $2$.

Les premiers premiers à connaître par cœur

Voici les nombres premiers inférieurs à $30$ :

$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$

Quelques observations :

• Le seul nombre premier pair est $2$. Tous les autres premiers sont impairs (sinon ils seraient divisibles par $2$, donc auraient un troisième diviseur).
• $4$, $6$, $8$, $9$, $10$, $12$, ... ne sont pas premiers — ils ont au moins un diviseur autre que $1$ et eux-mêmes.

Comment vérifier si un nombre est premier

Méthode systématique :

1. On essaie de diviser le nombre $n$ par $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$... (les premiers, dans l'ordre).
2. Si on trouve un premier qui divise $n$, alors $n$ n'est pas premier.
3. Si aucun premier inférieur à $\sqrt{n}$ ne divise $n$, alors $n$ est premier.

Exemple. $37$ est-il premier ?

• Divisible par $2$ ? Non, $37$ est impair.
• Divisible par $3$ ? Somme $=3+7=10$, pas divisible par $3$. Non.
• Divisible par $5$ ? Ne se termine pas par $0$ ou $5$. Non.
• Divisible par $7$ ? $7\times 5=35$, $7\times 6=42$. Pas $37$. Non.
• $\sqrt{37}\approx \mathrm{6,1}$, donc on s'arrête.

Conclusion : $37$ est premier.

Le crible d'Ératosthène (anecdote historique)

Pour trouver tous les premiers jusqu'à un certain nombre, on peut utiliser une méthode visuelle inventée par le mathématicien grec Ératosthène (vers 250 avant J.-C.).

L'idée est simple : on liste tous les entiers, on entoure $2$ et on barre tous ses multiples, on entoure $3$ et on barre ses multiples (qui ne le sont pas déjà), et ainsi de suite. À la fin, les nombres encore présents (non barrés) sont les premiers.

Décomposition en facteurs premiers

Voici un théorème puissant et beau, central en mathématiques :

Théorème fondamental de l'arithmétique. Tout entier supérieur à $1$ peut s'écrire de manière unique comme produit de nombres premiers.

Autrement dit, si on connaît la décomposition en facteurs premiers d'un nombre, on connaît "son code génétique" : c'est sa carte d'identité en termes de divisibilité.

Méthode systématique

Pour décomposer un entier en facteurs premiers, on divise successivement par les premiers (en partant du plus petit) jusqu'à obtenir $1$.

Exemple. Décompose $24$.

• $24÷2=12$ → on note $2$
• $12÷2=6$ → on note $2$ encore
• $6÷2=3$ → on note $2$ encore
• $3÷3=1$ → on note $3$

Décomposition : $24=2\times 2\times 2\times 3=2^3\times 3$.

Notation avec puissances

Quand un facteur premier apparaît plusieurs fois, on l'écrit avec une puissance pour gagner de la place.

Exemples.

• $24=2^3\times 3$ (le $2$ apparaît $3$ fois)
• $60=2^2\times 3\times 5$
• $100=2^2\times 5^2$
• $7=7$ (un nombre premier se décompose en lui-même)

Cas particuliers

• Si $n$ est premier, sa "décomposition" est juste $n$ lui-même. C'est cohérent avec la définition.
• Si $n=1$, il n'a pas de décomposition (par convention).

PGCD et simplification de fractions

Maintenant qu'on sait décomposer un nombre en facteurs premiers, on peut résoudre élégamment un problème laissé en suspens au chapitre précédent : simplifier une fraction d'un seul coup.

Définition du PGCD

Exemple simple. PGCD de $12$ et $18$ ?

• Diviseurs de $12$ : $1,2,3,4,6,12$.
• Diviseurs de $18$ : $1,2,3,6,9,18$.
• Diviseurs communs : $1,2,3,6$.
• Plus grand diviseur commun : $6$. Donc $\text{PGCD}(12,18)=6$.

Méthode par décomposition en facteurs premiers

Lister tous les diviseurs marche mais devient long pour des grands nombres. La méthode efficace utilise la décomposition.

Exemple. PGCD de $72$ et $162$.

• Décompose $72$ : $72=2^3\times 3^2$.
• Décompose $162$ : $162=2\times 3^4$.
• Facteurs communs : $2$ et $3$.
• Plus petites puissances : $2^1$ (de $72$, le $2$ apparaît avec puissance $3$ ; de $162$, avec puissance $1$ — le minimum est $1$) et $3^2$.
• PGCD : $2\times 3^2=2\times 9=18$.

Donc $\text{PGCD}(72,162)=18$.

Application : simplification en une étape

Maintenant, simplifier ${\displaystyle \frac{72}{162}}$ devient un calcul rapide :

${\displaystyle \frac{72}{162}}={\displaystyle \frac{72÷18}{162÷18}}={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.}$

C'est terminé, ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ est irréductible (4 et 9 n'ont pas de diviseur commun à part 1).

Lien avec le chapitre 3

Au chapitre précédent, on simplifiait étape par étape (par 2, puis par 3, puis par 5...). Maintenant tu sais que :

• Si tu connais le PGCD, tu simplifies en une étape.
• Si tu ne le connais pas, tu décomposes en facteurs premiers, tu calcules le PGCD, et tu simplifies.

Pour des fractions simples (${\displaystyle \frac{4}{6}}$, ${\displaystyle \frac{15}{20}}$), la méthode étape par étape reste plus rapide. Pour des fractions avec de grands nombres, le PGCD via décomposition est imbattable.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre diviseur et multiple. "$3$ est un diviseur de $12$" et "$12$ est un multiple de $3$" disent la même chose, mais dans des sens opposés. Confondre les deux mène souvent à des phrases du type "$12$ est un diviseur de $3$" (faux, $3$ est plus petit que $12$).

Piège 2 : croire que $1$ est premier. $1$ n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur). C'est une convention mathématique stricte. Si tu mets $1$ dans une décomposition en facteurs premiers, c'est une erreur.

Piège 3 : croire que tous les nombres impairs sont premiers. $9$ est impair mais $9=3\times 3$, donc pas premier. $15=3\times 5$, pas premier. $21=3\times 7$, pas premier. Être impair ne suffit pas pour être premier.

Piège 4 : mal appliquer le critère par $3$. Pour vérifier si $1247$ est divisible par $3$, on calcule $1+2+4+7=14$, pas $1247÷3$. Beaucoup d'élèves font la division complète, ce qui est une perte de temps.

Piège 5 : confondre "liste des diviseurs" et "décomposition en facteurs premiers". Les diviseurs de $24$ sont $\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$ — c'est une liste de tous les entiers qui divisent $24$. La décomposition en facteurs premiers de $24$ est $2^3\times 3$ — c'est un produit unique de premiers. Les deux concepts sont différents et ne se confondent pas.

Application concrète

Yasmine veut organiser une distribution équitable lors de la fête de l'école. Elle dispose de 72 bonbons et 162 pommes. Elle veut faire des sachets identiques contenant chacun le même nombre de bonbons et le même nombre de pommes (sans rien jeter).

Problème : combien de sachets peut-elle faire au maximum ?

Étape 1 — Comprendre le problème.

Le nombre de sachets doit être un diviseur de 72 (sinon les bonbons ne se répartissent pas équitablement). Et il doit aussi être un diviseur de 162 (pour les pommes). Donc le nombre de sachets doit être un diviseur commun de 72 et 162.

Pour avoir le maximum de sachets, on prend le plus grand diviseur commun : c'est le PGCD de 72 et 162.

Étape 2 — Calculer le PGCD.

• Décompose $72=2^3\times 3^2$.
• Décompose $162=2\times 3^4$.
• Facteurs communs avec plus petite puissance : $2^1\times 3^2=2\times 9=18$.

Donc $\text{PGCD}(72,162)=18$. Yasmine peut faire 18 sachets identiques.

Étape 3 — Calculer le contenu de chaque sachet.

• Bonbons par sachet : $72÷18=4$ bonbons.
• Pommes par sachet : $162÷18=9$ pommes.

Chaque sachet contiendra donc 4 bonbons et 9 pommes, et il y aura 18 sachets au total.

	Total	Par sachet (× 18)
Bonbons	72	4
Pommes	162	9
Sachets		18

Vérification : $18\times 4=72$ ✓ et $18\times 9=162$ ✓.

Cet exemple montre que le PGCD a une application très concrète : trouver le maximum de groupes équitables qu'on peut former à partir de plusieurs lots. C'est utilisé en logistique, en commerce, et même en cryptographie moderne.

À retenir

Avant les exercices, voici les six règles essentielles à mémoriser.