La divisibilité et les nombres premiers — exercices corrigés

Un nombre est diviseur de 12 quand $12$ divisé par lui tombe juste (sans reste). $12÷4=3$ ✓, donc $4$ est un diviseur. Vérification des autres : $12÷5=2$ reste 2 ✗, $12÷7=1$ reste 5 ✗, $12÷9=1$ reste 3 ✗. La liste complète des diviseurs de 12 est : $1,2,3,4,6,12$.

Un multiple de 7 est un nombre qui s'écrit sous la forme $7\times k$ pour un certain entier $k$. $14=7\times 2$ ✓, donc $14$ est multiple de 7. Vérification : $20÷7=2$ reste 6, $25÷7=3$ reste 4, $30÷7=4$ reste 2 — aucun ne tombe juste. Les premiers multiples de 7 sont : $7,14,21,28,35,42,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$

Les deux phrases sont strictement équivalentes : ce sont les deux faces d'une même pièce. Quand $a$ divise $b$, on dit aussi que $b$ est un multiple de $a$. Vérification : $15=3\times 5$, donc $3$ divise $15$, et $15$ est bien un multiple de $3$. Cette équivalence te servira tout au long du chapitre.

C'est vrai : pour tout entier $n$, on a $n=1\times n$, ce qui signifie que $1$ divise $n$. C'est valable pour tous les entiers, sans exception. De même, tout nombre est diviseur de lui-même ($n=n\times 1$). Donc $1$ et $n$ sont toujours dans la liste des diviseurs de $n$ — la liste minimale étant $\{1,n\}$ quand $n$ est premier.

Un nombre est divisible par $2$ quand son chiffre des unités est pair (0, 2, 4, 6 ou 8). A : $135$ se termine par 5 → pas divisible par 2. B : $237$ se termine par 7 → pas divisible. C : $458$ se termine par 8 → divisible par 2 ✓. D : $691$ se termine par 1 → pas divisible. Pas besoin de poser la division : un coup d'œil au dernier chiffre suffit.

Un nombre est divisible par $5$ quand son chiffre des unités est $0$ ou $5$. Ici, seul $845$ se termine par $5$, donc seul $845$ est divisible par $5$. Vérification : $845÷5=169$ ✓. Les autres se terminent par 4, 9, 6 — aucun n'est divisible par 5.

On utilise le critère de la somme des chiffres. A : $1+2+4=7$, pas divisible par 3. B : $2+3+7=12$, divisible par 3 ✓. C : $4+1+0=5$, pas divisible par 3. D : $5+5+1=11$, pas divisible par 3. Donc seul $237$ est divisible par 3. Vérification : $237÷3=79$ ✓. Le critère par 3 (somme des chiffres divisible par 3) est l'un des plus utiles à mémoriser.

Critère par 9 : somme des chiffres divisible par 9. Calcul : $4+0+2+3=9$. Or 9 est divisible par 9. Donc $4023$ est divisible par 9. Vérification : $4023÷9=447$ ✓. Le critère par 9 fonctionne sur le même principe que celui par 3 — somme des chiffres — mais le seuil est plus exigeant : il faut que la somme soit elle-même multiple de 9.

Un nombre est divisible par $10$ quand son chiffre des unités est $0$. Seul $370$ se termine par $0$, donc seul $370$ est divisible par 10. Vérification : $370÷10=37$ ✓. Une remarque utile : un nombre divisible par 10 est automatiquement divisible par 2 ET par 5. C'est cohérent : $10=2\times 5$.

Un nombre premier a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Par exemple, $7$ a pour diviseurs $\{1,7\}$. C'est cette propriété qui définit la "primalité". Si un nombre a 3 diviseurs ou plus, il n'est pas premier (il est dit "composé"). Si un nombre n'a qu'un diviseur (le cas du 1), il n'est pas premier non plus — c'est pourquoi 1 n'est pas dans la liste des premiers.

C'est faux. $1$ n'a qu'un seul diviseur (lui-même), or un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts (1 et lui-même). Donc $1$ ne satisfait pas la définition. C'est une convention mathématique stricte : la liste des nombres premiers commence à $2$, pas à $1$. À retenir absolument, c'est une question piège classique en contrôle.

Vérifions chacun. A : $9=3\times 3$, donc 9 a un diviseur autre que 1 et lui-même → pas premier. B : $11$ n'est divisible que par 1 et 11 → premier ✓. C : $15=3\times 5$ → pas premier. D : $21=3\times 7$ → pas premier. Les premiers premiers à connaître par cœur : $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.

C'est faux. Beaucoup de nombres impairs ne sont pas premiers. Contre-exemples : $9=3\times 3$, $15=3\times 5$, $21=3\times 7$, $25=5\times 5$, $27=3\times 9$. Tous sont impairs mais composés. Inversement, le seul nombre premier pair est $2$ — tous les autres premiers sont impairs (sinon ils seraient divisibles par 2). Mais l'inverse n'est pas vrai : être impair ne suffit pas pour être premier.

La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire le nombre comme un produit de nombres premiers uniquement. A : 1 n'est pas premier, donc invalide. B : 6 n'est pas premier, on doit continuer à le décomposer ($6=2\times 3$). C : tous les facteurs (2, 2, 3) sont premiers ✓. D : 4 n'est pas premier ($4=2\times 2$). On peut aussi écrire $12=2^2\times 3$ avec la notation puissance, c'est la même chose.

Méthode : on divise par les premiers en commençant par 2. $18÷2=9$, $9÷3=3$, $3÷3=1$. Donc $18=2\times 3\times 3=2\times 3^2$. A : 9 n'est pas premier. B : 6 n'est pas premier. C : 2, 3, 3 sont tous premiers ✓. D : 1 n'a pas sa place dans une décomposition.

$13$ est un nombre premier. Sa décomposition en facteurs premiers est tout simplement $13$ lui-même : il ne s'écrit que comme le produit d'un seul facteur, qui est lui-même un premier. A et C : 1 n'a pas sa place dans une décomposition. D : tous les entiers > 1 ont une décomposition (théorème fondamental). C'est juste que pour les premiers, la "décomposition" est triviale — un seul facteur.

La notation $a^n$ (lue "$a$ à la puissance $n$") signifie qu'on multiplie $a$ par lui-même $n$ fois. Donc $2^3=2\times 2\times 2=8$. Cette notation est très utile dans les décompositions : au lieu d'écrire $24=2\times 2\times 2\times 3$, on écrit $24=2^3\times 3$, ce qui est plus compact. Le petit chiffre en haut à droite s'appelle l'exposant.

PGCD signifie Plus Grand Diviseur Commun. C'est le plus grand entier qui divise à la fois deux nombres donnés. Par exemple, $\text{PGCD}(12,18)=6$ : 6 est le plus grand entier qui divise à la fois 12 et 18. Le PGCD est l'outil clé pour simplifier les fractions efficacement — on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD pour obtenir une fraction irréductible en une seule étape.

Méthode 1 (lister les diviseurs). Diviseurs de 12 : $\{1,2,3,4,6,12\}$. Diviseurs de 18 : $\{1,2,3,6,9,18\}$. Diviseurs communs : $\{1,2,3,6\}$. Le plus grand est $6$. Donc $\text{PGCD}(12,18)=6$.

Méthode 2 (décomposition). $12=2^2\times 3$ et $18=2\times 3^2$. Facteurs communs avec plus petite puissance : $2^1\times 3^1=6$. Même résultat.

Pour simplifier une fraction en une seule étape, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD. Ici : ${\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{8÷4}{12÷4}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. La fraction ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ est automatiquement irréductible (puisqu'on a divisé par le plus grand diviseur commun, il ne reste plus aucun diviseur commun à partager). C'est l'application directe et puissante du PGCD vue au chapitre 3.