Les nombres rationnels — exercices corrigés

Dans une fraction, le nombre au-dessus de la barre est le numérateur, et le nombre en dessous est le dénominateur. Astuce mnémotechnique : "dénominateur" comme "déssous". Donc dans ${\displaystyle \frac{7}{12}}$, $7$ est le numérateur et $12$ est le dénominateur.

Tout entier est un nombre rationnel : il peut s'écrire comme une fraction de dénominateur 1. Par exemple, $5={\displaystyle \frac{5}{1}}$. La famille des rationnels englobe tous les entiers et tous les décimaux que tu connais déjà.

Le dénominateur d'une fraction ne peut jamais être nul. Diviser par zéro n'a aucun sens en mathématiques. L'écriture ${\displaystyle \frac{5}{0}}$ est interdite. En revanche, ${\displaystyle \frac{0}{5}}$ est tout à fait valide : c'est égal à $0$.

Tout nombre décimal peut s'écrire sous forme de fraction : $\mathrm{0,5}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $\mathrm{0,25}={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $\mathrm{0,75}={\displaystyle \frac{3}{4}}$, etc. Donc tous les décimaux sont des rationnels. La famille des rationnels couvre les entiers, les décimaux, et beaucoup d'autres nombres qui ne tombent pas juste comme ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Pour obtenir une fraction égale, on multiplie numérateur et dénominateur par le même nombre. Ici : ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2\times 3}{3\times 3}}={\displaystyle \frac{6}{9}}$. L'option D (${\displaystyle \frac{3}{2}}$) inverse numérateur et dénominateur, ce qui donne une fraction très différente. L'option C divise seulement le dénominateur, ce qui fausse la fraction.

On cherche un diviseur commun à $6$ et $8$. Les deux sont divisibles par $2$ : $6÷2=3$ et $8÷2=4$. Donc ${\displaystyle \frac{6}{8}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Comme $3$ et $4$ n'ont plus aucun diviseur commun (à part 1), ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ est irréductible : c'est la forme finale attendue.

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun à part 1. Ici, $5$ est un nombre premier (divisible seulement par 1 et 5), et $7$ est aussi un nombre premier. Ils n'ont aucun diviseur commun à part 1. Donc ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ est bien irréductible.

Pour passer de $4$ à $16$ au dénominateur, on multiplie par $4$ ($4\times 4=16$). On doit donc multiplier le numérateur par $4$ aussi : $3\times 4=12$. Donc ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{12}{16}}$. C'est la règle : pour conserver l'égalité, ce qu'on fait au dénominateur, on doit le faire au numérateur.

Quand deux fractions ont le même dénominateur (ici 9), la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. $4<7$, donc ${\displaystyle \frac{4}{9}}<{\displaystyle \frac{7}{9}}$. Cette règle ne marche que si les dénominateurs sont identiques — sinon il faut d'abord les mettre au même dénominateur.

Une fraction est plus grande que $1$ quand son numérateur est plus grand que son dénominateur. Ici, $7>5$, donc ${\displaystyle \frac{7}{5}}>1$. Vérification : ${\displaystyle \frac{7}{5}}=\mathrm{1,4}$, ce qui confirme. Astuce générale : si numérateur > dénominateur, fraction > 1 ; si numérateur < dénominateur, fraction < 1 ; si numérateur = dénominateur, fraction = 1.

Pour deux fractions négatives de même dénominateur, la règle s'inverse : plus la valeur absolue (la "distance à zéro") est grande, plus la fraction est petite. ${\displaystyle \frac{2}{5}}>{\displaystyle \frac{1}{5}}$, donc en mettant les signes négatifs : $-{\displaystyle \frac{2}{5}}<-{\displaystyle \frac{1}{5}}$. C'est exactement la même règle que pour les nombres relatifs (chapitre 1).

Quand deux fractions ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur : ${\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{2+3}{7}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$. La fraction ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ est déjà irréductible (5 et 7 sont tous les deux premiers, aucun diviseur commun à part 1).

Pour soustraire deux fractions de même dénominateur : ${\displaystyle \frac{7}{9}}-{\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{7-5}{9}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$. La fraction ${\displaystyle \frac{2}{9}}$ est irréductible (2 et 9 n'ont pas de diviseur commun à part 1).

Calcul : ${\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{4}{8}}$. Mais on doit simplifier : $4$ et $8$ ont un diviseur commun, $4$. Donc ${\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{4÷4}{8÷4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Réponse finale : ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Ne jamais oublier de simplifier un résultat de calcul de fractions, sinon il est considéré comme incomplet.

La méthode la plus directe : multiplier les deux dénominateurs entre eux. $3\times 4=12$. Avec $12$ comme dénominateur commun : ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}$. On peut alors additionner : ${\displaystyle \frac{4}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$. Attention : on ne peut pas additionner les dénominateurs ($3+4=7$) — c'est une erreur classique !

Astuce : $8$ est déjà un multiple de $2$ (puisque $8=2\times 4$). On peut donc utiliser $8$ comme dénominateur commun, plus simple que $2\times 8=16$. Calcul : ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{4}{8}}$, donc ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{4}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{7}{8}}$. La fraction ${\displaystyle \frac{7}{8}}$ est irréductible.

C'est faux ! C'est le piège classique de l'addition de fractions. On ne peut pas simplement additionner les numérateurs et les dénominateurs séparément. Le bon calcul : on met d'abord au même dénominateur (${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{6}}$), puis on additionne : ${\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$. La bonne réponse est donc ${\displaystyle \frac{5}{6}}$, pas ${\displaystyle \frac{2}{5}}$.

Pour multiplier une fraction par un entier, on multiplie le numérateur par cet entier et on garde le dénominateur : $3\times {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{3\times 2}{5}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$. La fraction ${\displaystyle \frac{6}{5}}$ est irréductible (6 et 5 n'ont pas de diviseur commun à part 1).

"Les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ de 200" se traduit par une multiplication : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times 200$. Calcul : ${\displaystyle \frac{3\times 200}{4}}={\displaystyle \frac{600}{4}}=150$. Astuce alternative : ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ de 200 = $200÷4=50$, donc ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ de 200 = $3\times 50=150$. Les deux méthodes donnent le même résultat — choisis la plus rapide selon le contexte.

Calcul : $2\times {\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{2\times 5}{8}}={\displaystyle \frac{10}{8}}$. On simplifie : $10$ et $8$ ont un diviseur commun, $2$. Donc ${\displaystyle \frac{10}{8}}={\displaystyle \frac{10÷2}{8÷2}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$. Réponse finale : ${\displaystyle \frac{5}{4}}$. La fraction ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ est irréductible (5 et 4 n'ont pas de diviseur commun à part 1).