La mole et la quantité de matière

Compter l'invisible : la mole et le nombre d'Avogadro

Une molécule d'eau a une masse de l'ordre de $3\times {10}^{-23}\text{ g}$. Autrement dit, dans une simple goutte, il y a des milliers de milliards de milliards de molécules. Aucun chimiste ne pourrait les compter à l'unité, pas plus qu'un grossiste de Casablanca ne vend ses œufs un par un : il les vend par paquets. Le chimiste fait pareil. Il a inventé un « paquet » géant, adapté à la petitesse des entités, pour rendre leur comptage praticable.

Une mole, c'est donc un paquet contenant toujours le même nombre d'entités, $\mathrm{6,02}\times {10}^{23}$, exactement comme une douzaine contient toujours douze objets, qu'il s'agisse d'œufs ou d'oranges. La seule différence, c'est l'échelle : la douzaine compte douze unités, la mole en compte six cent deux mille milliards de milliards.

Exemple 1. Une mole d'atomes de fer contient $\mathrm{6,02}\times {10}^{23}$ atomes de fer. Une mole de molécules d'eau contient $\mathrm{6,02}\times {10}^{23}$ molécules ${\text{H}}_2\text{O}$. Une mole d'ions chlorure contient $\mathrm{6,02}\times {10}^{23}$ ions ${\text{Cl}}^{-}$. Le paquet est toujours le même nombre ; seul change ce qu'on met dedans.

Exemple 2. Dans la goutte d'eau de Yasmine, il y a environ $\mathrm{1,7}\times {10}^{21}$ molécules. Cela fait $n={\displaystyle \frac{\mathrm{1,7}\times {10}^{21}}{\mathrm{6,02}\times {10}^{23}}}\approx \mathrm{2,8}\times {10}^{-3}\text{ mol},$ soit moins de trois millièmes de mole. La goutte est minuscule à notre échelle, mais elle contient déjà un nombre d'entités qui dépasse l'imagination.

La quantité de matière

Le mot « mole » désigne l'unité ; la grandeur qu'on mesure avec cette unité s'appelle la quantité de matière, notée $n$.

La quantité de matière joue exactement le rôle que jouait le nombre de paquets chez le grossiste : au lieu de dire « j'ai $\mathrm{3,6}\times {10}^{24}$ atomes », ce qui est ingérable, le chimiste dit « j'ai $6\text{ mol}$ d'atomes ». C'est le même contenu, exprimé en paquets.

Exemple 3. Karim affirme avoir compté $\mathrm{1,204}\times {10}^{24}$ molécules de dioxygène. Sa quantité de matière est $n={\displaystyle \frac{N}{N_A}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,204}\times {10}^{24}}{\mathrm{6,02}\times {10}^{23}}}=\mathrm{2,0}\text{ mol}\mathrm{.}$ Réciproquement, si tu connais $n$, tu retrouves le nombre d'entités par $N=n\times N_A$.

Le piège de l'entité non précisée

Une mole de quoi ? La question n'est jamais facultative. « Une mole de dioxygène » est ambigu si l'on ne dit pas s'il s'agit de molécules ${\text{O}}_2$ ou d'atomes $\text{O}$ : une mole de molécules ${\text{O}}_2$ contient deux moles d'atomes d'oxygène. De même, une mole d'eau, c'est $\mathrm{6,02}\times {10}^{23}$ molécules ${\text{H}}_2\text{O}$, mais cela fait $2$ moles d'atomes d'hydrogène et $1$ mole d'atomes d'oxygène. Précise toujours l'entité que tu comptes : atome, molécule ou ion. Sans cette précision, le nombre n'a pas de sens.

La masse molaire

On sait maintenant compter en paquets. Mais on ne sait toujours pas relier ces paquets à la balance. Or c'est tout l'enjeu : Yasmine pèse $250\text{ g}$, combien cela fait-il de moles ? Il manque un facteur de conversion entre la masse et la quantité de matière. Ce facteur, c'est la masse molaire : la masse d'une mole.

C'est donc « combien pèse un paquet ». Pour le savoir, on part des atomes, puis on assemble.

Masse molaire atomique

C'est une donnée que tu n'as pas à calculer : la classification te la fournit. Voici les valeurs les plus fréquentes, à connaître ou à savoir retrouver.

Élément	Symbole	Masse molaire atomique
Hydrogène	$\text{H}$	$\mathrm{1,0}\text{ g/mol}$
Carbone	$\text{C}$	$\mathrm{12,0}\text{ g/mol}$
Azote	$\text{N}$	$\mathrm{14,0}\text{ g/mol}$
Oxygène	$\text{O}$	$\mathrm{16,0}\text{ g/mol}$
Sodium	$\text{Na}$	$\mathrm{23,0}\text{ g/mol}$
Chlore	$\text{Cl}$	$\mathrm{35,5}\text{ g/mol}$

Exemple 1. La masse molaire atomique du carbone est $M(\text{C})=\mathrm{12,0}\text{ g/mol}$ : une mole d'atomes de carbone, soit $\mathrm{6,02}\times {10}^{23}$ atomes, pèse $\mathrm{12,0}\text{ g}$.

Masse molaire moléculaire

Une molécule est un assemblage d'atomes. Sa masse molaire est donc tout simplement la somme des masses molaires atomiques de tous les atomes qui la composent, en respectant les indices de la formule.

Exemple 2. Pour l'eau ${\text{H}}_2\text{O}$ (deux atomes d'hydrogène, un d'oxygène) : $M({\text{H}}_2\text{O})=2\times M(\text{H})+M(\text{O})=2\times \mathrm{1,0}+\mathrm{16,0}=\mathrm{18,0}\text{ g/mol}\mathrm{.}$ Une mole d'eau pèse $\mathrm{18,0}\text{ g}$. C'est pourquoi $18\text{ g}$ d'eau, soit à peine plus d'une cuillère à soupe, contiennent déjà une mole entière de molécules.

Exemple 3. Pour le dioxyde de carbone ${\text{CO}}_2$ : $M({\text{CO}}_2)=M(\text{C})+2\times M(\text{O})=\mathrm{12,0}+2\times \mathrm{16,0}=\mathrm{44,0}\text{ g/mol}\mathrm{.}$ Et pour le glucose ${\text{C}}_6{\text{H}}_{12}{\text{O}}_6$, le sucre que ton corps brûle pour produire de l'énergie : $M({\text{C}}_6{\text{H}}_{12}{\text{O}}_6)=6\times \mathrm{12,0}+12\times \mathrm{1,0}+6\times \mathrm{16,0}=\mathrm{72,0}+\mathrm{12,0}+\mathrm{96,0}=\mathrm{180,0}\text{ g/mol}\mathrm{.}$

Le piège des indices oubliés

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de multiplier par l'indice. Dans ${\text{H}}_2\text{O}$, l'hydrogène compte deux fois : écrire $M=\mathrm{1,0}+\mathrm{16,0}=\mathrm{17,0}$ est faux, c'est la formule de l'ion hydroxyde ${\text{OH}}^{-}$, pas de l'eau. De même, dans ${\text{C}}_6{\text{H}}_{12}{\text{O}}_6$, chaque indice s'applique à l'atome qui le précède : six carbones, douze hydrogènes, six oxygènes. Relis la formule atome par atome avant d'additionner.

Quantité de matière et masse : la relation $n={\displaystyle \frac{m}{M}}$

Voilà le pont entre la balance et le comptage en paquets. On connaît la masse $m$ d'un échantillon (on la pèse) et la masse molaire $M$ de l'espèce (on la calcule). Combien y a-t-il de moles ? La logique est celle de toute division par un prix unitaire : si un paquet pèse $M$ grammes et que tu en as $m$ grammes en tout, le nombre de paquets est $m$ divisé par $M$.

C'est la relation la plus utilisée de toute la chimie quantitative. Elle convertit une masse pesable en un nombre de paquets manipulable dans une réaction.

Exemple 1. Yasmine pèse $250\text{ g}$ de sucre, c'est-à-dire de saccharose ${\text{C}}_{12}{\text{H}}_{22}{\text{O}}_{11}$, de masse molaire $M=342\text{ g/mol}$. La quantité de matière de saccharose vaut $n={\displaystyle \frac{m}{M}}={\displaystyle \frac{250}{342}}\approx \mathrm{0,73}\text{ mol}\mathrm{.}$ Dans sa cuillère, il y a donc environ $\mathrm{0,73}$ mole de molécules de saccharose, soit $\mathrm{0,73}\times \mathrm{6,02}\times {10}^{23}\approx \mathrm{4,4}\times {10}^{23}$ molécules.

Manipuler la relation dans les deux sens

Comme toute relation entre trois grandeurs, $n={\displaystyle \frac{m}{M}}$ se réarrange. Si tu connais deux des trois grandeurs, tu trouves la troisième : $m=n\times M\text{et}M={\displaystyle \frac{m}{n}}\mathrm{.}$

Exemple 2. Amine veut peser exactement $\mathrm{0,50}\text{ mol}$ de chlorure de sodium $\text{NaCl}$ pour une expérience. La masse molaire vaut $M(\text{NaCl})=M(\text{Na})+M(\text{Cl})=\mathrm{23,0}+\mathrm{35,5}=\mathrm{58,5}\text{ g/mol}$. La masse à peser est $m=n\times M=\mathrm{0,50}\times \mathrm{58,5}=\mathrm{29,25}\text{ g}\approx \mathrm{29,3}\text{ g}\mathrm{.}$ Amine sait maintenant qu'il doit poser $\mathrm{29,3}\text{ g}$ de sel sur la balance pour obtenir une demi-mole.

Le piège des unités de masse

La relation $n={\displaystyle \frac{m}{M}}$ ne donne directement des moles que si la masse $m$ est en grammes, puisque $M$ est en grammes par mole. Si une masse est donnée en milligrammes ou en kilogrammes, convertis d'abord en grammes. Rappel : $1\text{ g}=1000\text{ mg}$ et $1\text{ kg}=1000\text{ g}$. C'est exactement la même vigilance que celle exigée au chapitre 1 pour la concentration en masse : une grandeur composée n'a de sens qu'avec des unités cohérentes.

Exemple 3. Salma calcule la quantité de matière contenue dans $500\text{ mg}$ d'aspirine ($M=180\text{ g/mol}$). Elle écrit étourdiment $n={\displaystyle \frac{500}{180}}\approx \mathrm{2,8}\text{ mol}$, ce qui est absurde — $\mathrm{2,8}$ moles d'aspirine pèseraient un demi-kilo. L'erreur : $500\text{ mg}=\mathrm{0,500}\text{ g}$. Le calcul correct est $n={\displaystyle \frac{\mathrm{0,500}}{180}}\approx \mathrm{2,8}\times {10}^{-3}\text{ mol}\mathrm{.}$

Le volume molaire des gaz

Peser un solide ou un liquide est facile. Mais comment fait-on avec un gaz, qu'on ne peut pas poser sur une balance sans difficulté ? Yasmine peut difficilement peser le dioxyde de carbone qui s'échappe de sa pâte qui lève, ou le butane de la bouteille de gaz de la cuisine. Pour les gaz, on dispose d'une propriété remarquable : à température et pression données, une mole de n'importe quel gaz occupe toujours le même volume, quel que soit le gaz. C'est la loi d'Avogadro, et la grandeur correspondante est le volume molaire.

Le fait remarquable, c'est que $V_m$ ne dépend pas de la nature du gaz : une mole de dioxygène, une mole de dioxyde de carbone et une mole de butane occupent le même volume dans les mêmes conditions, car les molécules d'un gaz sont si espacées que leur taille propre devient négligeable.

Exemple 1. Un ballon de baudruche gonflé à Marrakech contient $\mathrm{1,2}\text{ L}$ de dioxyde de carbone, dans les conditions usuelles ($V_m=24\text{ L/mol}$). La quantité de matière de gaz est $n={\displaystyle \frac{V}{V_m}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{24}}=\mathrm{0,050}\text{ mol}\mathrm{.}$

Exemple 2. Karim veut connaître le volume occupé par $\mathrm{0,25}\text{ mol}$ de dioxygène dans ces mêmes conditions. Il réarrange la relation : $V=n\times V_m=\mathrm{0,25}\times 24=\mathrm{6,0}\text{ L}\mathrm{.}$

Le piège du volume molaire des gaz seulement

La relation $n={\displaystyle \frac{V}{V_m}}$ est réservée aux gaz. Elle n'a aucun sens pour un solide ou un liquide : il n'existe pas de « volume molaire universel » pour le sucre ou l'eau liquide, car leurs molécules sont au contact les unes des autres et leur encombrement dépend fortement de l'espèce. Pour un liquide ou un solide, on revient à la masse via la masse volumique du chapitre 1 ($m=\rho \times V$), puis à $n={\displaystyle \frac{m}{M}}$. Réserve le volume molaire aux gaz, et seulement aux gaz.

Pièges classiques

1. Oublier de préciser l'entité comptée. « Une mole de dioxygène » est ambigu : s'agit-il de molécules ${\text{O}}_2$ ou d'atomes $\text{O}$ ? Une mole de ${\text{O}}_2$ contient deux moles d'atomes d'oxygène. Précise toujours atome, molécule ou ion.

2. Oublier l'indice dans une masse molaire moléculaire. Pour ${\text{H}}_2\text{O}$, l'hydrogène compte deux fois : $M=2\times \mathrm{1,0}+\mathrm{16,0}=\mathrm{18,0}\text{ g/mol}$, et non $\mathrm{1,0}+\mathrm{16,0}=\mathrm{17,0}$. Chaque indice multiplie l'atome qui le précède.

3. Ne pas convertir la masse en grammes dans $n={\displaystyle \frac{m}{M}}$. La formule donne des moles seulement si $m$ est en grammes. Une masse en mg ou en kg doit être convertie d'abord, sous peine d'un résultat faux d'un facteur $1000$.

4. Confondre nombre d'entités $N$ et quantité de matière $n$. $N$ est un nombre pur (sans unité, souvent une énorme puissance de 10) ; $n$ est en moles. On passe de l'un à l'autre par $n={\displaystyle \frac{N}{N_A}}$, jamais en les confondant.

5. Appliquer le volume molaire à un liquide ou un solide. $n={\displaystyle \frac{V}{V_m}}$ ne vaut que pour les gaz. Pour un liquide ou un solide, on passe par la masse volumique $\rho$ puis par $n={\displaystyle \frac{m}{M}}$. Il n'existe pas de volume molaire universel pour les phases condensées.

6. Confondre masse molaire $M$ et masse de l'échantillon $m$. $M$ est une propriété de l'espèce (la masse d'une mole, en $\text{g/mol}$), fixe pour une espèce donnée ; $m$ est la masse de l'échantillon que tu as pesé, qui dépend de la quantité prélevée. Ne mets jamais l'une à la place de l'autre dans $n={\displaystyle \frac{m}{M}}$.

Application concrète

Yasmine prépare une boisson gazeuse maison dans sa cuisine de Rabat. Elle dissout du sucre dans de l'eau, puis ajoute une pastille effervescente qui libère du dioxyde de carbone. Curieuse, elle décide de tout exprimer en quantités de matière, comme une chimiste, pour comprendre ce qu'elle manipule réellement à l'échelle des molécules.

Étape 1 — Compter les molécules de sucre. Yasmine pèse $\mathrm{34,2}\text{ g}$ de saccharose ${\text{C}}_{12}{\text{H}}_{22}{\text{O}}_{11}$. Elle calcule d'abord la masse molaire : $M=12\times \mathrm{12,0}+22\times \mathrm{1,0}+11\times \mathrm{16,0}=\mathrm{144,0}+\mathrm{22,0}+\mathrm{176,0}=\mathrm{342,0}\text{ g/mol}\mathrm{.}$ La quantité de matière de sucre est alors $n_{\text{sucre}}={\displaystyle \frac{m}{M}}={\displaystyle \frac{\mathrm{34,2}}{\mathrm{342,0}}}=\mathrm{0,100}\text{ mol}\mathrm{.}$ Soit, en nombre de molécules, $N=n\times N_A=\mathrm{0,100}\times \mathrm{6,02}\times {10}^{23}=\mathrm{6,02}\times {10}^{22}$ molécules de saccharose. Une simple cuillerée, et déjà des dizaines de milliers de milliards de milliards de molécules.

Étape 2 — Compter les molécules d'eau. Elle ajoute $250\text{ g}$ d'eau ($M=\mathrm{18,0}\text{ g/mol}$). La quantité de matière d'eau est $n_{\text{eau}}={\displaystyle \frac{250}{\mathrm{18,0}}}\approx \mathrm{13,9}\text{ mol}\mathrm{.}$ Il y a donc bien plus de moles d'eau que de moles de sucre — l'eau est, et de loin, le constituant majoritaire de la boisson.

Étape 3 — Doser le gaz libéré. La pastille effervescente libère $\mathrm{0,60}\text{ L}$ de dioxyde de carbone ${\text{CO}}_2$, dans les conditions usuelles ($V_m=24\text{ L/mol}$). Comme c'est un gaz, Yasmine n'utilise pas $n={\displaystyle \frac{m}{M}}$ mais le volume molaire : $n_{{\text{CO}}_2}={\displaystyle \frac{V}{V_m}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,60}}{24}}=\mathrm{0,025}\text{ mol}\mathrm{.}$ Elle vérifie au passage la masse de gaz que cela représente, avec $M({\text{CO}}_2)=\mathrm{44,0}\text{ g/mol}$ : $m=n\times M=\mathrm{0,025}\times \mathrm{44,0}=\mathrm{1,1}\text{ g}\mathrm{.}$ Un peu plus d'un gramme de gaz, dispersé dans un volume bien visible : c'est toute la particularité de l'état gazeux.

Étape 4 — Comparer et conclure à l'échelle moléculaire. Yasmine range ses résultats : $\mathrm{0,100}\text{ mol}$ de sucre, $\mathrm{13,9}\text{ mol}$ d'eau, $\mathrm{0,025}\text{ mol}$ de ${\text{CO}}_2$. Elle remarque qu'une masse importante d'eau ($250\text{ g}$) correspond à beaucoup de moles, tandis qu'un volume de gaz pourtant visible ne correspond qu'à très peu de matière. La quantité de matière ne se lit ni dans la masse seule, ni dans le volume seul : elle se calcule, et c'est elle qui compte vraiment pour le chimiste.

Conclusion. En convertissant chaque ingrédient en quantité de matière, Yasmine a fait exactement ce que fait un chimiste avant toute réaction : ramener des masses pesées et des volumes mesurés à un langage commun, la mole. C'est ce langage qui rend les réactions chimiques comptables. Au chapitre 4, tu rapporteras cette quantité de matière au volume de la solution pour définir la concentration molaire, héritière directe de la concentration en masse du chapitre 1. Et en classes préparatoires, la mole sera le point de départ de tout bilan de matière, de toute stœchiométrie, de tout calcul de rendement : ce paquet de $\mathrm{6,02}\times {10}^{23}$ entités ne te quittera plus.

À retenir