Fonctions de référence et résolution graphique

La fonction affine

Tu connais déjà la fonction affine depuis la 3e : c'est celle dont la formule est de la forme $f(x)=ax+b$. Elle mérite d'ouvrir ce chapitre car c'est la seule fonction de référence dont la courbe est une droite, et parce que ses deux nombres $a$ et $b$ se lisent directement sur cette droite. La maîtriser, c'est tenir le modèle le plus simple — celui auquel on compare tous les autres.

La courbe représentative d'une fonction affine est une droite. Les deux nombres $a$ et $b$ la déterminent entièrement : $b$ fixe la hauteur où la droite coupe l'axe vertical, et $a$ fixe sa pente.

Exemple 1. Soit $f(x)=3x-4$. Ici $a=3$ et $b=-4$. La droite coupe l'axe vertical en $(0;-4)$, et quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $3$. On vérifie : $f(0)=-4$ et $f(1)=3\times 1-4=-1$, soit bien $+3$ entre les deux.

Exemple 2. Le tarif d'un loueur de vélos à Fès qui demande $30$ dh de forfait puis $20$ dh par heure se modélise par $T(x)=20x+30$, où $x$ est le nombre d'heures. Le coefficient directeur $20$ est le prix horaire ; l'ordonnée à l'origine $30$ est le forfait payé même pour zéro heure. Chaque nombre a un sens concret.

Le sens de variation se lit dans le signe de a

Tout le comportement d'une fonction affine — monte-t-elle ou descend-elle ? — tient dans le signe de son coefficient directeur. C'est la première fois que tu rencontres un énoncé de variation ; retiens-le, car les fonctions suivantes s'analyseront sur le même modèle.

Exemple 3. Pour $g(x)=-2x+7$, on a $a=-2<0$ : $g$ est décroissante. Plus $x$ grandit, plus $g(x)$ diminue. Pour $h(x)=5$, on a $a=0$ : $h$ est constante, sa courbe est l'horizontale de hauteur $5$.

Le piège de la confusion entre a et b

L'erreur la plus tenace consiste à intervertir le rôle des deux nombres. Le coefficient directeur $a$ commande la pente, donc le sens de variation ; l'ordonnée à l'origine $b$ commande seulement la hauteur de départ. Salma croit que dans $f(x)=-3x+6$ la fonction est croissante « parce qu'il y a un $+6$ » : elle regarde $b$ au lieu de $a$. C'est $a=-3<0$ qui décide, et la fonction est décroissante. Le $b$ ne change jamais le sens de variation ; il translate la droite vers le haut ou vers le bas, sans modifier sa pente.

La fonction carré

Quitte la ligne droite : voici la première fonction de référence dont la courbe s'incurve. La fonction carré, $f(x)=x^2$, est sans doute la plus importante de toute l'analyse — elle modélise les aires, les trajectoires, et reviendra sans cesse jusqu'en prépa. Sa courbe porte un nom que tu dois connaître : la parabole.

Construisons d'abord un tableau de valeurs, comme au chapitre 06, pour voir naître la courbe.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Le tableau parle de lui-même : à $x$ et à $-x$, la fonction associe la même image, car $(-x{)}^2=x^2$. C'est la symétrie de la parabole par rapport à l'axe des ordonnées. Et toutes les images sont positives ou nulles, car un carré n'est jamais négatif.

Décroissante puis croissante : un comportement en deux temps

Contrairement à l'affine, la fonction carré ne monte pas partout ni ne descend partout : elle fait les deux, dans cet ordre. C'est la nouveauté du chapitre, et la source de la moitié des erreurs des élèves.

On résume ces variations dans un tableau de variations, un outil que tu utiliseras toute l'année :

$x$	$-\mathrm{\infty }$		$0$		$+\mathrm{\infty }$
$x^2$		$\searrow$	$0$	$\nearrow$

Exemple 1. Compare $f(-3)$ et $f(-2)$. On a $f(-3)=9$ et $f(-2)=4$. Quand $x$ passe de $-3$ à $-2$ (donc augmente), l'image diminue de $9$ à $4$ : on est bien sur la branche décroissante, à gauche de $0$.

Exemple 2. Compare $f(2)$ et $f(3)$. On a $f(2)=4$ et $f(3)=9$ : ici l'image augmente. À droite de $0$, la fonction croît. Le minimum $0$ sépare les deux régimes.

Le piège de « le carré agrandit toujours »

Beaucoup d'élèves croient que $x^2$ croît partout, parce que « élever au carré, ça grandit ». C'est faux sur les négatifs. Karim affirme : « puisque $-5<-3$, alors $(-5{)}^2<(-3{)}^2$. » Faux : $(-5{)}^2=25$ et $(-3{)}^2=9$, donc $25>9$. Sur les nombres négatifs, plus $x$ est petit, plus son carré est grand : la fonction carré y est décroissante. La règle « le carré conserve l'ordre » n'est valable que pour des nombres positifs. Garde toujours en tête la forme en cuvette de la parabole : à gauche du sommet, ça descend.

La fonction inverse

Voici une fonction d'un genre nouveau : la première qui n'est pas définie partout. La fonction inverse, $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, traduit toutes les situations de proportionnalité inverse — plus on est nombreux à partager, moins chacun reçoit. Sa courbe, elle aussi, porte un nom : l'hyperbole.

L'interdiction de $x=0$ n'est pas un détail : c'est le cœur du comportement de cette fonction. Construisons le tableau de valeurs en évitant soigneusement $0$.

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$-\mathrm{0,5}$	$\mathrm{0,5}$	$1$	$2$	$4$
${\displaystyle \frac{1}{x}}$	$-\mathrm{0,25}$	$-\mathrm{0,5}$	$-1$	$-2$	$2$	$1$	$\mathrm{0,5}$	$\mathrm{0,25}$

Le tableau révèle deux faits. D'abord, le signe de ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ est celui de $x$ : positif quand $x>0$, négatif quand $x<0$ — l'inverse ne change jamais le signe. Ensuite, plus $x$ s'approche de $0$, plus ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ devient grand en valeur absolue : la courbe « fuit » vers l'infini de part et d'autre de $0$. C'est pourquoi l'hyperbole est faite de deux branches séparées.

Décroissante sur chaque branche, séparément

La fonction inverse descend partout où elle est définie — mais attention à la manière de le dire correctement.

Exemple 1. Sur la branche positive, compare $f(1)$ et $f(2)$ : $f(1)=1$ et $f(2)=\mathrm{0,5}$. Quand $x$ augmente de $1$ à $2$, l'image diminue de $1$ à $\mathrm{0,5}$ : décroissante, conformément à la propriété.

Exemple 2. Salma partage un taxi collectif de Rabat dont la course coûte $60$ dh. Si $x$ personnes partagent, chacune paie $P(x)={\displaystyle \frac{60}{x}}$ dh. À $2$ personnes, $30$ dh chacune ; à $4$ personnes, $15$ dh chacune ; à $6$ personnes, $10$ dh. Plus on est nombreux, moins chacun paie : c'est la décroissance de l'inverse, sur la branche positive (le nombre de personnes est positif).

Le piège de l'oubli du domaine

L'erreur capitale est d'oublier que $0$ est interdit. Écrire $f(0)={\displaystyle \frac{1}{0}}$ n'a aucun sens : $0$ n'appartient pas à l'ensemble de définition. Deuxième subtilité, plus fine : on ne dit pas que la fonction inverse est « décroissante sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ » (la notation ${\mathbb{R}}^{\ast }$ désigne $\mathbb{R}$ privé de $0$) d'un seul bloc. En effet, $f(-1)=-1$ et $f(1)=1$ : en passant de $-1$ à $1$, $x$ augmente mais l'image augmente aussi de $-1$ à $1$. La décroissance n'est vraie que sur chaque branche prise à part. Karim qui écrit « $f$ décroissante sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ » se trompe : il faut deux intervalles, jamais un seul qui enjambe $0$.

Fonctions racine carrée, cube et valeur absolue

Trois dernières fonctions de référence complètent le tableau. Chacune apporte une forme de courbe nouvelle, et tu dois savoir les reconnaître au premier regard, avec leur domaine, leurs variations et leur signe.

La racine carrée : croissante, jamais négative

Exemple 1. On a $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$. Les images grandissent, mais de plus en plus lentement : passer de $4$ à $9$ (écart $5$ en abscisse) ne fait gagner qu'une unité d'ordonnée. C'est l'aplatissement caractéristique de la courbe.

Le cube : croissant et impair

Exemple 2. On a $(-2{)}^3=-8$, $(-1{)}^3=-1$, $1^3=1$, $2^3=8$. Contrairement au carré, le cube conserve l'ordre partout : si $x_1<x_2$, alors $x_1^3<x_2^3$. La symétrie par rapport à $O$ se lit dans $(-2{)}^3=-8=-(2^3)$.

La valeur absolue : un V

Exemple 3. On a $\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }=2$, $\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }=0$, $\mathrm{\mid }3\mathrm{\mid }=3$. La valeur absolue mesure la distance à zéro : $\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }$ et $\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }$ valent tous deux $2$, car $-2$ et $2$ sont à la même distance de l'origine. C'est pourquoi sa courbe est un V symétrique, jamais en dessous de l'axe.

Le piège de la racine d'un négatif

L'erreur la plus fréquente sur ces trois fonctions concerne le domaine de la racine carrée. Écrire $\sqrt{-4}$ n'a pas de sens en Seconde : il n'existe aucun nombre réel dont le carré vaut $-4$. Amine calcule étourdiment $\sqrt{-9}=-3$ « parce que $(-3{)}^2=9$ » : c'est doublement faux, car d'une part $\sqrt{-9}$ n'existe pas, d'autre part une racine carrée est toujours positive. La fonction racine carrée n'est définie que sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. Le cube et la valeur absolue, eux, acceptent tous les réels : ne confonds pas leurs domaines.

Résolution graphique d'équations et d'inéquations

Tu sais maintenant reconnaître les courbes de référence. Voici à quoi cela sert vraiment : résoudre une équation ou une inéquation sans calcul, en lisant directement sur le graphique. C'est souvent la seule méthode disponible quand l'équation est trop difficile à résoudre algébriquement — et c'est une compétence que tu garderas jusqu'en prépa, où l'on raisonne constamment sur l'allure des courbes.

L'idée fondatrice, héritée du chapitre 06, est simple : un point $(a;b)$ est sur la courbe ${\mathcal{C}}_f$ si, et seulement si, $f(a)=b$. Tout se ramène à des lectures sur ce principe.

Résoudre une équation $f(x)=k$

On trace l'horizontale $y=k$, on repère ses points de rencontre avec la courbe, et on lit leurs abscisses : ce sont les solutions.

Exemple 1. Pour résoudre graphiquement $x^2=4$, on trace l'horizontale $y=4$ sur la parabole. Elle coupe la courbe en deux points, d'abscisses $-2$ et $2$. Les solutions sont donc $x=-2$ et $x=2$. L'horizontale rencontre la parabole en deux points : c'est la traduction graphique du fait que $4$ a deux antécédents par la fonction carré.

Résoudre une inéquation $f(x)⩽k$

Ici, on ne cherche plus des points isolés mais une portion de l'axe des abscisses : les $x$ pour lesquels la courbe est en dessous (ou au niveau) de l'horizontale.

Exemple 2. Pour résoudre $x^2⩽4$, on garde l'horizontale $y=4$ et on repère où la parabole passe sous elle. La parabole est en dessous de la droite entre les deux points d'intersection, c'est-à-dire pour $x$ compris entre $-2$ et $2$. L'ensemble des solutions est l'intervalle $[-2;2]$. À l'extérieur, la parabole remonte au-dessus de $4$ : ces $x$ ne conviennent pas.

Comparer deux courbes : $f(x)=g(x)$ et $f(x)⩽g(x)$

Quand on compare deux fonctions, l'horizontale est remplacée par la seconde courbe. Les points d'intersection donnent l'égalité ; la position relative donne l'inégalité.

Exemple 3. On veut comparer $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+2$. On trace les deux courbes. Elles se coupent aux points d'abscisses $-1$ et $2$ : ce sont les solutions de $x^2=x+2$. Pour résoudre $x^2⩽x+2$, on cherche où la parabole est en dessous de la droite : c'est entre les deux intersections, donc pour $x\in [-1;2]$. À l'extérieur de cet intervalle, la parabole repasse au-dessus de la droite.

Le piège du sens de lecture d'une inéquation

L'erreur classique est de lire une inéquation à l'envers : confondre « la courbe est en dessous » avec « la courbe est au-dessus ». Pour $f(x)⩽k$, on cherche où la courbe est sous l'horizontale (les petites valeurs de $f$) ; pour $f(x)⩾k$, on cherche au contraire où elle est au-dessus. Salma résout $x^2⩽4$ et répond « $x⩽-2$ ou $x⩾2$ » : elle a lu la zone où la parabole est au-dessus de $4$, l'exact opposé de ce qui est demandé. Méthode sûre : d'abord place ta hauteur (ou ta seconde courbe), puis demande-toi si le symbole réclame le « petit » (en dessous, $⩽$) ou le « grand » (au-dessus, $⩾$), et seulement après lis la portion d'abscisses.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine. Dans $f(x)=ax+b$, le nombre $a$ (coefficient directeur) commande la pente et le sens de variation ; le nombre $b$ (ordonnée à l'origine) commande seulement la hauteur de départ. Pour $f(x)=-3x+6$, c'est $a=-3$ qui décide : la fonction est décroissante, malgré le $+6$. Ne regarde jamais $b$ pour juger d'une variation.

Piège 2 : croire que la fonction carré est croissante partout. La parabole descend d'abord, puis remonte : $x^2$ est décroissante sur les négatifs et croissante sur les positifs. Donc $(-5{)}^2=25>(-3{)}^2=9$ alors que $-5<-3$ : sur les négatifs, plus $x$ est petit, plus son carré est grand. La règle « le carré conserve l'ordre » ne vaut que pour des nombres positifs.

Piège 3 : oublier que la fonction inverse n'est pas définie en $0$. ${\displaystyle \frac{1}{0}}$ n'existe pas : $0$ est exclu du domaine de la fonction inverse. De plus, on ne dit jamais qu'elle est « décroissante sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ » d'un bloc — la décroissance ne vaut que sur chaque branche $]-\mathrm{\infty };0[$ et $]0;+\mathrm{\infty }[$ prise séparément, jamais sur un intervalle qui enjambe $0$.

Piège 4 : lire une inéquation graphiquement dans le mauvais sens. Pour $f(x)⩽k$, on cherche où la courbe est en dessous de l'horizontale $y=k$ ; pour $f(x)⩾k$, où elle est au-dessus. Inverser les deux donne l'ensemble de solutions exactement complémentaire. Avant de lire les abscisses, fixe le sens : le symbole $⩽$ veut le « bas », le symbole $⩾$ veut le « haut ».

Piège 5 : croire que $\sqrt{x}$ existe pour $x<0$. La fonction racine carrée n'est définie que sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. $\sqrt{-9}$ n'a aucun sens en Seconde, et une racine carrée n'est jamais négative : écrire $\sqrt{-9}=-3$ est doublement faux. Vérifie toujours que l'expression sous la racine est positive avant de l'utiliser.

Piège 6 : prendre une lecture graphique pour une valeur exacte. Comme au chapitre 06, une solution lue sur un graphique est approchée tant qu'on ne l'a pas confirmée par le calcul. Si une intersection tombe vers $x\approx \mathrm{1,4}$, écris-le avec le symbole $\approx$, pas avec un signe d'égalité. Le graphique donne la tendance, le nombre de solutions et l'ordre de grandeur ; le calcul donne l'exactitude.

Application concrète

Amine, à Fès, doit louer un vélo pour la journée et compare deux loueurs. Le premier, Bab Boujloud, demande un forfait de $30$ dh puis $20$ dh par heure : son tarif est une fonction affine. Le second, Talaa, ne prend pas de forfait mais facture selon une formule qui ralentit avec le temps, modélisée par $S(x)=30\sqrt{x}$ dh pour $x$ heures, où $\sqrt{x}$ est la fonction racine carrée du chapitre. Amine veut savoir lequel choisir selon le nombre d'heures, et il décide de raisonner graphiquement.

Étape 1 — Modéliser chaque tarif par une fonction de référence. Le tarif de Bab Boujloud est $T(x)=20x+30$, une fonction affine : coefficient directeur $20$ (le prix horaire), ordonnée à l'origine $30$ (le forfait). Le tarif de Talaa est $S(x)=30\sqrt{x}$, bâti sur la racine carrée : il part de $0$ (pas de forfait) et monte en s'aplatissant. Amine a reconnu deux fonctions de référence, l'une droite, l'autre courbe.

Étape 2 — Déterminer le domaine réaliste. Le nombre d'heures $x$ est positif, et $\sqrt{x}$ n'existe que pour $x⩾0$ : les deux fonctions ont du sens sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. Amine n'envisagera donc jamais de valeur négative — le piège du domaine de la racine est ici sans danger, mais il a vérifié.

Étape 3 — Comparer les variations. La fonction affine $T$ est strictement croissante de pente constante $20$ : son tarif monte tout droit, régulièrement. La fonction $S$ est croissante elle aussi, mais de plus en plus lentement, à cause de l'aplatissement de la racine. Très tôt, $S$ part de $0$ pendant que $T$ part déjà de $30$ ; mais $T$, qui monte plus vite et sans fléchir, finira par dépasser $S$… ou pas. La lecture graphique va trancher.

Étape 4 — Résoudre graphiquement la comparaison. Amine cherche où $S(x)⩽T(x)$, c'est-à-dire où la courbe de Talaa passe sous la droite de Bab Boujloud. Il lit les valeurs : à $x=1$, $T(1)=50$ et $S(1)=30$ ; à $x=4$, $T(4)=110$ et $S(4)=30\times 2=60$ ; à $x=9$ (hors graphique mais calculable), $T(9)=210$ et $S(9)=90$. Sur tout l'intervalle utile, la courbe de Talaa reste en dessous de la droite de Bab Boujloud : Talaa est moins cher dès la première heure entière et l'écart se creuse. Amine prend soin de lire dans le bon sens — « en dessous » correspond bien à « moins cher », c'est-à-dire à $S(x)⩽T(x)$.

Étape 5 — Vérifier un point par le calcul. La lecture graphique reste approchée ; Amine confirme un point. À $x=4$ heures : $T(4)=20\times 4+30=110$ dh et $S(4)=30\sqrt{4}=30\times 2=60$ dh. L'écart est de $50$ dh en faveur de Talaa. Le calcul valide la lecture.

Conclusion. En modélisant chaque offre par une fonction de référence puis en comparant les deux courbes, Amine a répondu sans tâtonner : pour une visite de plusieurs heures de la médina, le loueur Talaa est nettement plus avantageux, car la racine carrée croît plus lentement que la droite. Il n'a pas eu besoin de résoudre une seule équation difficile : la position relative des courbes a tout dit. C'est l'exacte démarche que tu retrouveras, plus puissante encore, lorsque les dérivées te permettront, en 1re, Tle et en prépa, de comparer et d'optimiser n'importe quelles fonctions — toujours en t'appuyant sur ces mêmes fonctions de référence et leurs variations.

À retenir