Dérivation et applications

Le nombre dérivé : taux de variation et limite

Pour comprendre la pente d'une courbe « en un point », il faut d'abord savoir mesurer une pente entre deux points. Entre deux instants d'un trajet, la vitesse moyenne est la distance parcourue divisée par le temps écoulé. Pour une fonction, c'est exactement la même chose : on compare la variation des images à la variation des entrées. Cette quantité porte un nom.

Géométriquement, $\tau (h)$ est la pente de la droite qui passe par les deux points de la courbe d'abscisses $a$ et $a+h$ — la droite sécante. C'est une pente moyenne sur tout l'intervalle, pas une pente « locale ».

Exemple 1. Pour $f(x)=x^2$ et $a=3$, le taux entre $3$ et $3+h$ vaut : $\tau (h)={\displaystyle \frac{(3+h{)}^2-3^2}{h}}={\displaystyle \frac{9+6h+h^2-9}{h}}={\displaystyle \frac{6h+h^2}{h}}=6+h\mathrm{.}$ Avec $h=1$ : $\tau =7$. Avec $h=\mathrm{0,1}$ : $\tau =\mathrm{6,1}$. Avec $h=\mathrm{0,01}$ : $\tau =\mathrm{6,01}$.

Exemple 2. Pour la fonction affine $g(x)=5x-2$ et n'importe quel $a$ : $\tau (h)={\displaystyle \frac{(5(a+h)-2)-(5a-2)}{h}}={\displaystyle \frac{5h}{h}}=5.$ Le taux ne dépend ni de $a$ ni de $h$ : une droite a une pente constante, c'est rassurant.

Faire tendre h vers zéro

Reprends l'exemple 1 : quand $h$ devient minuscule, $\tau (h)=6+h$ se rapproche de $6$. La sécante, dont les deux points se collent l'un à l'autre, tend vers une position limite. La pente vers laquelle on tend est le nombre dérivé.

Pour $f(x)=x^2$ en $a=3$, on a donc $f^{\mathrm{\prime }}(3)={\lim }_{h\to 0}(6+h)=6$. Le nombre dérivé est la pente locale de la courbe en ce point précis : la pente « sous les roues », pas une moyenne.

Le piège de la division par zéro

On ne calcule jamais le taux en posant directement $h=0$ : le quotient ${\displaystyle \frac{f(a)-f(a)}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$ n'a aucun sens. Toute la subtilité est là. On simplifie d'abord l'expression du taux tant que $h\mathrm{\ne }0$ (le $h$ du dénominateur disparaît après simplification), et c'est seulement sur l'expression simplifiée — ici $6+h$ — qu'on fait tendre $h$ vers $0$. Faire « $h=0$ » trop tôt, c'est diviser par zéro ; le faire trop tard, après simplification, c'est calculer une limite parfaitement légale.

La tangente à une courbe

Quand la sécante atteint sa position limite, elle devient la droite qui « épouse » la courbe au point considéré : la tangente. C'est la meilleure approximation de la courbe par une droite au voisinage du point. Et son ingrédient essentiel, sa pente, tu sais déjà le calculer : c'est le nombre dérivé.

Le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ est donc la pente de la tangente. Si $f^{\mathrm{\prime }}(a)>0$, la tangente monte ; si $f^{\mathrm{\prime }}(a)<0$, elle descend ; si $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$, elle est horizontale. Garde cette traduction en tête, elle est le cœur de tout le chapitre.

L'équation de la tangente

Une droite de pente $m$ passant par un point connu a une équation que tu sais écrire depuis la Seconde. Ici la pente est $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ et le point est $(a;f(a))$.

Exemple 1. Soit $f(x)=x^2$. On a vu $f^{\mathrm{\prime }}(3)=6$, et $f(3)=9$. La tangente en $x=3$ a pour équation : $y=6(x-3)+9=6x-18+9=6x-9.$

Exemple 2. Soit $f(x)=x^2$ encore, mais en $a=0$. On calcule $\tau (h)={\displaystyle \frac{h^2-0}{h}}=h\to 0$, donc $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$. La tangente en l'origine a pour équation $y=0(x-0)+0=0$ : c'est l'axe des abscisses, horizontal, ce qui colle parfaitement au creux de la parabole.

Le piège de l'équation mal recopiée

L'erreur la plus fréquente est d'écrire $y=f^{\mathrm{\prime }}(a)x+f(a)$, en oubliant le $(x-a)$. C'est faux : ce serait une droite de pente $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ qui passe par $(0;f(a))$, pas par le bon point. Le terme $f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$ vaut $0$ quand $x=a$ : c'est précisément ce qui force la tangente à passer par $A$. Vérifie toujours ton équation en y remplaçant $x$ par $a$ : tu dois retrouver $y=f(a)$.

La fonction dérivée

Jusqu'ici, $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ était un nombre attaché à un point $a$. Mais on peut calculer ce nombre en chaque point où $f$ est dérivable. En laissant $a$ varier, on fabrique une nouvelle fonction qui, à chaque $x$, associe la pente locale de $f$ en $x$. C'est un changement de point de vue décisif : on passe d'un nombre à une fonction.

Le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ est alors simplement la valeur de la fonction dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ au point $a$. Une fonction $f$, une fonction $f^{\mathrm{\prime }}$ : deux objets distincts, reliés point par point par la pente.

Exemple 1. Pour $f(x)=x^2$, calculons $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour un $x$ quelconque. Le taux en $x$ vaut ${\displaystyle \frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}}={\displaystyle \frac{2xh+h^2}{h}}=2x+h$, qui tend vers $2x$ quand $h\to 0$. Donc $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x$. On retrouve bien $f^{\mathrm{\prime }}(3)=6$ et $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$.

Lire le signe de la dérivée sur un graphique

La fonction dérivée encode, en un seul objet, toute l'information sur les pentes. Là où la courbe de $f$ monte, ses tangentes montent, donc $f^{\mathrm{\prime }}$ est positive ; là où elle descend, $f^{\mathrm{\prime }}$ est négative ; à un sommet ou un creux à tangente horizontale, $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule.

Le piège de la confusion entre f et f'

Ne confonds jamais la valeur de $f$ et celle de $f^{\mathrm{\prime }}$ en un point. $f(a)$ est la hauteur de la courbe (une ordonnée) ; $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ est la pente de la courbe (une inclinaison). Une fonction peut être très haute tout en descendant : $f(a)$ grand et $f^{\mathrm{\prime }}(a)<0$. Elle peut valoir zéro tout en montant fort : $f(a)=0$ et $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ grand. Pose-toi toujours la question : la question parle-t-elle de la hauteur ($f$) ou de la pente ($f^{\mathrm{\prime }}$) ?

Dérivées des fonctions usuelles

Calculer une dérivée avec la limite du taux, à chaque fois, serait épuisant. Heureusement, une fois la limite faite « pour de bon » sur les fonctions de référence, on obtient des formules qu'on applique ensuite mécaniquement. Ce tableau est à connaître par cœur, comme tu connais tes tables : c'est l'alphabet du calcul de dérivées.

La formule centrale est celle des puissances : la dérivée de $x^n$ est $n{x}^{n-1}$. On « descend » l'exposant devant, et on le diminue de $1$. Elle contient les lignes $x^2\to 2x$ et $x^3\to 3x^2$ comme cas particuliers.

Exemple 1. La dérivée de $f(x)=x^4$ est $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3$ (on descend le $4$, l'exposant passe de $4$ à $3$). La dérivée de $f(x)=x^7$ est $f^{\mathrm{\prime }}(x)=7x^6$.

Exemple 2. La dérivée de $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ est $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$, définie pour $x\mathrm{\ne }0$. En $x=2$, le nombre dérivé vaut $f^{\mathrm{\prime }}(2)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ : la pente de l'hyperbole en ce point est $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$, négative, ce qui est cohérent car la fonction inverse décroît sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Les domaines à ne pas oublier

La fonction $\sqrt{x}$ est définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, mais sa dérivée ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ n'existe pas en $0$ : on diviserait par $\sqrt{0}=0$. La fonction racine est définie en $0$ mais pas dérivable en $0$ (sa tangente y serait verticale). De même, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ et sa dérivée excluent toutes deux $x=0$. Toujours préciser l'ensemble de dérivabilité.

Le piège de la dérivée d'une constante

Beaucoup d'élèves écrivent que la dérivée de $7$ est $7$, ou que la dérivée de $x$ est $0$. Les deux sont fausses, et symétriquement. La dérivée d'une constante est $0$ : une droite horizontale a une pente nulle, elle ne varie pas. La dérivée de $x$ (la fonction identité, dont la courbe est la droite $y=x$) est $1$ : cette droite a une pente de $1$. Ne confonds pas « la fonction $x$ » (pente $1$) et « une constante » (pente $0$).

Opérations sur les dérivées (somme, produit, quotient)

Les fonctions réelles sont rarement des fonctions de référence pures : ce sont des sommes, des produits, des quotients de celles-ci. Pour les dériver, on combine les formules de base à l'aide de règles d'opération. Munies de ces règles et du tableau précédent, tu peux dériver n'importe quelle fonction du programme.

La somme et le multiple par une constante sont intuitifs : dériver respecte l'addition. Le produit, en revanche, surprend : la dérivée de $uv$ n'est pas $u^{\mathrm{\prime }}{v}^{\mathrm{\prime }}$. Il faut dériver chaque facteur à son tour en gardant l'autre intact, puis additionner. Le quotient suit la même logique, avec un signe moins et le dénominateur au carré.

Exemple 1. Dérivons $f(x)=3x^2-5x+4$. Terme à terme : la dérivée de $3x^2$ est $3\times 2x=6x$ ; celle de $-5x$ est $-5$ ; celle de $4$ est $0$. Donc : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x-5.$

Exemple 2. Dérivons $f(x)=(2x+1)(x^2-3)$ avec la règle du produit. On pose $u=2x+1$ (donc $u^{\mathrm{\prime }}=2$) et $v=x^2-3$ (donc $v^{\mathrm{\prime }}=2x$) : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}=2(x^2-3)+(2x+1)(2x)=2x^2-6+4x^2+2x=6x^2+2x-6.$

La règle du quotient en action

Exemple 3. Dérivons $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x+1}}$ sur $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. On pose $u=x$ ($u^{\mathrm{\prime }}=1$) et $v=x+1$ ($v^{\mathrm{\prime }}=1$) : $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}v-u{v}^{\mathrm{\prime }}}{v^2}}={\displaystyle \frac{1\times (x+1)-x\times 1}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{x+1-x}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}\mathrm{.}$ Cette dérivée est toujours strictement positive : la fonction est croissante sur chacun de ses intervalles.

Le piège du produit dérivé naïvement

L'erreur capitale du chapitre est d'écrire $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}{v}^{\mathrm{\prime }}$. C'est faux. La dérivée d'un produit comporte deux termes : $u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$. Vérifie sur un cas simple : $f(x)=x\times x=x^2$, dont la vraie dérivée est $2x$. La règle correcte donne $u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}=1\times x+x\times 1=2x$ : juste. La règle fausse donnerait $u^{\mathrm{\prime }}{v}^{\mathrm{\prime }}=1\times 1=1$ : absurde. Pour le quotient, l'erreur jumelle est d'oublier le signe moins ou le carré au dénominateur. Récite mentalement « haut dérivé fois bas, moins haut fois bas dérivé, le tout sur bas au carré ».

Dérivée, variations et extremums (optimisation)

Voici l'aboutissement, et la raison d'être de tout ce qui précède. Le nombre dérivé est une pente ; une pente positive signifie « ça monte », une pente négative « ça descend ». Donc le signe de la fonction dérivée donne directement le sens de variation de $f$. La conjecture graphique de Seconde devient un théorème, et l'optimisation devient un calcul exact.

Pour étudier les variations d'une fonction, la méthode est désormais mécanique : on calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, on étudie son signe, et on en déduit le tableau de variations. Plus besoin de tableaux de valeurs : le signe de la dérivée tranche.

Exemple 1. Étudions $f(x)=x^2-4x+1$ sur $\mathbb{R}$. La dérivée est $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-4=2(x-2)$. Elle est négative pour $x<2$, nulle en $x=2$, positive pour $x>2$. Donc $f$ décroît sur $]-\mathrm{\infty };2]$ puis croît sur $[2;+\mathrm{\infty }[$.

$x$	$-\mathrm{\infty }$		$2$		$+\mathrm{\infty }$
$f^{\mathrm{\prime }}(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\searrow$	$-3$	$\nearrow$

Le minimum vaut $f(2)=4-8+1=-3$, atteint en $x=2$.

Extremum et dérivée qui s'annule

Au sommet ou au creux d'une courbe lisse, la tangente est horizontale : sa pente est nulle. C'est exactement là que la dérivée change de signe.

Exemple 2. Reprenons l'enclos de Yasmine : $A(x)=x(40-2x)=40x-2x^2$, sur $[0;20]$. La dérivée est $A^{\mathrm{\prime }}(x)=40-4x=4(10-x)$. Elle s'annule en $x=10$, est positive avant, négative après : $A$ croît puis décroît, donc maximum en $x=10$. L'aire maximale vaut $A(10)=10\times 20=200$ m². Ce que la Seconde devinait, la dérivée le prouve en trois lignes.

Le piège de la dérivée nulle sans changement de signe

Attention : $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)=0$ est nécessaire pour un extremum, mais pas suffisant. La dérivée peut s'annuler sans que la fonction admette d'extremum, si elle ne change pas de signe. Exemple : $f(x)=x^3$ a pour dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2$, qui s'annule en $0$ mais reste positive de part et d'autre. La fonction $x^3$ est donc strictement croissante partout : pas d'extremum en $0$, juste une tangente horizontale au passage (un point d'inflexion). Conclusion : ce n'est pas l'annulation de $f^{\mathrm{\prime }}$ qui crée l'extremum, c'est le changement de signe. Dresse toujours le tableau de signe complet.

Pièges classiques

Piège 1 : poser $h=0$ dans le taux de variation. Le taux ${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ devient ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ si on remplace brutalement $h$ par $0$ : c'est une forme indéterminée, interdite. La bonne démarche est de simplifier d'abord l'expression tant que $h\mathrm{\ne }0$ (le $h$ du dénominateur se simplifie), puis de faire tendre $h$ vers $0$ sur l'expression réduite. Pour $f(x)=x^2$ en $a$ : on simplifie ${\displaystyle \frac{2ah+h^2}{h}}=2a+h$, ensuite seulement $h\to 0$ donne $2a$.

Piège 2 : confondre $f(a)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. $f(a)$ est la hauteur de la courbe au point d'abscisse $a$ (une ordonnée) ; $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ est la pente de la tangente en ce point (une inclinaison). Une fonction peut valoir $f(a)=100$ tout en ayant $f^{\mathrm{\prime }}(a)=-3$ : très haute mais en train de descendre. Demande-toi toujours : la question porte-t-elle sur où est la courbe (hauteur, $f$) ou sur comment elle penche (pente, $f^{\mathrm{\prime }}$) ?

Piège 3 : oublier le $(x-a)$ dans l'équation de la tangente. La tangente en $a$ a pour équation $y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$, pas $y=f^{\mathrm{\prime }}(a)x+f(a)$. Le facteur $(x-a)$ s'annule en $x=a$, ce qui force la droite à passer par le point $(a;f(a))$. Sans lui, la droite a la bonne pente mais passe par le mauvais point. Contrôle : remplace $x$ par $a$, tu dois retrouver exactement $y=f(a)$.

Piège 4 : dériver un produit comme $u^{\mathrm{\prime }}{v}^{\mathrm{\prime }}$. La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$, deux termes. Test rapide sur $x\times x=x^2$ : la règle correcte donne $1\cdot x+x\cdot 1=2x$ (juste), la règle fausse donnerait $1\cdot 1=1$ (absurde). Même vigilance pour le quotient : ne jamais oublier le signe moins ni le carré du dénominateur dans ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}v-u{v}^{\mathrm{\prime }}}{v^2}}$.

Piège 5 : croire que $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)=0$ suffit pour un extremum. L'annulation de la dérivée est nécessaire pour un extremum intérieur, mais pas suffisante. Si $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule sans changer de signe, il n'y a pas d'extremum. Le contre-exemple à retenir est $f(x)=x^3$ : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2$ s'annule en $0$, mais reste positive autour, donc $x^3$ croît partout. Toujours étudier le changement de signe de $f^{\mathrm{\prime }}$, pas seulement ses zéros.

Piège 6 : confondre le signe de $f$ et le signe de $f^{\mathrm{\prime }}$. Le signe de $f$ dit si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'axe (positive/négative). Le signe de $f^{\mathrm{\prime }}$ dit si elle monte ou descend (croissante/décroissante). Ce sont deux études différentes. Une fonction peut être positive et décroissante (par exemple ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, qui vaut toujours plus que $0$ mais décroît). Ne mélange jamais le tableau de signe de $f$ et le tableau de signe de $f^{\mathrm{\prime }}$ : le second seul donne les variations.

Application concrète

Amine veut fabriquer une boîte ouverte (sans couvercle) pour ranger les épices de son étal au souk de Fès. Il part d'une plaque de carton carrée de $30$ cm de côté, découpe un petit carré identique à chaque coin, puis relève les bords pour former la boîte. Il veut choisir la taille de la découpe pour que la boîte ait le plus grand volume possible. Avec la dérivée, il va trouver la dimension optimale exactement, sans tâtonner.

Étape 1 — Modéliser le volume. Amine note $x$ (en cm) le côté du carré découpé à chaque coin. En relevant les bords, la hauteur de la boîte est $x$, et la base est un carré de côté $30-2x$ (on retire $x$ de chaque côté de la plaque). Le volume est donc : $V(x)=x(30-2x{)}^2\mathrm{.}$

Étape 2 — Fixer le domaine réaliste. La découpe doit être positive ($x>0$) et laisser une base de côté positif ($30-2x>0$, soit $x<15$). Le domaine réaliste est donc $x\in ]0;15[$. Aux bornes, le volume est nul : $V(0)=0$ (pas de hauteur), $V(15)=0$ (base réduite à un point).

Étape 3 — Dériver le volume. Développons d'abord : $V(x)=x(900-120x+4x^2)=900x-120x^2+4x^3$. Terme à terme : $V^{\mathrm{\prime }}(x)=900-240x+12x^2=12(x^2-20x+75)=12(x-5)(x-15)\mathrm{.}$ (La factorisation se vérifie : $(x-5)(x-15)=x^2-20x+75$.)

Étape 4 — Étudier le signe de la dérivée. Sur $]0;15[$, le facteur $(x-15)$ est toujours négatif, et $12>0$. Le signe de $V^{\mathrm{\prime }}$ est donc l'opposé du signe de $(x-5)$ : positif pour $x<5$, nul en $x=5$, négatif pour $x>5$.

$x$	$0$		$5$		$15$
$V^{\mathrm{\prime }}(x)$		$+$	$0$	$-$
$V(x)$	$0$	$\nearrow$	$V(5)$	$\searrow$	$0$

Le passage de $+$ à $-$ en $x=5$ signale un maximum.

Étape 5 — Conclure et interpréter. Le volume est maximal pour $x=5$ cm. Sa valeur : la base mesure $30-2\times 5=20$ cm de côté, la hauteur $5$ cm, donc : $V(5)=5\times {20}^2=5\times 400=2000{\text{ cm}}^3\mathrm{.}$ Amine doit découper des carrés de $5$ cm à chaque coin pour obtenir une boîte de $2000$ cm³, soit $2$ litres — la plus grande possible avec sa plaque.

Conclusion. Sans la dérivée, Amine aurait rempli un tableau de valeurs et deviné « autour de $5$ ». Avec elle, il a prouvé que $x=5$ est exactement l'optimum, en une étude de signe. C'est toute la révolution de ce chapitre : l'optimisation n'est plus une conjecture, c'est un calcul. En Terminale, tu appliqueras la même méthode à des fonctions plus riches (exponentielle, logarithme), et en physique, la dérivée deviendra la vitesse, l'accélération, l'intensité — la même idée de pente locale, partout.

À retenir