Fonction exponentielle

La fonction qui est sa propre dérivée

Reprends la situation de Yasmine. Si son capital $f(x)$ croît d'autant plus vite qu'il est élevé, alors sa vitesse de croissance — sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ — est proportionnelle à $f(x)$. Le cas le plus simple, le squelette de tous les autres, est celui où le coefficient de proportionnalité vaut exactement $1$ : la dérivée est égale à la fonction elle-même. On cherche donc une fonction $f$ telle que $f^{\mathrm{\prime }}=f$. Aucune fonction vue jusqu'ici ne convient : la dérivée de $x^2$ est $2x$ (pas $x^2$), la dérivée de $3x+1$ est $3$ (pas $3x+1$). Il faut une fonction d'un genre nouveau. On admet qu'elle existe, et on la baptise.

Les deux conditions comptent autant l'une que l'autre. La condition $f^{\mathrm{\prime }}=f$ dit comment la fonction varie ; la condition $f(0)=1$ fixe où elle part. Sans la seconde, la fonction nulle $f=0$ conviendrait aussi (elle vérifie bien $f^{\mathrm{\prime }}=f$, car $0^{\mathrm{\prime }}=0$), mais elle ne servirait à rien. La valeur $f(0)=1$ sélectionne la bonne courbe, celle qui passe par le point $(0;1)$.

Ce résultat est capital et pas du tout évident. On l'admet ici, mais l'intuition est la suivante : puisque ${\exp }^{\mathrm{\prime }}=\exp$, et que $\exp (0)=1>0$, la fonction part d'une valeur positive et, comme on le verra, ne peut jamais traverser l'axe des abscisses. Retiens-le comme un acquis solide : une exponentielle est toujours strictement positive, quelle que soit la valeur de $x$, même très négative.

Exemple 1. Que vaut la dérivée de $\exp$ en $0$ ? Comme ${\exp }^{\mathrm{\prime }}=\exp$, on a ${\exp }^{\mathrm{\prime }}(0)=\exp (0)=1$. La tangente à la courbe au point $(0;1)$ a donc pour coefficient directeur $1$ : elle « monte à $45$ degrés » en ce point.

Exemple 2. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=5\exp (x)$. Sa dérivée est $g^{\mathrm{\prime }}(x)=5{\exp }^{\mathrm{\prime }}(x)=5\exp (x)=g(x)$. Donc $g$ vérifie aussi $g^{\mathrm{\prime }}=g$ — mais $g(0)=5\exp (0)=5\mathrm{\ne }1$. Ce n'est donc pas la fonction exponentielle : c'est une de ses « sœurs », solution de $f^{\mathrm{\prime }}=f$ mais avec un autre point de départ.

Le piège de croire que l'exponentielle peut s'annuler

Une grande partie des erreurs de calcul vient de l'oubli que $\exp (x)>0$ pour tout $x$. On voit des élèves écrire « $\exp (x)=0$ pour $x=-\mathrm{\infty }$ » : c'est faux, $-\mathrm{\infty }$ n'est pas un nombre, et $\exp$ ne prend jamais la valeur $0$. Conséquence pratique : dans une équation comme $\exp (x)\times (x-3)=0$, le facteur $\exp (x)$ ne peut jamais être nul, donc la seule solution est $x=3$. Ne cherche jamais à annuler une exponentielle ; elle est strictement positive, point.

La relation fonctionnelle $\exp (a+b)=\exp (a)\exp (b)$

La propriété ${\exp }^{\mathrm{\prime }}=\exp$ est élégante, mais ce qui rend l'exponentielle vraiment utile, c'est une seconde propriété, surprenante : elle transforme les sommes en produits. Pour Yasmine, cela signifie que les intérêts de deux années s'accumulent en se multipliant, pas en s'additionnant. Cette propriété est si centrale qu'on l'appelle la relation fonctionnelle de l'exponentielle.

Lis bien ce que dit cette égalité : à gauche, on additionne $a$ et $b$ avant d'appliquer l'exponentielle ; à droite, on applique l'exponentielle à chacun puis on multiplie. Les deux donnent le même résultat. L'addition à l'intérieur devient une multiplication à l'extérieur. C'est exactement le comportement des puissances que tu connais — $2^{3+4}=2^3\times 2^4$ — et ce n'est pas un hasard : on verra que $\exp$ se comporte comme une puissance.

Exemple 1. Calcule $\exp (5)$ en fonction de $\exp (2)$ et $\exp (3)$. Comme $5=2+3$, la relation donne $\exp (5)=\exp (2+3)=\exp (2)\times \exp (3)$. On a découpé un calcul en deux morceaux plus simples.

Exemple 2. Montre que $\exp (2x)=(\exp (x){)}^2$. On écrit $2x=x+x$, puis on applique la relation : $\exp (2x)=\exp (x+x)=\exp (x)\times \exp (x)=(\exp (x){)}^2$. La même idée donnera $\exp (3x)=(\exp (x){)}^3$, et plus généralement $\exp (nx)=(\exp (x){)}^n$.

Une première conséquence : l'inverse

La relation fonctionnelle, appliquée à $b=-a$, livre un résultat précieux.

La démonstration tient en deux lignes et mérite d'être comprise. On part de $\exp (a+(-a))=\exp (0)=1$. Mais par la relation fonctionnelle, $\exp (a+(-a))=\exp (a)\times \exp (-a)$. Donc $\exp (a)\times \exp (-a)=1$, ce qui prouve que $\exp (-a)$ est l'inverse de $\exp (a)$. Au passage, cela reconfirme que $\exp$ ne s'annule jamais : un nombre qui a un inverse ne peut pas être nul.

Exemple 3. Si $\exp (\mathrm{1,5})\approx \mathrm{4,48}$, alors $\exp (-\mathrm{1,5})={\displaystyle \frac{1}{\exp (\mathrm{1,5})}}\approx {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4,48}}}\approx \mathrm{0,22}$. Le signe de l'argument bascule entre une valeur « grande » et son inverse « petite », mais toujours strictement positive.

Le piège de l'addition transformée en addition

L'erreur reine de ce chapitre : écrire $\exp (a+b)=\exp (a)+\exp (b)$. C'est faux. La relation transforme la somme en produit, pas en somme. L'exponentielle n'est pas une fonction « linéaire » : elle ne se distribue pas sur l'addition. Vérifie sur un cas simple — on verra que $\exp (0)=1$, donc $\exp (0+0)$ vaut $\exp (0)=1$ ; le produit $\exp (0)\times \exp (0)=1\times 1=1$ marche, alors que la somme $\exp (0)+\exp (0)=1+1=2$ donnerait un résultat différent. Somme à l'intérieur, produit à l'extérieur : jamais l'inverse.

Propriétés algébriques et notation $e^x$

Tu as remarqué que $\exp$ se comporte exactement comme une puissance : produit qui correspond à une somme d'exposants, inverse qui correspond à l'opposé. Cette ressemblance n'est pas un hasard, et elle justifie une notation qui va simplifier toute ton écriture pour les années à venir. Tout part d'un nombre particulier : la valeur de l'exponentielle en $1$.

Voyons pourquoi cette notation est si commode. Par la relation fonctionnelle, $\exp (2)=\exp (1+1)=\exp (1)\times \exp (1)=e\times e=e^2$. De même $\exp (3)=e^3$, et pour tout entier $n$, $\exp (n)=e^n$. La fonction exponentielle coïncide donc, sur les entiers, avec les puissances de $e$. On prolonge cette écriture à tous les réels.

Avec cette notation, toutes les propriétés vues se réécrivent sous une forme familière, identique aux règles de calcul sur les puissances.

Exemple 1. Simplifie ${\displaystyle \frac{e^5\times e^{-2}}{e^1}}$. On regroupe au numérateur : $e^5\times e^{-2}=e^{5+(-2)}=e^3$. Puis on divise : ${\displaystyle \frac{e^3}{e^1}}=e^{3-1}=e^2$. Le résultat est $e^2$.

Exemple 2. Écris $(e^2{)}^3\times e^{-4}$ sous la forme $e^k$. On a $(e^2{)}^3=e^{2\times 3}=e^6$, puis $e^6\times e^{-4}=e^{6-4}=e^2$. Donc le résultat est $e^2$.

Le piège de la confusion entre $e^a\times e^b$ et $e^{a\times b}$

Quand on multiplie deux puissances de $e$, on additionne les exposants : $e^a\times e^b=e^{a+b}$. L'erreur fréquente est de multiplier les exposants et d'écrire $e^{ab}$ : c'est faux. La multiplication des exposants correspond, elle, à l'élévation à une puissance : $(e^a{)}^b=e^{ab}$. Garde les deux opérations bien séparées : produit de puissances $\to$ somme d'exposants ; puissance d'une puissance $\to$ produit d'exposants. Par exemple, $e^2\times e^3=e^5$ (et non $e^6$), tandis que $(e^2{)}^3=e^6$.

Variations et courbe de l'exponentielle

On connaît maintenant les règles de calcul ; voyons l'allure de la courbe. Comme tu l'as appris au chapitre précédent, le sens de variation se lit dans le signe de la dérivée. Or l'exponentielle a une dérivée d'une simplicité désarmante : elle-même. Ce seul fait détermine toute sa forme.

Le raisonnement est exemplaire de ce que tu sais faire désormais : la dérivée est $e^x$, qui est toujours strictement positive (théorème de la leçon 1), donc d'après le lien entre signe de la dérivée et variations, la fonction croît strictement sur tout $\mathbb{R}$. Pas de maximum, pas de minimum, pas de palier : elle monte sans cesse.

$x$	$-\mathrm{\infty }$		$+\mathrm{\infty }$
$e^x$	$0$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$

Le tableau résume tout : l'exponentielle croît de valeurs proches de $0$ (sans jamais l'atteindre) vers des valeurs arbitrairement grandes. Une conséquence directe de la stricte croissance est très utile pour résoudre des équations.

Exemple 1. Résous l'équation $e^{2x}=e^6$. La stricte croissance donne $e^{2x}=e^6⟺2x=6⟺x=3$. On a « enlevé l'exponentielle » des deux côtés, ce qui est légitime grâce à l'équivalence ci-dessus.

Exemple 2. Résous l'inéquation $e^{x-1}>1$. On remarque que $1=e^0$, donc l'inéquation s'écrit $e^{x-1}>e^0$, équivalente à $x-1>0$, soit $x>1$. L'ensemble des solutions est $]1;+\mathrm{\infty }[$.

La croissance de plus en plus rapide

Une particularité de l'exponentielle : non seulement elle croît, mais elle croît de plus en plus vite. Sa pente, en chaque point, est égale à sa hauteur ($f^{\mathrm{\prime }}=f$) ; plus la courbe est haute, plus elle est raide. C'est ce qui explique l'« explosion » exponentielle : une croissance qui paraît lente au début devient vertigineuse. On dit que l'exponentielle « l'emporte » sur les puissances de $x$ ; tu formaliseras cela en terminale.

Le piège de croire que la courbe touche l'axe des abscisses

À gauche du graphique, la courbe descend vers l'axe des abscisses et semble le rejoindre. Salma en conclut « pour $x$ très négatif, $e^x=0$ ». C'est faux : la courbe s'approche de l'axe (on dit qu'elle l'a pour asymptote) mais ne le touche jamais, puisque $e^x>0$ pour tout $x$. Aussi négatif soit $x$, $e^x$ reste un nombre strictement positif, simplement très petit. « S'approcher de $0$ » et « valoir $0$ » sont deux choses différentes.

Modéliser une évolution exponentielle

Voici l'aboutissement du chapitre. On a dit en introduction que beaucoup de phénomènes vérifient « vitesse de variation proportionnelle à la quantité présente ». L'outil pour les décrire est une exponentielle du type $e^{kx}$, dont la dérivée fait apparaître le facteur $k$.

Le coefficient $k$ est le taux de l'évolution. Un $k$ positif modélise tout ce qui grossit à taux constant (capital placé, population de bactéries) ; un $k$ négatif modélise tout ce qui décroît à taux constant (médicament éliminé du sang, refroidissement, désintégration). Une modélisation complète prend la forme $N(t)=N_0{e}^{kt}$, où $N_0=N(0)$ est la valeur initiale (à l'instant $t=0$).

Exemple 1. Une culture de bactéries compte $N_0=1000$ individus à l'instant $t=0$ (en heures), et son effectif suit $N(t)=1000e^{\mathrm{0,2}t}$. Comme $k=\mathrm{0,2}>0$, l'effectif croît. Au bout de $t=5$ heures : $N(5)=1000e^{\mathrm{0,2}\times 5}=1000e^1=1000e\approx 2718$ bactéries. La dérivée $N^{\mathrm{\prime }}(t)=\mathrm{0,2}N(t)$ confirme que la vitesse de croissance est bien proportionnelle à l'effectif présent.

Exemple 2. Un patient reçoit un médicament dont la concentration dans le sang suit $C(t)=C_0{e}^{-\mathrm{0,3}t}$ (en mg/L, $t$ en heures), avec $C_0=8$ mg/L. Comme $k=-\mathrm{0,3}<0$, la concentration décroît : le médicament s'élimine. À $t=2$ heures : $C(2)=8e^{-\mathrm{0,3}\times 2}=8e^{-\mathrm{0,6}}\approx 8\times \mathrm{0,549}\approx \mathrm{4,39}$ mg/L. La concentration tend vers $0$ sans jamais l'atteindre — l'asymptote de la leçon précédente prend ici un sens physique.

Le piège de confondre taux constant et accroissement constant

Une croissance exponentielle n'est pas une croissance linéaire. Karim croit que « $N(t)=1000e^{\mathrm{0,2}t}$ ajoute le même nombre de bactéries chaque heure ». Faux : ce qui est constant, c'est le taux (le pourcentage de variation), pas la quantité ajoutée. De $t=0$ à $t=1$, l'effectif passe de $1000$ à $1000e^{\mathrm{0,2}}\approx 1221$ : on ajoute $221$. De $t=1$ à $t=2$, il passe de $1221$ à environ $1492$ : on ajoute $271$, davantage. L'accroissement absolu augmente, parce qu'il se calcule sur une base de plus en plus grande. C'est exactement ce qui distingue les intérêts composés (exponentiels) des intérêts simples (linéaires).

Pièges classiques

Piège 1 : croire que l'exponentielle peut s'annuler ou être négative. Pour tout réel $x$, $e^x>0$ — strictement, toujours. La courbe ne touche jamais l'axe des abscisses, même pour $x$ très négatif où $e^x$ est seulement très petit. Conséquence : dans une équation factorisée comme $e^x(x-4)=0$, le facteur $e^x$ ne s'annule jamais, donc la seule solution est $x=4$. Ne cherche jamais à résoudre $e^x=0$ : cette équation n'a aucune solution.

Piège 2 : transformer la somme en somme au lieu d'un produit. La relation fonctionnelle dit $e^{a+b}=e^a\times e^b$, pas $e^a+e^b$. L'exponentielle n'est pas linéaire : elle ne se distribue pas sur l'addition. Une somme à l'intérieur de l'exponentielle devient un produit à l'extérieur. Écrire $e^{a+b}=e^a+e^b$ est l'erreur la plus coûteuse du chapitre ; teste mentalement sur $a=b=0$ pour t'en convaincre.

Piège 3 : multiplier les exposants au lieu de les additionner. $e^a\times e^b=e^{a+b}$ : on additionne les exposants d'un produit. Le produit des exposants, lui, correspond à une puissance de puissance : $(e^a{)}^b=e^{ab}$. Ainsi $e^2\times e^3=e^5$ (et non $e^6$), tandis que $(e^2{)}^3=e^6$. Confondre ces deux règles fausse presque tous les calculs de simplification.

Piège 4 : oublier le signe lors du passage à l'inverse. $e^{-a}={\displaystyle \frac{1}{e^a}}$, donc un exposant négatif signale un inverse. L'erreur est d'écrire $e^{-a}=-e^a$ (un nombre négatif) : impossible, puisque toute exponentielle est positive. Un exposant négatif rend la valeur petite et positive, pas négative. De même, ${\displaystyle \frac{1}{e^a}}=e^{-a}$, jamais $e^a$ ni $-e^a$.

Piège 5 : confondre $e^x$ et $x^e$, ou l'exponentielle et une fonction puissance. Dans $e^x$, la variable est en exposant et la base est le nombre fixe $e\approx \mathrm{2,718}$. Dans $x^2$ ou $x^e$, c'est la base qui varie. Ce sont des fonctions totalement différentes : la dérivée de $e^x$ est $e^x$, alors que la dérivée de $x^2$ est $2x$. Ne traite jamais $e^x$ comme un polynôme ; ses règles de dérivation et de calcul lui sont propres.

Piège 6 : croire qu'une croissance exponentielle est linéaire. Dans $N(t)=N_0{e}^{kt}$, ce qui reste constant est le taux (un pourcentage), pas l'accroissement absolu d'une période à l'autre. L'effectif ajouté à chaque pas grandit, car il se calcule sur une base de plus en plus grande. C'est la différence entre intérêts composés et intérêts simples. Un phénomène exponentiel paraît lent au début puis « explose » : ne le confonds jamais avec une droite.

Application concrète

Yasmine place $5000$ dirhams sur un livret à la banque de son quartier à Casablanca. Le banquier lui explique que l'épargne suit un modèle où, à chaque instant, la vitesse de croissance du capital est proportionnelle au capital présent, avec un taux continu $k=\mathrm{0,04}$ par an. Yasmine veut comprendre précisément comment son argent va évoluer, et vérifier une affirmation de son cousin Karim.

Étape 1 — Écrire le modèle. La condition « vitesse de croissance proportionnelle au capital » se traduit par $C^{\mathrm{\prime }}(t)=\mathrm{0,04}C(t)$, avec un capital initial $C(0)=5000$. D'après la leçon 5, la solution est une exponentielle :

$$C(t)=5000e^{\mathrm{0,04}t},$$

où $t$ est le temps en années et $C(t)$ le capital en dirhams. La valeur initiale $5000$ est bien le facteur devant l'exponentielle, et $\mathrm{0,04}$ le taux en exposant.

Une précision de vocabulaire bancaire s'impose : ici, $k=\mathrm{0,04}$ est un taux continu, car la croissance s'applique « à chaque instant ». Ce n'est pas tout à fait un livret classique, dont les intérêts seraient capitalisés une fois par an : un tel livret donnerait $C_n=5000\times (\mathrm{1,04}{)}^n$ aux années entières $n$. La capitalisation continue $5000e^{\mathrm{0,04}t}$ rapporte un peu plus — au bout d'un an, $5000e^{\mathrm{0,04}}\approx 5204$ dh contre $5000\times \mathrm{1,04}=5200$ dh. C'est ce modèle continu, et lui seul, qu'on étudie ici.

Étape 2 — Vérifier le sens de variation. Le taux $k=\mathrm{0,04}$ est strictement positif, donc, d'après la leçon 4, $C$ est strictement croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ : le capital ne fait qu'augmenter, sans jamais redescendre ni stagner. La dérivée $C^{\mathrm{\prime }}(t)=\mathrm{0,04}C(t)$ reste strictement positive puisque $C(t)>0$ (une exponentielle est toujours positive, leçon 1). Yasmine est rassurée : son épargne croît continûment.

Étape 3 — Calculer une valeur. Combien Yasmine possède-t-elle au bout de $10$ ans ? On calcule

$$C(10)=5000e^{\mathrm{0,04}\times 10}=5000e^{\mathrm{0,4}}\mathrm{.}$$

Avec $e^{\mathrm{0,4}}\approx \mathrm{1,492}$, on obtient $C(10)\approx 5000\times \mathrm{1,492}\approx 7459$ dirhams. En dix ans, le capital a gagné environ $2459$ dirhams sans qu'elle ait rien ajouté.

Étape 4 — Réfuter l'affirmation de Karim. Karim affirme : « Si tu gagnes $2459$ dh en $10$ ans, tu gagnes $\mathrm{245,9}$ dh par an, donc au bout de $20$ ans tu auras $5000+2\times 2459=9918$ dh. » C'est un raisonnement linéaire, et il est faux. Le modèle est exponentiel : on calcule directement

$$C(20)=5000e^{\mathrm{0,04}\times 20}=5000e^{\mathrm{0,8}}\approx 5000\times \mathrm{2,226}\approx 11128\text{ dh}\mathrm{.}$$

C'est nettement plus que les $9918$ dh prévus par Karim. La raison ? Les intérêts de la seconde décennie se calculent sur un capital déjà gonflé : l'accroissement n'est pas constant, il s'accélère. C'est le piège 6, vécu en dirhams.

Conclusion. Une seule hypothèse — la vitesse de croissance proportionnelle au capital — a suffi à déterminer entièrement l'évolution de l'épargne de Yasmine, via la fonction exponentielle. Tu as mobilisé toutes les leçons : la définition $f^{\mathrm{\prime }}=f$ (leçon 1), la positivité, la notation $e^{kt}$ (leçons 2 et 3), la stricte croissance lue dans le signe de la dérivée (leçon 4), et la modélisation $N_0{e}^{kt}$ (leçon 5). En terminale, le logarithme népérien complétera l'outil : il te permettra de répondre à la question inverse — « au bout de combien d'années le capital aura-t-il doublé ? » — en « descendant » la variable de l'exposant. Mais cette porte, tu l'ouvriras avec ce que tu viens d'apprendre ici.

À retenir