Fonctions trigonométriques

Le radian et le cercle trigonométrique

Au collège, tu as mesuré les angles en degrés : un tour complet vaut $360\mathrm{°}$. Ce nombre $360$ n'a rien de naturel — il vient des astronomes babyloniens, qui comptaient en base $60$. Les mathématiciens préfèrent une unité qui parle directement de géométrie : on va mesurer un angle non par un nombre arbitraire, mais par la longueur de l'arc qu'il découpe sur un cercle de rayon $1$.

Sur ce cercle de rayon $1$, la circonférence vaut $2\pi$ (le périmètre d'un cercle est $2\pi r$, et ici $r=1$). On mesure alors un angle par la longueur de l'arc qu'il intercepte, parcouru dans le sens direct depuis $I$. C'est cela, le radian.

Comme un tour complet correspond à un arc de longueur $2\pi$ (toute la circonférence), un tour complet mesure $2\pi$ radians. Tu tiens là la clé de conversion entre les deux unités.

Exemple 1. Convertissons $60\mathrm{°}$ en radians. On multiplie par ${\displaystyle \frac{\pi }{180}}$ : $60\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}={\displaystyle \frac{60\pi }{180}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ rad. Un angle de $60\mathrm{°}$ mesure donc ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ radians.

Exemple 2. Convertissons ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ rad en degrés. On multiplie par ${\displaystyle \frac{180}{\pi }}$ : ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\times {\displaystyle \frac{180}{\pi }}={\displaystyle \frac{3\times 180}{4}}={\displaystyle \frac{540}{4}}=135\mathrm{°}$. L'angle ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ rad vaut $135\mathrm{°}$.

Enrouler la droite réelle sur le cercle

Le radian fait bien plus que renommer les angles : il permet d'associer à chaque nombre réel un point du cercle. Imagine une droite numérique (la droite réelle, avec ses graduations $0,1,2,\dots$ et $-1,-2,\dots$) que l'on enroule autour du cercle trigonométrique, en partant de $I$. Le $0$ de la droite se pose sur $I$. Les nombres positifs s'enroulent dans le sens direct ; les négatifs, dans le sens indirect.

C'est un changement de regard fondamental. Un angle, désormais, c'est un nombre réel. Et comme la circonférence vaut $2\pi$, faire un tour complet de plus ramène au même point : les réels $x$ et $x+2\pi$ ont la même image sur le cercle. De même $x$ et $x-2\pi$, ou $x+4\pi$, etc. C'est cette répétition qui produira la périodicité des fonctions à venir.

Exemple 3. Le réel ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ s'enroule sur un quart de cercle (car ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ est le quart de $2\pi$) : son image est le point $J=(0;1)$, en haut du cercle. Le réel $\pi$ correspond à un demi-tour : son image est le point $(-1;0)$, à gauche. Le réel ${\displaystyle \frac{5\pi }{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi$ a la même image que ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, soit $J$ : un tour complet en plus ne change rien.

Le piège du radian sans unité

En radians, on écrit souvent l'angle sans unité : on dit « l'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ » tout court, ou même « le réel ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ ». C'est volontaire — le radian est une mesure « pure », un simple rapport de longueurs, donc sans dimension. L'erreur classique est alors de mélanger les deux mondes : écrire $\cos (30)$ en pensant à $30\mathrm{°}$ alors que la calculatrice, en mode radian, comprend $30$ radians (soit presque cinq tours !). Quand un nombre apparaît sans le petit symbole °, il est en radians. $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$ et $\cos (30\mathrm{°})$ sont la même chose ; $\cos (30)$, lui, est tout autre chose.

Cosinus et sinus d'un nombre réel

Tu connais le cosinus et le sinus depuis le collège, dans le triangle rectangle : « cosinus = côté adjacent sur hypoténuse ». Cette définition a un défaut majeur : elle n'a de sens que pour un angle aigu, entre $0\mathrm{°}$ et $90\mathrm{°}$. Comment parler du cosinus d'un angle de $200\mathrm{°}$, ou d'un angle négatif ? Le cercle trigonométrique résout tout : il étend ces notions à n'importe quel nombre réel.

Cette définition contient l'ancienne : pour un angle aigu, on retrouve exactement les rapports du triangle rectangle. Mais elle va beaucoup plus loin — elle donne un sens à $\cos x$ et $\sin x$ pour tout réel $x$, positif, négatif, grand ou petit.

Les propriétés qui découlent du cercle

Comme $M$ est sur le cercle de rayon $1$, ses coordonnées sont bornées : l'abscisse et l'ordonnée d'un point du cercle unité sont toujours comprises entre $-1$ et $1$.

De plus, $M=(\cos x;\sin x)$ est à distance $1$ du centre $O$. En écrivant cette distance avec le théorème de Pythagore (la distance de l'origine au point $(a;b)$ vaut $\sqrt{a^2+b^2}$), on obtient la relation la plus importante de toute la trigonométrie.

Exemple 1. Le réel $0$ a pour image le point $I=(1;0)$. Donc $\cos 0=1$ (l'abscisse) et $\sin 0=0$ (l'ordonnée). Vérification avec la relation fondamentale : ${\cos }^{2}0+{\sin }^{2}0=1^2+0^2=1$. Correct.

Exemple 2. On sait que $\cos x={\displaystyle \frac{3}{5}}$ pour un certain réel $x$ dont l'image est dans le quart supérieur du cercle (donc $\sin x>0$). Trouvons $\sin x$. La relation fondamentale donne ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{16}{25}}$. Comme $\sin x>0$, on prend la racine positive : $\sin x={\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Le piège de la notation ${\cos }^{2}x$

L'écriture ${\cos }^{2}x$ est une convention paresseuse mais universelle : elle signifie $(\cos x{)}^2$, c'est-à-dire « on calcule $\cos x$, puis on l'élève au carré ». Elle ne signifie pas $\cos (x^2)$ (où l'on élèverait d'abord $x$ au carré). L'erreur de confondre les deux est fréquente et coûteuse. Retiens l'ordre : ${\cos }^{2}x=(\cos x{)}^2$, le carré porte sur le résultat du cosinus, jamais sur l'angle. Pour $\cos (x^2)$, on écrirait toujours les parenthèses explicitement.

Valeurs remarquables et angles associés

Quelques angles reviennent sans cesse : $0$, ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. Leurs cosinus et sinus se déduisent de figures géométriques simples (triangle équilatéral, carré) et doivent être connus par cœur. C'est l'alphabet de la trigonométrie : sans lui, impossible de lire la suite.

Observe la symétrie : la ligne des sinus est la ligne des cosinus lue à l'envers. C'est normal — quand l'angle augmente de $0$ à ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, le cosinus diminue de $1$ à $0$ pendant que le sinus augmente de $0$ à $1$. Un mémo classique : écris $\sqrt{0},\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}$ pour les angles croissants, divise chaque racine par $2$, et tu obtiens les sinus : ${\displaystyle \frac{\sqrt{0}}{2}}=0$, ${\displaystyle \frac{\sqrt{1}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, ${\displaystyle \frac{\sqrt{4}}{2}}=1$.

Exemple 1. Que vaut $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)+\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$ ? Les deux valent ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, donc la somme vaut ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$.

Les angles associés

Pour les angles au-delà de ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, on ne mémorise rien de neuf : on ramène l'angle à un angle remarquable connu, par symétrie sur le cercle. Les quatre relations suivantes se lisent directement sur la figure.

Exemple 2. Calculons $\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$. On remarque que ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Donc $\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=\cos (\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=-\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. On a ramené un angle inconnu à l'angle remarquable ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

Le piège du signe selon le quadrant

L'erreur la plus répandue est d'oublier le signe. Beaucoup d'élèves écrivent $\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ en se contentant de retrouver la valeur de ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, sans regarder où se trouve le point sur le cercle. Or ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ a son image dans le quart supérieur gauche : son abscisse est négative, donc $\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)<0$. Le réflexe qui sauve : avant d'écrire la valeur, place mentalement le point sur le cercle et regarde le signe de l'abscisse (pour le cosinus) et de l'ordonnée (pour le sinus). À gauche de l'axe vertical, le cosinus est négatif ; en bas de l'axe horizontal, le sinus est négatif.

Les fonctions cosinus et sinus

On a défini $\cos x$ et $\sin x$ pour chaque réel $x$. Cela construit deux véritables fonctions : à chaque réel $x$, on associe le nombre $\cos x$ (fonction cosinus) ou $\sin x$ (fonction sinus). Comme tout réel a une image sur le cercle, ces fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$ tout entier. On peut donc les étudier comme n'importe quelle fonction : domaine, parité, variations, courbe. Mais elles ont une propriété qu'aucune fonction de référence ne possédait : elles se répètent.

Tu as déjà tout pour comprendre pourquoi cosinus et sinus sont périodiques : sur le cercle, $x$ et $x+2\pi$ ont la même image, donc les mêmes coordonnées. Le cosinus et le sinus reprennent donc exactement les mêmes valeurs après un tour complet.

Parité

Les relations des angles associés $\cos (-x)=\cos x$ et $\sin (-x)=-\sin x$ se relisent dans le langage des fonctions : elles décrivent la parité.

Exemple 1. La fonction sinus étant impaire, $\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=-\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. La fonction cosinus étant paire, $\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Allure des courbes

Sur un intervalle d'une période, disons $[0;2\pi ]$, on lit les variations directement sur le cercle. Pour le cosinus (l'abscisse du point qui tourne) : il part de $1$ en $0$, décroît jusqu'à $-1$ en $\pi$, puis remonte à $1$ en $2\pi$. Pour le sinus (l'ordonnée) : il part de $0$, croît jusqu'à $1$ en ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, redescend à $-1$ en ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$, revient à $0$ en $2\pi$.

Exemple 2. Les deux courbes ont exactement la même forme d'onde (une sinusoïde), simplement décalées. En effet, on peut montrer que $\cos x=\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ : la courbe du cosinus est celle du sinus translatée d'un quart de période vers la gauche. C'est pourquoi on parle d'oscillation pour les deux : même hauteur maximale ($1$), même hauteur minimale ($-1$), même période ($2\pi$).

Le piège de la période confondue avec l'amplitude

Deux nombres décrivent une oscillation, et on les confond facilement. La période ($2\pi$ ici) est une mesure horizontale : c'est la longueur au bout de laquelle le motif se répète, lue sur l'axe des $x$. L'amplitude ($1$ ici) est une mesure verticale : c'est la hauteur maximale atteinte au-dessus de l'axe horizontal, lue sur l'axe des $y$. Dire « la période de $\sin$ vaut $1$ » en pensant à l'amplitude est un contresens : la période vaut $2\pi$, l'amplitude vaut $1$. L'une dit à quelle cadence l'onde se répète, l'autre jusqu'où elle monte.

Équations trigonométriques simples

Savoir calculer $\cos x$ à partir de $x$, c'est bien. Mais en pratique, on a souvent le problème inverse : on connaît la valeur d'un cosinus ou d'un sinus, et on cherche les angles $x$ qui la produisent. Sur la roue de Casablanca, par exemple, on connaît la hauteur de Yasmine et on veut savoir à quels instants elle l'atteint. C'est résoudre une équation trigonométrique.

La première chose à vérifier : comme $\cos x$ et $\sin x$ sont toujours entre $-1$ et $1$, une équation comme $\cos x=2$ n'a aucune solution. On ne cherche de solutions que si $-1\le a\le 1$.

Exemple 1. Résolvons $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sur $\mathbb{R}$. On cherche les angles d'abscisse ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. L'angle remarquable est ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ (car $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$). Par symétrie sur l'axe horizontal, $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ convient aussi (le cosinus est pair). Les solutions sont donc $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2k\pi$ et $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2k\pi$, où $k$ parcourt les entiers relatifs. Le terme $2k\pi$ traduit la périodicité : chaque solution se reproduit à chaque tour.

Exemple 2. Résolvons $\sin x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ sur l'intervalle $[0;2\pi ]$. On cherche les angles d'ordonnée ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. L'angle remarquable est ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Le second angle de même ordonnée est son symétrique par rapport à l'axe vertical : $\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$. Sur $[0;2\pi ]$, les deux solutions sont $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ et $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$.

Le piège de l'unique solution

L'erreur typique est de s'arrêter à une solution. Un élève résout $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$, trouve $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ et s'arrête là. Mais une équation trigonométrique a en général deux familles de solutions par tour (les deux points d'intersection de la droite avec le cercle), et chacune se répète à l'infini par périodicité. Le réflexe : trace toujours la droite sur le cercle et compte les points d'intersection (souvent deux), puis ajoute $+2k\pi$ si l'énoncé demande toutes les solutions sur $\mathbb{R}$. Ne donne une seule solution que si l'énoncé restreint à un intervalle qui n'en contient qu'une.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre degrés et radians. Le radian s'écrit souvent sans unité, ce qui invite à le confondre avec un nombre « ordinaire » ou avec des degrés. $\cos (30\mathrm{°})$ vaut ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\approx \mathrm{0,87}$, mais $\cos (30)$ — trente radians, soit presque cinq tours — vaut tout autre chose. Avant tout calcul de cosinus ou sinus, vérifie le mode de ta calculatrice (RAD ou DEG) et l'unité de l'angle. En 1re et après, on travaille presque toujours en radians : un nombre sans le symbole ° est un radian.

Piège 2 : ${\cos }^{2}x$ pris pour $\cos (x^2)$. La notation ${\cos }^{2}x$ signifie $(\cos x{)}^2$ : on applique d'abord le cosinus, puis on élève le résultat au carré. Elle ne signifie jamais $\cos (x^2)$, où l'on élèverait l'angle au carré avant d'appliquer le cosinus. Ces deux quantités sont différentes : pour $x=\pi$, ${\cos }^2\pi =(-1{)}^2=1$ alors que $\cos ({\pi }^2)=\cos (\mathrm{9,87}\dots )$ vaut tout autre chose. Le carré porte sur la sortie du cosinus, pas sur l'angle.

Piège 3 : oublier le signe selon le quadrant. Ramener un angle à une valeur remarquable ne suffit pas : il faut encore son signe. $\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$ a la même valeur absolue que $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, mais comme ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ est dans le demi-plan de gauche, son cosinus est négatif : $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Place toujours le point sur le cercle : à gauche de l'axe vertical, $\cos <0$ ; en dessous de l'axe horizontal, $\sin <0$.

Piège 4 : confondre période et amplitude. La période est une longueur horizontale (au bout de combien le motif se répète : $2\pi$ pour $\sin$ et $\cos$) ; l'amplitude est une hauteur verticale (jusqu'où l'onde monte : $1$ ici). Annoncer « la période de $\cos$ vaut $1$ » confond les deux axes. Demande-toi toujours : parle-t-on d'une distance le long de l'axe des $x$ (période) ou de la hauteur sur l'axe des $y$ (amplitude) ?

Piège 5 : ne donner qu'une solution à une équation. Sur le cercle, une droite coupe le cercle en deux points en général : $\cos x=a$ et $\sin x=a$ ont donc le plus souvent deux familles de solutions par tour, sans compter la répétition tous les $2\pi$. S'arrêter à $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ pour $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ oublie la solution $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ et toutes leurs répétitions. Compte les intersections sur le cercle avant de conclure.

Piège 6 : chercher des solutions quand $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>1$. Comme $\cos x$ et $\sin x$ restent toujours dans $[-1;1]$, une équation comme $\sin x=\mathrm{1,5}$ ou $\cos x=-3$ n'a aucune solution. C'est immédiat dès qu'on se souvient de l'encadrement, mais un élève pressé se lance dans des calculs inutiles. Premier réflexe devant $\cos x=a$ ou $\sin x=a$ : vérifier que $-1\le a\le 1$, sinon conclure « pas de solution » sans plus de travail.

Application concrète

Reviens à la grande roue de la corniche de Casablanca. Yasmine veut modéliser sa hauteur au cours du temps, puis répondre à une question précise : à quels instants se trouve-t-elle exactement à la hauteur de l'axe central de la roue ?

Étape 1 — Poser le modèle. La roue a un rayon de $15$ m, et son axe est à $18$ m du sol. Elle fait un tour complet en $40$ secondes, à vitesse constante. Au départ ($t=0$), Yasmine est tout en bas, à $3$ m du sol. En notant $t$ le temps en secondes, sa position angulaire sur le cercle, mesurée depuis le bas, augmente proportionnellement au temps : un tour ($2\pi$ rad) en $40$ s, donc un angle de ${\displaystyle \frac{2\pi }{40}}t={\displaystyle \frac{\pi }{20}}t$ radians au temps $t$. Sa hauteur $h(t)$ (en mètres) s'écrit alors, en mesurant la montée depuis le bas par un cosinus :

$$h(t)=18-15\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{20}}t\right)$$

Au départ, $\cos 0=1$ donne $h(0)=18-15=3$ m : Yasmine est bien tout en bas. La parenthèse ${\displaystyle \frac{\pi }{20}}t$ est un angle en radians, jamais en degrés — c'est tout l'intérêt du chapitre.

Étape 2 — Lire les valeurs remarquables. Le sommet est atteint quand $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{20}}t\right)=-1$, donnant $h=18+15=33$ m. Cela arrive pour ${\displaystyle \frac{\pi }{20}}t=\pi$, soit $t=20$ s : à mi-parcours du tour, Yasmine est au plus haut, à $33$ m. L'amplitude de l'oscillation vaut $15$ m (le rayon), et sa période vaut $40$ s (un tour) : ne confonds pas la hauteur de l'oscillation et sa durée.

Étape 3 — Poser l'équation. La hauteur de l'axe est $18$ m. On cherche les instants $t$ tels que $h(t)=18$, c'est-à-dire :

$$18-15\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{20}}t\right)=18⟺\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{20}}t\right)=0$$

On est ramené à une équation trigonométrique simple : $\cos (\theta )=0$, en posant $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{20}}t$.

Étape 4 — Résoudre sur le cercle. Les angles dont l'abscisse (le cosinus) est nulle sont ceux situés sur l'axe vertical : $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ (en haut) et $\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ (en bas), puis leurs répétitions tous les $2\pi$. Pour le premier tour ($0\le t\le 40$, soit $0\le \theta \le 2\pi$), on garde $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ et $\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$.

Étape 5 — Revenir au temps. On remonte de $\theta$ vers $t$ par $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{20}}t$, donc $t={\displaystyle \frac{20}{\pi }}\theta$. Pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : $t={\displaystyle \frac{20}{\pi }}\times {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=10$ s. Pour $\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ : $t={\displaystyle \frac{20}{\pi }}\times {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}=30$ s. Yasmine passe donc à la hauteur de l'axe ($18$ m) aux instants $t=10$ s (en montant) et $t=30$ s (en descendant), puis tous les $40$ s ensuite.

Conclusion. Une oscillation régulière que les fonctions du chapitre précédent ne pouvaient pas décrire est devenue une formule exacte : $h(t)=18-15\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{20}}t\right)$. Le radian a transformé le temps en angle, le cosinus a décrit la montée et la descente, la périodicité a tout fait se répéter à chaque tour, et une simple équation trigonométrique a localisé les instants cherchés. En Terminale, tu dériveras cette fonction pour obtenir la vitesse de Yasmine à chaque instant ; en classes prépa, le même cosinus, écrit avec des nombres complexes, deviendra le langage de toutes les ondes — son, lumière, courant électrique. Le point qui tourne sur le cercle est le début de cette histoire.

À retenir