Fonctions trigonométriques — exercices corrigés

Le cercle trigonométrique a pour rayon $1$, donc sa circonférence vaut $2\pi \times 1=2\pi$. Comme le radian mesure un angle par la longueur de l'arc intercepté, un tour complet (toute la circonférence) mesure $2\pi$ rad.

Si tu as répondu D, tu as donné la mesure en degrés ($360\mathrm{°}$), pas en radians. Si tu as répondu A, c'est un demi-tour : $\pi$ rad $=180\mathrm{°}$. Mémo : un tour $=2\pi$ rad $=360\mathrm{°}$.

On multiplie les degrés par ${\displaystyle \frac{\pi }{180}}$ : $180\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}=\pi$ rad. Autrement dit, $180\mathrm{°}$ correspond à un demi-tour, soit $\pi$ rad.

C'est la conversion de référence à connaître par cœur : $180\mathrm{°}=\pi$ rad. Toutes les autres s'en déduisent ($90\mathrm{°}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, $60\mathrm{°}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, etc.).

Par définition, le point $M$ image de $x$ a pour coordonnées $(\cos x;\sin x)$ : le cosinus est l'abscisse (coordonnée horizontale), le sinus est l'ordonnée (coordonnée verticale).

Si tu as répondu A, tu as inversé : c'est le sinus qui est l'ordonnée. Si tu as répondu C, sache que la distance de $M$ à $O$ vaut toujours $1$ (le rayon), ce n'est pas le cosinus. Mémo : Cosinus → Côté horizontal (abscisse).

C'est exactement la définition : si $M$ est l'image de $x$, alors $M=(\cos x;\sin x)$. Le sinus est l'ordonnée (coordonnée verticale), le cosinus l'abscisse (coordonnée horizontale).

Une façon de retenir : le sinus « monte » avec le point quand il s'élève sur le cercle, comme l'axe vertical. Le cosinus, lui, mesure le déplacement horizontal.

Le réel $0$ correspond au point de départ $I=(1;0)$. Le cosinus étant l'abscisse de ce point, $\cos 0=1$.

Au passage, $\sin 0=0$ (l'ordonnée de $I$). Et la relation fondamentale se vérifie : ${\cos }^{2}0+{\sin }^{2}0=1^2+0^2=1$. Ce sont les premières valeurs remarquables à connaître.

L'image de ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ est le point $J=(0;1)$, tout en haut du cercle. Le sinus étant l'ordonnée, $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=1$.

Au passage, $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=0$ (l'abscisse de $J$). C'est la valeur maximale du sinus : il ne peut pas dépasser $1$, puisque l'ordonnée d'un point du cercle de rayon $1$ reste entre $-1$ et $1$.

Le point image $M$ est sur le cercle de rayon $1$ : son abscisse (donc $\cos x$) est toujours comprise entre $-1$ et $1$. On a donc $-1\le \cos x\le 1$ pour tout réel $x$.

Si tu as répondu A, tu as oublié que le cosinus peut être négatif (par exemple $\cos \pi =-1$, à gauche du cercle). Le même encadrement vaut pour le sinus : $-1\le \sin x\le 1$.

Dans le tableau des valeurs remarquables, $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Attention à ne pas confondre avec $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ (réponse C) : pour l'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, le cosinus est le plus petit des deux. Mémo : quand l'angle augmente de $0$ à ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, le cosinus diminue de $1$ vers $0$, donc à ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ (proche de ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$) il est déjà petit : ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Dans le tableau des valeurs remarquables, $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Mémo : ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ est un petit angle, son sinus (qui mesure la « montée ») est donc petit : ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Ne confonds pas avec $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ (réponse A), où le cosinus est grand car l'angle est proche de l'horizontale.

Le point $M=(\cos x;\sin x)$ est à distance $1$ du centre. Le théorème de Pythagore donne ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, pour tout réel $x$.

Si tu as répondu A, attention : c'est la somme des carrés qui vaut $1$, pas la somme tout court. Par exemple en ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ : $\cos +\sin ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\mathrm{\ne }1$, mais ${\cos }^2+{\sin }^2={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=1$. La relation fondamentale est l'outil n°1 pour passer du cosinus au sinus.

C'est vrai. Sur le cercle, les images de $x$ et de $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe horizontal : elles ont donc la même abscisse, d'où $\cos (-x)=\cos x$. Le cosinus est pair, et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Attention au contraste avec le sinus, qui est impair : $\sin (-x)=-\sin x$ (les ordonnées sont opposées). Ne confonds pas les deux parités.

Une fonction est impaire quand $f(-x)=-f(x)$. Pour le sinus : les images de $x$ et $-x$ sur le cercle sont symétriques par rapport à l'axe horizontal, donc leurs ordonnées sont opposées : $\sin (-x)=-\sin x$.

Si tu as répondu A, tu as décrit une fonction paire — c'est le cas du cosinus, pas du sinus. La courbe du sinus est symétrique par rapport à l'origine (et non par rapport à l'axe des ordonnées).

Sur le cercle, $x$ et $x+2\pi$ ont la même image (un tour complet en plus), donc les mêmes coordonnées. Les fonctions cosinus et sinus reprennent donc les mêmes valeurs tous les $2\pi$ : $\cos (x+2\pi )=\cos x$ et $\sin (x+2\pi )=\sin x$. Leur période est $2\pi$.

Si tu as répondu D, tu as confondu période et amplitude : l'amplitude (la hauteur maximale) vaut $1$, mais la période (la longueur d'un motif) vaut $2\pi$.

L'image de $\pi$ (un demi-tour depuis $I$) est le point $(-1;0)$, à gauche. Le cosinus est l'abscisse de ce point : $\cos \pi =-1$.

C'est la valeur minimale du cosinus : à gauche de l'axe vertical, le cosinus est négatif, et il atteint son plus bas, $-1$, exactement en $\pi$. Au passage, $\sin \pi =0$ (l'ordonnée).

C'est vrai. À tout réel $x$ correspond une image sur le cercle (on enroule la droite réelle autour du cercle), donc $\cos x$ et $\sin x$ existent pour tout $x$. Le domaine de définition est $\mathbb{R}$.

Contraste avec d'autres fonctions de référence : $\sqrt{x}$ n'est définie que pour $x\ge 0$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ pas en $0$. Les fonctions trigonométriques, elles, n'ont aucune valeur interdite.

Pour tout réel $x$, on a $-1\le \cos x\le 1$. Or $2>1$ : aucune valeur de $\cos x$ ne peut valoir $2$. L'équation $\cos x=2$ n'a donc aucune solution.

Premier réflexe devant $\cos x=a$ ou $\sin x=a$ : vérifier que $-1\le a\le 1$. Si ce n'est pas le cas, on conclut « pas de solution » immédiatement, sans calcul.

La notation ${\cos }^{2}x$ est une convention : elle signifie $(\cos x{)}^2$, c'est-à-dire « on calcule $\cos x$, puis on l'élève au carré ». Le carré porte sur le résultat du cosinus.

Si tu as répondu A, attention : $\cos (x^2)$ élèverait l'angle au carré avant d'appliquer le cosinus — c'est tout autre chose. Pour $x=\pi$ : ${\cos }^2\pi =(-1{)}^2=1$, alors que $\cos ({\pi }^2)$ vaut une valeur sans rapport.

Par définition, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. C'est ce choix qui rend tout simple : sa circonférence vaut $2\pi$, et la longueur d'un arc égale directement la mesure de l'angle en radians.

C'est aussi pour cela que $\cos x$ et $\sin x$ (les coordonnées d'un point du cercle) restent entre $-1$ et $1$ : un point à distance $1$ du centre ne peut pas avoir de coordonnée plus grande que $1$ en valeur absolue.

C'est faux. Le sens direct (ou positif) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. C'est une convention universelle en mathématiques : les angles positifs se mesurent en tournant vers la gauche depuis le point $I=(1;0)$.

Les nombres réels positifs s'enroulent donc dans le sens inverse des aiguilles, les négatifs dans le sens des aiguilles. Salma se trompe souvent ici : retiens « positif = anti-horaire ».

En trigonométrie de 1re, les angles sont en radians, presque toujours. Une calculatrice ne « devine » pas l'unité : elle applique le mode dans lequel elle est réglée. Tant qu'elle est en DEG, elle traite tous les nombres comme des degrés.

Le réflexe à prendre dès qu'un résultat trigonométrique paraît absurde : vérifier le mode (RAD/DEG) en haut de l'écran. Ici, le repère qui aurait dû alerter Yasmine est que $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$ est une valeur remarquable connue, ${\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$ — très loin de $\mathrm{0,9986}$.