Produit scalaire

Définir le produit scalaire

Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre réel — un scalaire, d'où son nom. Ce n'est pas un vecteur : le résultat n'a ni direction ni sens, c'est juste un nombre, qui peut être positif, négatif ou nul. Ce nombre encode à la fois les longueurs des deux vecteurs et l'angle qu'ils forment. Reprends les deux marins d'Essaouira : plus leurs cordes pointent dans la même direction, plus le produit scalaire est grand ; quand elles sont perpendiculaires, il s'annule ; quand elles tirent à l'opposé, il devient négatif.

Le signe du produit scalaire est entièrement gouverné par le cosinus de l'angle, puisque les deux normes sont toujours positives. Si $\theta$ est aigu, $\cos \theta >0$ et le produit scalaire est positif. Si $\theta$ est obtus, $\cos \theta <0$ et le produit scalaire est négatif. Si $\theta =90\mathrm{°}$, $\cos 90\mathrm{°}=0$ et le produit scalaire est nul — c'est le cœur de la leçon 3.

Exemple 1. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=4$, $\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }=5$ et l'angle entre eux vaut $60\mathrm{°}$. Comme $\cos 60\mathrm{°}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $\vec{u}\cdot \vec{v}=4\times 5\times \cos 60\mathrm{°}=4\times 5\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=10.$

Exemple 2. Avec les mêmes normes mais un angle de $120\mathrm{°}$, et $\cos 120\mathrm{°}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $\vec{u}\cdot \vec{v}=4\times 5\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-10.$ Le même couple de longueurs donne un produit scalaire positif ou négatif selon que l'angle est aigu ou obtus. C'est l'angle qui décide.

Le carré scalaire et la norme

Que se passe-t-il quand on fait le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même ? L'angle est nul, $\cos 0=1$, et on retrouve le carré de la norme.

Cette identité est le pont entre produit scalaire et longueur : connaître $\vec{u}\cdot \vec{u}$, c'est connaître $\mathrm{\parallel }\vec{u}{\mathrm{\parallel }}^2$. On s'en servira sans cesse pour développer des expressions et démontrer Al-Kashi.

Exemple 3. Si $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=7$, alors $\vec{u}\cdot \vec{u}=7^2=49$.

Le piège du signe du cosinus

Salma calcule $\vec{u}\cdot \vec{v}$ avec $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=3$, $\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }=6$ et un angle de $150\mathrm{°}$, et elle écrit $3\times 6\times \cos 150\mathrm{°}=18\times \mathrm{0,87}\approx \mathrm{15,6}$. Elle a pris le cosinus comme s'il était positif. Mais $150\mathrm{°}$ est un angle obtus : son cosinus est négatif, $\cos 150\mathrm{°}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\approx -\mathrm{0,87}$. Le bon résultat est donc $\approx -\mathrm{15,6}$. Quand l'angle dépasse $90\mathrm{°}$, le cosinus passe sous zéro et entraîne le produit scalaire avec lui. Avant de calculer, demande-toi toujours : l'angle est-il aigu (signe $+$) ou obtus (signe $-$) ?

Expression analytique dans un repère orthonormé

La définition par l'angle est lumineuse mais peu pratique pour calculer : mesurer un angle est pénible. Heureusement, dès qu'on se place dans un repère orthonormé — axes perpendiculaires, même unité sur chacun — le produit scalaire se lit directement sur les coordonnées, sans aucun angle. C'est la formule que tu utiliseras le plus souvent.

On multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, et on additionne les deux produits. C'est tout. Aucune racine, aucun cosinus : juste deux multiplications et une addition. Cette formule et la définition par l'angle donnent toujours le même nombre — ce sont deux visages d'un même objet.

Exemple 1. Soit $\vec{u}(3;2)$ et $\vec{v}(4;1)$. Alors $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\times 4+2\times 1=12+2=14.$

Exemple 2. Soit $\vec{u}(5;-2)$ et $\vec{v}(2;3)$. Attention aux signes : $\vec{u}\cdot \vec{v}=5\times 2+(-2)\times 3=10-6=4.$

Retrouver la norme avec les coordonnées

La formule analytique redonne au passage la norme vue en Seconde. Puisque $\vec{u}\cdot \vec{u}=\mathrm{\parallel }\vec{u}{\mathrm{\parallel }}^2$ et que $\vec{u}\cdot \vec{u}=x\times x+y\times y=x^2+y^2$, on retombe sur Pythagore.

Exemple 3. Pour $\vec{u}(3;4)$ : $\vec{u}\cdot \vec{u}=3^2+4^2=9+16=25$, donc $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=\sqrt{25}=5$. La norme du chapitre de Seconde et le carré scalaire sont la même chose.

Le piège des coordonnées multipliées en croix

Karim calcule $\vec{u}\cdot \vec{v}$ avec $\vec{u}(3;2)$ et $\vec{v}(4;1)$, et il écrit $3\times 1+2\times 4=3+8=11$. Il a croisé les coordonnées : abscisse de l'un avec ordonnée de l'autre. C'est exactement le calcul du déterminant (au signe près), pas du produit scalaire. Le produit scalaire associe abscisse avec abscisse, ordonnée avec ordonnée : $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$, jamais $x{y}^{\mathrm{\prime }}+y{x}^{\mathrm{\prime }}$. Le déterminant croise et soustrait ($x{y}^{\mathrm{\prime }}-x^{\mathrm{\prime }}y$) ; le produit scalaire aligne et additionne. Ne confonds pas les deux : l'un teste la colinéarité, l'autre l'orthogonalité.

Produit scalaire et orthogonalité

Voici la propriété qui fait du produit scalaire un outil de géométrie décisif. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux — c'est-à-dire perpendiculaires — exactement quand l'angle entre eux vaut $90\mathrm{°}$. Or $\cos 90\mathrm{°}=0$ ; le produit scalaire s'annule donc précisément dans ce cas. On a transformé une question d'angle droit en une simple égalité à zéro.

C'est l'analogue, pour la perpendicularité, de ce qu'était le déterminant pour le parallélisme en Seconde : un nombre dont l'annulation tranche la question. Pour tester si deux droites sont perpendiculaires, on prend un vecteur directeur de chacune et on calcule leur produit scalaire ; s'il est nul, les droites sont perpendiculaires.

Exemple 1. Soit $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(3;-2)$. Leur produit scalaire : $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\times 3+3\times (-2)=6-6=0.$ Le produit scalaire est nul : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Les droites qui les portent se coupent à angle droit.

Exemple 2. Soit $\vec{u}(1;4)$ et $\vec{v}(2;1)$. Alors $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\times 2+4\times 1=2+4=6\mathrm{\ne }0$. Ils ne sont pas orthogonaux.

Trouver un vecteur orthogonal à un vecteur donné

À partir d'un vecteur $\vec{u}(x;y)$, il existe une recette express pour fabriquer un vecteur orthogonal : on échange les coordonnées et on change un signe.

Exemple 3. Un vecteur orthogonal à $\vec{u}(3;5)$ est $\vec{v}(-5;3)$. Vérifions : $3\times (-5)+5\times 3=-15+15=0$. Parfait.

Le piège de l'orthogonalité confondue avec la colinéarité

Salma veut montrer que deux vecteurs sont perpendiculaires et calcule leur déterminant $x{y}^{\mathrm{\prime }}-x^{\mathrm{\prime }}y$, espérant le trouver nul. Erreur de critère. Le déterminant nul signifie colinéaire (même direction, donc parallèle) — c'est tout le contraire de perpendiculaire. Pour l'orthogonalité, c'est le produit scalaire $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$ qui doit s'annuler. Deux outils, deux questions opposées : déterminant nul $\Rightarrow$ parallèles ; produit scalaire nul $\Rightarrow$ perpendiculaires. Garde-les bien séparés dans ta tête.

Le projeté orthogonal

Reviens aux marins d'Essaouira. Le produit scalaire mesurait la « part utile » d'une force le long d'une direction. Cette part utile a un nom géométrique précis : le projeté orthogonal. Projeter un vecteur sur une droite, c'est laisser tomber chacun de ses points perpendiculairement sur cette droite, comme une ombre portée par un soleil rasant exactement vertical.

Le projeté orthogonal donne une seconde lecture du produit scalaire, très intuitive. Plaçons $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ à partir d'un même point $O$. Notons $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$. Alors le produit scalaire $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ ne dépend que de la « part de $\overrightarrow{OB}$ couchée sur $(OA)$ », c'est-à-dire de $\overrightarrow{OH}$.

Exemple 1. Si $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ pointent dans le même sens, $H$ tombe « devant » $O$, $\overrightarrow{OH}$ est dans le sens de $\overrightarrow{OA}$, et le produit scalaire est positif. Concrètement, un marin qui tire presque dans l'axe : sa projection est longue et bien orientée, son apport est grand.

Exemple 2. Si l'angle entre $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ est obtus, le projeté $H$ tombe « derrière » $O$, $\overrightarrow{OH}$ pointe à l'opposé de $\overrightarrow{OA}$, et le produit scalaire devient négatif. Le marin tire vers l'arrière : il freine au lieu d'aider.

Le cas où la projection est nulle

Quand $\overrightarrow{OB}$ est perpendiculaire à $(OA)$, le projeté $H$ de $B$ tombe exactement sur $O$ : la projection $\overrightarrow{OH}$ est le vecteur nul, et le produit scalaire vaut zéro. On retrouve la caractérisation de l'orthogonalité de la leçon 3, vue cette fois par les projections : aucune part de $\overrightarrow{OB}$ ne se couche sur $(OA)$, donc rien à compter.

Le piège de la projection mal orientée

Karim projette $B$ sur $(OA)$ et calcule le produit scalaire comme $OA\times OH$ en prenant toujours des longueurs positives, sans regarder le sens. Quand l'angle est obtus, il oublie le signe et trouve un produit scalaire positif là où il devrait être négatif. La projection n'est pas une simple longueur : c'est une mesure algébrique, qui porte un signe. Si $H$ est du côté de $A$ par rapport à $O$, le signe est $+$ ; s'il est du côté opposé, le signe est $-$. La projection « regarde » dans quel sens elle pointe.

Applications : théorème d'Al-Kashi et formules

Le produit scalaire obéit aux mêmes règles de calcul que les nombres : on peut le développer, factoriser, distribuer. Cette algèbre permet de démontrer une des plus belles formules de la géométrie du triangle, le théorème d'Al-Kashi, qui généralise Pythagore à un triangle quelconque — du nom du mathématicien persan du XVᵉ siècle.

Propriété (règles de calcul). Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et tout réel $k$ : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}\text{(sym}\acute{\text{e}}\text{trie)},\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}\text{(distributivit}\acute{\text{e}}\text{)},$ $(k\vec{u})\cdot \vec{v}=k(\vec{u}\cdot \vec{v})\mathrm{.}$

Ces règles autorisent les identités remarquables vectorielles, qui découlent de $\vec{u}\cdot \vec{u}=\mathrm{\parallel }\vec{u}{\mathrm{\parallel }}^2$ :

Propriété (identités remarquables). $\mathrm{\parallel }\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2=\mathrm{\parallel }\vec{u}{\mathrm{\parallel }}^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\mathrm{\parallel }\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2,\mathrm{\parallel }\vec{u}-\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2=\mathrm{\parallel }\vec{u}{\mathrm{\parallel }}^2-2\vec{u}\cdot \vec{v}+\mathrm{\parallel }\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2\mathrm{.}$

Exemple 1. Si $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=3$, $\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }=4$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}=5$, alors $\mathrm{\parallel }\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2=3^2+2\times 5+4^2=9+10+16=35,\text{donc}\mathrm{\parallel }\vec{u}+\vec{v}\mathrm{\parallel }=\sqrt{35}\mathrm{.}$

Le théorème d'Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$, notons classiquement $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ les longueurs des côtés. Le théorème d'Al-Kashi relie un côté aux deux autres et à l'angle qu'ils forment.

C'est Pythagore augmenté d'un terme correctif. Si l'angle $\widehat{A}$ est droit, $\cos 90\mathrm{°}=0$, le terme correctif disparaît et il reste $a^2=b^2+c^2$ : Pythagore exactement. Le terme $-2bc\cos \widehat{A}$ mesure de combien le triangle s'écarte du cas rectangle. La démonstration tient en une ligne avec le produit scalaire : $a^2=\mathrm{\parallel }\overrightarrow{BC}{\mathrm{\parallel }}^2=\mathrm{\parallel }\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{\mathrm{\parallel }}^2=\mathrm{\parallel }\overrightarrow{AC}{\mathrm{\parallel }}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\mathrm{\parallel }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\parallel }}^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{A}$.

Exemple 2. Dans un triangle $ABC$ avec $b=CA=5$, $c=AB=8$ et $\widehat{A}=60\mathrm{°}$. Alors, avec $\cos 60\mathrm{°}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $a^2=5^2+8^2-2\times 5\times 8\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=25+64-40=49,\text{donc}a=BC=7.$

Calculer un angle avec Al-Kashi

La formule se retourne pour trouver un angle à partir des trois côtés — utile quand on connaît toutes les longueurs mais aucun angle.

Exemple 3. Dans un triangle de côtés $a=7$, $b=5$, $c=8$ : $\cos \widehat{A}={\displaystyle \frac{25+64-49}{2\times 5\times 8}}={\displaystyle \frac{40}{80}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $\widehat{A}=60\mathrm{°}$. On retrouve l'exemple précédent dans l'autre sens.

Le piège du signe dans Al-Kashi

Karim applique Al-Kashi et écrit $a^2=b^2+c^2+2bc\cos \widehat{A}$, avec un plus devant le terme correctif. Faux : le signe est un moins. La formule est $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{A}$. Avec un plus, un angle droit donnerait $a^2=b^2+c^2+0$, certes correct par hasard, mais un angle aigu gonflerait $a^2$ au lieu de le réduire — absurde, car un angle aigu en $A$ rapproche $B$ et $C$, donc raccourcit $a$. Mémorise : Al-Kashi soustrait le terme en cosinus. Le plus n'apparaît que si l'angle est obtus, car alors $\cos \widehat{A}<0$ et $-2bc\cos \widehat{A}$ devient positif tout seul.

Pièges classiques

1. Croire que le produit scalaire est un vecteur. Le résultat de $\vec{u}\cdot \vec{v}$ est un nombre réel, un scalaire : pas de flèche, pas de direction. Écrire « $\vec{u}\cdot \vec{v}$ a pour coordonnées… » n'a aucun sens. Un produit scalaire est un nombre qui peut être positif, négatif ou nul, point final. La flèche disparaît dans l'opération.

2. Oublier que le repère doit être orthonormé pour $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$. La formule analytique $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$ n'est valable que dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité). Dans un repère quelconque, elle est fausse. Au lycée, les repères sont presque toujours orthonormés, mais la condition reste nécessaire : c'est elle qui garantit l'égalité avec $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }\cos \theta$.

3. Confondre produit scalaire et déterminant. Le produit scalaire aligne et additionne : $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$, et son annulation signifie orthogonal. Le déterminant croise et soustrait : $x{y}^{\mathrm{\prime }}-x^{\mathrm{\prime }}y$, et son annulation signifie colinéaire. Deux nombres, deux questions opposées : perpendiculaire d'un côté, parallèle de l'autre. Si tu calcules $x{y}^{\mathrm{\prime }}$ et $x^{\mathrm{\prime }}y$, tu fais le déterminant, pas le produit scalaire.

4. Se tromper de signe avec le cosinus d'un angle obtus. Pour un angle entre $90\mathrm{°}$ et $180\mathrm{°}$, le cosinus est négatif, donc le produit scalaire $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }\cos \theta$ est négatif. Calculer $\cos 120\mathrm{°}$ comme $+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ au lieu de $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ est l'erreur classique. Vérifie toujours : l'angle est-il aigu (cosinus $+$) ou obtus (cosinus $-$) ?

5. Mettre un $+$ dans Al-Kashi. La formule correcte est $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{A}$, avec un moins. Le terme correctif est soustrait. Mettre un plus contredit le fait qu'Al-Kashi généralise Pythagore (angle droit $\Rightarrow$ cosinus nul $\Rightarrow$ le terme s'efface). Le terme devient positif tout seul si l'angle est obtus, sans qu'on touche au signe de la formule.

6. Oublier le double produit dans l'identité remarquable. $\mathrm{\parallel }\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2$ ne vaut pas $\mathrm{\parallel }\vec{u}{\mathrm{\parallel }}^2+\mathrm{\parallel }\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2$ en général : il manque le double produit scalaire $2\vec{u}\cdot \vec{v}$. L'égalité $\mathrm{\parallel }\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2=\mathrm{\parallel }\vec{u}{\mathrm{\parallel }}^2+\mathrm{\parallel }\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2$ n'est vraie que lorsque $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux (le double produit s'annule). C'est le théorème de Pythagore vectoriel — un cas particulier, pas la règle générale.

Application concrète

Yasmine étudie le plan d'un futur skatepark à Agadir, modélisé dans un repère orthonormé d'unité $10$ mètres. Trois sommets d'une plateforme triangulaire sont placés en $A(1;1)$, $B(5;2)$ et $C(2;5)$. Les ingénieurs veulent savoir si l'angle en $A$ est droit (pour poser une rampe perpendiculaire), connaître la longueur du troisième côté, et vérifier une affirmation de Karim sur le triangle.

Étape 1 — Calculer les vecteurs des côtés issus de $A$ (coordonnées). Les deux côtés partant de $A$ sont $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}5-1\\ 2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}2-1\\ 5-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)\mathrm{.}$

Étape 2 — L'angle en $A$ est-il droit ? (produit scalaire et orthogonalité). On calcule le produit scalaire des deux côtés : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times 1+1\times 4=4+4=8\mathrm{\ne }0.$ Le produit scalaire n'est pas nul : l'angle en $A$ n'est pas droit. La rampe perpendiculaire ne pourra pas s'appuyer sur ces deux côtés tels quels.

Étape 3 — Mesurer les côtés (norme). On calcule les longueurs des trois côtés. Les deux issus de $A$ d'abord : $AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17},AC=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}\mathrm{.}$ Le triangle est donc isocèle en $A$. Pour le troisième côté, $\overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}2-5\\ 5-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\end{array}\right)$, d'où $BC=\sqrt{(-3{)}^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\mathrm{.}$

Étape 4 — Retrouver l'angle en $A$ par Al-Kashi (cohérence). Avec $a=BC$, $b=AC=\sqrt{17}$, $c=AB=\sqrt{17}$, on a $a^2=18$, $b^2=17$, $c^2=17$. Donc $\cos \widehat{A}={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}={\displaystyle \frac{17+17-18}{2\times 17}}={\displaystyle \frac{16}{34}}={\displaystyle \frac{8}{17}}\mathrm{.}$ Comme $\cos \widehat{A}={\displaystyle \frac{8}{17}}>0$, l'angle $\widehat{A}$ est aigu — cohérent avec le produit scalaire positif trouvé à l'étape 2 ($\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\mathrm{\parallel }\overrightarrow{AB}\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }\overrightarrow{AC}\mathrm{\parallel }\cos \widehat{A}=\sqrt{17}\times \sqrt{17}\times {\displaystyle \frac{8}{17}}=17\times {\displaystyle \frac{8}{17}}=8$, exactement le $8$ calculé directement).

Étape 5 — Réfuter Karim (raisonnement). Karim affirme : « Puisque $AB=AC$, le triangle est isocèle, donc l'angle en $A$ est forcément droit. » Faux. Un triangle isocèle a deux côtés égaux, mais cela ne dit rien sur l'angle entre eux : il peut être aigu, droit ou obtus. Ici les calculs le prouvent : $AB=AC=\sqrt{17}$ (isocèle, vrai) mais $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=8\mathrm{\ne }0$ (angle non droit). Isocèle et rectangle sont deux propriétés indépendantes ; l'une n'entraîne pas l'autre.

Conclusion. En un seul triangle de skatepark, Yasmine a mobilisé tout le chapitre : coordonnées des côtés, produit scalaire pour tester l'angle droit, norme pour les longueurs, et Al-Kashi pour l'angle exact — le tout en parfaite cohérence interne, et de quoi réfuter une intuition fausse de Karim. Tout s'est joué par le calcul, sans rapporteur ni équerre. C'est la marque du produit scalaire : il convertit les angles et l'orthogonalité en arithmétique. En classes préparatoires, ce même produit scalaire se généralisera aux espaces de dimension quelconque et fondera la notion d'espace euclidien, où « angle » et « perpendiculaire » garderont un sens bien au-delà du plan.

À retenir