Vecteurs du plan et coordonnées

Notion de vecteur et translation

Un vecteur n'est pas un point. Un point dit où l'on est ; un vecteur dit comment on se déplace. Reprends Yasmine qui va « trois rues à l'est, deux rues au nord » : ce déplacement a une direction (la droite est-nord-est qu'il suit), un sens (vers le nord-est, pas vers le sud-ouest) et une longueur (l'amplitude du glissement). Trois informations, un seul objet. C'est exactement le vecteur de translation que tu manipulais en 4e, vu maintenant comme une grandeur à part entière.

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ se lit comme « le déplacement qui amène $A$ sur $B$ ». La translation qui transforme $A$ en $B$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ : translation et vecteur sont les deux faces d'une même idée.

Exemple 1. Sur le quadrillage des rues, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ « 3 cases vers l'est, 2 cases vers le nord » a pour direction la droite qui monte vers le nord-est, pour sens celui qui va de $A$ vers $B$, et pour longueur celle du segment $[AB]$.

Exemple 2. Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ a la même direction et la même longueur que $\overrightarrow{AB}$, mais le sens opposé : il ramène $B$ sur $A$. On dit que $\overrightarrow{BA}$ est l'opposé de $\overrightarrow{AB}$, et on écrit $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

Égalité de deux vecteurs et parallélogramme

Deux vecteurs sont égaux dès qu'ils encodent le même déplacement, même posés à des endroits différents du plan. C'est ce qui distingue le vecteur du segment : peu importe où on le dessine, seul compte le glissement qu'il décrit.

Cette égalité a une traduction géométrique très utile, que tu reconnaîtras de la 4e :

Fais attention à l'ordre des lettres : c'est bien $ABDC$, et non $ABCD$. La raison est simple : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ signifie que $[AB]$ et $[CD]$ sont parallèles, de même longueur et de même sens. Les côtés parallèles du parallélogramme sont donc $[AB]$ et $[CD]$, ce qui impose de tourner $A\to B\to D\to C$ pour faire le tour de la figure.

Exemple 3. Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ avec $A$, $B$, $C$, $D$ distincts et non alignés, alors $ABDC$ est un parallélogramme. Réciproquement, si tu sais que $ABDC$ est un parallélogramme, tu peux affirmer $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ sans aucun calcul.

Le vecteur nul

Que se passe-t-il quand l'origine et l'extrémité sont confondues ? Le déplacement est inexistant.

Le vecteur nul est l'analogue du « ne pas bouger ». Il jouera le rôle du zéro dans les calculs sur les vecteurs.

Le piège de la confusion point / vecteur

Salma écrit « $A=\overrightarrow{AB}$ » ou additionne un point et un vecteur comme s'ils étaient de même nature. C'est une faute conceptuelle, pas un simple lapsus. Un point est une position ; un vecteur est un déplacement. On ne les additionne pas entre eux, on ne les confond pas dans une égalité. En revanche, partir d'un point $A$ et appliquer un déplacement $\overrightarrow{AB}$ donne bien un nouveau point $B$ : c'est la seule façon dont points et vecteurs dialoguent.

Coordonnées d'un vecteur

Décrire un vecteur par sa direction, son sens et sa longueur reste qualitatif. Pour calculer, il faut des nombres. On se place donc dans un repère $(O;I,J)$ du plan — le quadrillage des rues de Casablanca, avec un origine $O$ et deux axes gradués. Chaque vecteur se lit alors par deux nombres : son déplacement horizontal et son déplacement vertical.

Les coordonnées d'un vecteur ne dépendent que du déplacement, pas de l'endroit où on le dessine. C'est la traduction chiffrée de l'égalité des vecteurs : deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

Le résultat central de cette leçon relie les coordonnées d'un vecteur à celles de ses deux points :

L'ordre des soustractions n'est pas négociable : c'est extrémité moins origine, donc $x_B-x_A$ et non $x_A-x_B$. Le vecteur part de $A$ (l'origine) et arrive en $B$ (l'extrémité) ; ses coordonnées mesurent « combien il faut avancer pour aller de $A$ à $B$ ».

Exemple 1. Soit $A(1;2)$ et $B(4;4)$. Alors $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}4-1\\ 4-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\mathrm{.}$ Yasmine retrouve bien son « 3 rues à l'est, 2 rues au nord ».

Exemple 2. Avec les mêmes points, le vecteur opposé $\overrightarrow{BA}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{BA}\left(\begin{array}{c}1-4\\ 2-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\end{array}\right)\mathrm{.}$ On vérifie l'opposition : chaque coordonnée de $\overrightarrow{BA}$ est l'opposée de celle de $\overrightarrow{AB}$.

Égalité de vecteurs par les coordonnées

C'est l'outil de calcul pour les parallélogrammes. Si tu veux trouver le quatrième sommet $D$ d'un parallélogramme $ABDC$, tu traduis $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ en deux équations sur les coordonnées.

Exemple 3. Soit $A(1;1)$, $B(4;2)$, $C(2;3)$. Trouvons $D(x;y)$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme, c'est-à-dire $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{CD}\left(\begin{array}{c}x-2\\ y-3\end{array}\right)\mathrm{.}$ L'égalité donne $x-2=3$ et $y-3=1$, soit $x=5$ et $y=4$. Donc $D(5;4)$.

Le piège de l'origine soustraite à l'envers

Karim calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ en faisant $x_A-x_B$ au lieu de $x_B-x_A$. Le résultat qu'il obtient est exactement l'opposé du bon : il a en fait calculé $\overrightarrow{BA}$. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. La parade : récite mentalement « extrémité moins origine », et l'extrémité, c'est toujours la deuxième lettre. $\overrightarrow{AB}$, l'extrémité est $B$, donc on commence par $x_B$.

Somme de vecteurs et produit par un réel

Enchaîner deux déplacements, c'est additionner deux vecteurs. Si Yasmine va d'abord de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$, son déplacement total l'amène de $A$ à $C$. Cette évidence porte un nom et structure tout le calcul vectoriel.

La clé de lecture : à gauche, le point d'arrivée du premier vecteur ($B$) est le point de départ du second. Ces deux $B$ « se simplifient », et il reste le déplacement direct de $A$ à $C$. La relation de Chasles permet d'insérer ou de supprimer un point intermédiaire à volonté.

Exemple 1. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ ; de même $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{MQ}$ : on enchaîne, les points intermédiaires disparaissent.

La règle du parallélogramme

Quand deux vecteurs partent du même point, leur somme se construit autrement, mais le résultat est cohérent avec Chasles.

Propriété (règle du parallélogramme). Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ partent du même point $A$, alors $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, où $C$ est le quatrième sommet du parallélogramme $ABCD$. La somme est la diagonale issue de $A$.

Produit d'un vecteur par un réel

Multiplier un vecteur par un nombre, c'est l'étirer, le comprimer, ou le retourner, sans changer sa direction.

Exemple 2. $2\vec{u}$ pointe dans le même sens que $\vec{u}$ et est deux fois plus long. $-\vec{u}$ est l'opposé : même longueur, sens inverse. $\frac{1}{2}\vec{u}$ est deux fois plus court, même sens.

Opérations sur les coordonnées

Tout ceci se calcule coordonnée par coordonnée — c'est ce qui rend les vecteurs si maniables.

Exemple 3. Soit $\vec{u}(3;-1)$ et $\vec{v}(2;4)$. Alors $\vec{u}+\vec{v}\left(\begin{array}{c}3+2\\ -1+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right),3\vec{u}\left(\begin{array}{c}3\times 3\\ 3\times (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ -3\end{array}\right)\mathrm{.}$

Exemple 4. Combinons : $2\vec{u}-\vec{v}$ avec les mêmes $\vec{u}$ et $\vec{v}$. $2\vec{u}\left(\begin{array}{c}6\\ -2\end{array}\right),-\vec{v}\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\end{array}\right),2\vec{u}-\vec{v}\left(\begin{array}{c}6-2\\ -2-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -6\end{array}\right)\mathrm{.}$

Le piège de Chasles mal chaîné

Karim écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$, croyant appliquer Chasles. Faux : Chasles exige que l'extrémité du premier vecteur soit l'origine du second. Dans $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, les deux vecteurs partent de $A$ ; le point $A$ ne se trouve pas en position de relais, on ne peut pas le simplifier. Pour additionner deux vecteurs de même origine, c'est la règle du parallélogramme qu'il faut, pas Chasles. Pour appliquer Chasles, il faut un chaînon : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, où le $B$ relie les deux.

Norme, milieu et distance

La longueur d'un vecteur a un nom officiel — sa norme — et une formule qui n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore appliqué au déplacement horizontal et au déplacement vertical.

Le déplacement horizontal $x$ et le déplacement vertical $y$ forment les deux côtés d'un triangle rectangle ; le vecteur en est l'hypoténuse. Pythagore donne directement la longueur.

Exemple 1. Soit $\vec{u}(4;3)$. Alors $\parallel \vec{u}\parallel =\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$

Distance entre deux points

La distance de $A$ à $B$ est simplement la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Exemple 2. Soit $A(1;2)$ et $B(4;6)$. $AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$

Exemple 3. Une distance n'est pas toujours un entier. Pour $C(0;0)$ et $D(2;3)$ : $CD=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\approx \mathrm{3,61.}$ On laisse la forme exacte $\sqrt{13}$ quand elle ne se simplifie pas.

Coordonnées du milieu d'un segment

Le milieu, c'est le point « à mi-chemin » : on prend la moyenne en $x$ et la moyenne en $y$. Attention à ne pas confondre cette formule avec celle des coordonnées d'un vecteur : pour le milieu, on additionne et on divise par $2$ ; pour un vecteur, on soustrait.

Exemple 4. Le milieu de $[AB]$ avec $A(1;2)$ et $B(4;6)$ est $M({\displaystyle \frac{1+4}{2}};{\displaystyle \frac{2+6}{2}})=M(\mathrm{2,5};4)\mathrm{.}$

Le piège du carré oublié dans la norme

Salma calcule la norme de $\vec{u}(4;3)$ et écrit $\parallel \vec{u}\parallel =\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$. Elle a oublié d'élever au carré. La formule est $\sqrt{x^2+y^2}$, pas $\sqrt{x+y}$. Sans les carrés, la formule ne mesure plus rien de géométrique. Le bon calcul est $\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$. Et n'oublie pas : on ne distribue jamais la racine sur une somme, $\sqrt{16+9}\mathrm{\ne }\sqrt{16}+\sqrt{9}$ — tu l'as vu au chapitre sur les racines.

Colinéarité et alignement

Deux vecteurs qui ont la même direction sont dits colinéaires : l'un est un multiple de l'autre, ils sont « portés par des droites parallèles ». C'est la notion qui permet de tester, par le seul calcul, si trois points sont alignés ou si deux droites sont parallèles.

Vérifier l'existence de ce $k$ à la main est lourd. Heureusement, un critère par les coordonnées tranche immédiatement.

Le nombre $x{y}^{\mathrm{\prime }}-x^{\mathrm{\prime }}y$ s'appelle le déterminant des deux vecteurs. Il se calcule « en croix » : produit de la première coordonnée du premier vecteur par la seconde du second, moins le produit croisé. S'il est nul, les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Exemple 1. $\vec{u}(2;1)$ et $\vec{v}(4;2)$ : le déterminant vaut $2\times 2-4\times 1=4-4=0$. Ils sont colinéaires (et de fait $\vec{v}=2\vec{u}$).

Exemple 2. $\vec{u}(2;1)$ et $\vec{w}(1;3)$ : le déterminant vaut $2\times 3-1\times 1=6-1=5\mathrm{\ne }0$. Ils ne sont pas colinéaires.

Application à l'alignement de trois points

Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés exactement quand les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont la même direction, donc quand ils sont colinéaires.

Exemple 3. Les points $A(1;1)$, $B(3;2)$, $C(7;4)$ sont-ils alignés ? $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)\mathrm{.}$ Déterminant : $2\times 3-6\times 1=6-6=0$. Les trois points sont alignés.

Exemple 4. Les points $A(0;0)$, $B(2;1)$, $C(3;5)$ ? $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right),2\times 5-3\times 1=10-3=7\mathrm{\ne }0.$ Ils ne sont pas alignés : ils forment un vrai triangle.

Application au parallélisme

Le même critère sert à tester si deux droites sont parallèles : il suffit de regarder un vecteur de chacune.

Exemple 5. Avec $A(0;0)$, $B(2;1)$, $C(1;3)$, $D(5;5)$ : $\overrightarrow{AB}(2;1)$ et $\overrightarrow{CD}(4;2)$. Déterminant $2\times 2-4\times 1=0$ : les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Le piège du déterminant croisé à l'envers

Karim calcule le déterminant de $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x^{\mathrm{\prime }};y^{\mathrm{\prime }})$ en écrivant $x{x}^{\mathrm{\prime }}-y{y}^{\mathrm{\prime }}$ : il a multiplié les premières coordonnées ensemble et les secondes ensemble. Faux. Le déterminant est un produit en croix : $x{y}^{\mathrm{\prime }}-x^{\mathrm{\prime }}y$. On croise la première du premier avec la seconde du second. Pour ne pas te tromper, dispose les coordonnées en colonnes et trace les diagonales : descendante $x\to y^{\mathrm{\prime }}$ en plus, montante $y\to x^{\mathrm{\prime }}$ en moins.

Pièges classiques

1. Confondre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$. Ces deux vecteurs sont opposés : $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$. Même direction, même longueur, mais sens contraire. En coordonnées, toutes les composantes changent de signe. $\overrightarrow{AB}(3;2)$ implique $\overrightarrow{BA}(-3;-2)$. L'ordre des lettres encode le sens du déplacement.

2. Calculer $x_A-x_B$ au lieu de $x_B-x_A$. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ se calculent extrémité moins origine : $\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)$. Inverser l'ordre donne le vecteur opposé $\overrightarrow{BA}$. L'extrémité, c'est la deuxième lettre, donc on commence par elle.

3. Confondre un point et un vecteur. Un point est une position, un vecteur un déplacement. On n'écrit jamais « $A=\vec{u}$ », on n'additionne pas un point à un vecteur comme deux objets de même nature. Un point a des coordonnées de position, un vecteur des coordonnées de déplacement : la formule qui relie les deux est $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)$.

4. Oublier le carré dans la norme. $\parallel \vec{u}\parallel =\sqrt{x^2+y^2}$, jamais $\sqrt{x+y}$. Et la racine ne se distribue pas sur la somme : $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\mathrm{\ne }\sqrt{16}+\sqrt{9}=7$. La norme, c'est Pythagore, donc des carrés.

5. Confondre milieu et coordonnées de vecteur. Pour le milieu de $[AB]$, on additionne et on divise par $2$ : $({\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}};{\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}})$. Pour le vecteur $\overrightarrow{AB}$, on soustrait : $x_B-x_A$. Somme et moyenne d'un côté, différence de l'autre — ne pas mélanger.

6. Se tromper d'ordre des sommets du parallélogramme. L'égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ donne le parallélogramme $ABDC$, et non $ABCD$. Les côtés parallèles sont $[AB]$ et $[CD]$, donc on parcourt $A\to B\to D\to C$. Écrire $ABCD$ par réflexe fait porter le parallélisme sur les mauvais côtés et conduit à un faux quatrième sommet.

Application concrète

Amine traverse le centre de Rabat à vélo dans un quadrillage de rues qu'on modélise par un repère orthonormé, l'unité valant $100$ mètres. Il part du point $A(1;1)$ (l'arrêt de tramway Bab Chellah), rejoint Yasmine au point $B(5;4)$ (un café de l'avenue Mohammed V), puis file vers la médina au point $C(9;7)$. Karim, lui, est posté au point $D(3;6)$ et prétend qu'Amine passera juste devant lui.

Étape 1 — Calculer le déplacement $A\to B$ (coordonnées d'un vecteur). Le trajet d'Amine de l'arrêt au café est le vecteur $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}5-1\\ 4-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\mathrm{.}$ Soit $4$ unités vers l'est et $3$ vers le nord : $400$ m à l'est, $300$ m au nord.

Étape 2 — Mesurer la distance parcourue (norme). La distance à vol d'oiseau de $A$ à $B$ vaut $AB=\parallel \overrightarrow{AB}\parallel =\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{unit}\acute{\text{e}}\text{s}=500\text{ m}\mathrm{.}$

Étape 3 — Enchaîner les deux tronçons (relation de Chasles). Amine va de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$. Son déplacement total est $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\mathrm{.}$ Vérifions par les coordonnées : $\overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}9-5\\ 7-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$, et $\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}9-1\\ 7-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 6\end{array}\right)$. On a bien $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 6\end{array}\right)$.

Étape 4 — Amine roule-t-il en ligne droite ? (colinéarité). Comme $\overrightarrow{BC}(4;3)=\overrightarrow{AB}(4;3)$, les deux tronçons sont identiques : Amine roule tout droit. Confirmons l'alignement de $A$, $B$, $C$ par le déterminant de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : $4\times 6-8\times 3=24-24=0.$ Les trois points sont alignés : Amine suit une seule et même avenue rectiligne.

Étape 5 — Karim est-il sur le trajet ? (alignement, réfutation). Karim est en $D(3;6)$. Pour qu'Amine passe devant lui, il faudrait que $D$ soit aligné avec $A$ et $B$. Testons le déterminant de $\overrightarrow{AB}(4;3)$ et $\overrightarrow{AD}\left(\begin{array}{c}3-1\\ 6-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right)$ : $4\times 5-2\times 3=20-6=14\mathrm{\ne }0.$ Le déterminant n'est pas nul : $D$ n'est pas aligné avec l'avenue d'Amine. Karim se trompe, Amine ne passera pas devant lui.

Conclusion. En un seul trajet, Amine a mobilisé tout le chapitre : coordonnées d'un vecteur, norme pour la distance, relation de Chasles pour enchaîner les tronçons, et déterminant pour décider de l'alignement — y compris pour réfuter l'affirmation de Karim. Tout s'est résolu par le calcul, sans tracer la moindre figure. C'est précisément la puissance de la géométrie analytique : transformer des questions géométriques en équations. L'an prochain, ce même cadre accueillera le produit scalaire, qui ajoutera les angles et l'orthogonalité ; en classes préparatoires, ces vecteurs deviendront les éléments d'espaces vectoriels abstraits. Les coordonnées que tu manipules ici en sont la toute première marche.

À retenir