Vecteurs du plan et coordonnées — exercices corrigés

On applique la règle « extrémité moins origine » : $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-1\\ 6-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$.

Si tu as répondu B, tu as soustrait dans le mauvais ordre ($x_A-x_B$) : tu as calculé $\overrightarrow{BA}$, l'opposé. Si tu as répondu C, tu as additionné les coordonnées au lieu de les soustraire — c'est la formule du milieu (sans le diviser par deux), pas celle d'un vecteur.

Mémo : l'extrémité, c'est toujours la deuxième lettre, donc on commence par elle. Cette distinction entre additionner (milieu) et soustraire (vecteur) est le socle de toute la géométrie analytique, jusqu'au produit scalaire de Première et aux espaces vectoriels en prépa.

On ne calcule ici qu'une seule coordonnée, l'abscisse : $x_B-x_A=3-(-2)=3+2=5$. Le piège classique est le signe : soustraire $(-2)$ revient à ajouter $2$.

Si tu as trouvé $1$, tu as écrit $3-2$ en oubliant que $x_A=-2$ et non $2$. Si tu as trouvé $-5$, tu as inversé l'ordre et calculé l'abscisse de $\overrightarrow{BA}$.

Mémo : récite « extrémité moins origine », et fais bien jouer le signe des coordonnées négatives. Cette gymnastique sur les signes te suivra jusqu'au calcul vectoriel de Première.

Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est l'opposé de $\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$. On change le signe de chaque coordonnée : $(5;-2)$ devient $(-5;2)$.

Si tu as répondu B, tu as cru que $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}$ : faux, ils ont le sens contraire. Si tu as répondu C ou D, tu n'as changé le signe que d'une seule coordonnée.

Mémo : passer de $\overrightarrow{AB}$ à $\overrightarrow{BA}$, c'est faire demi-tour. Toutes les composantes changent de signe d'un coup.

La norme est une application directe de Pythagore : $\parallel \vec{u}\parallel =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

Si tu as trouvé $\sqrt{7}$, tu as oublié les carrés et calculé $\sqrt{3+4}$ — l'erreur de Salma. Si tu as trouvé $7$, tu as distribué la racine sur la somme : $\sqrt{9+16}\mathrm{\ne }\sqrt{9}+\sqrt{16}$.

Mémo : la norme, c'est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $x$ et $y$. Toujours des carrés, jamais de racine distribuée.

Un point est une position ; un vecteur est un déplacement. Ce sont deux objets de nature différente : on ne peut pas écrire une égalité entre eux. L'égalité « $A=\overrightarrow{AB}$ » n'a aucun sens.

C'est l'erreur typique de Salma, qui confond coordonnées d'un point et coordonnées d'un vecteur. La seule façon dont points et vecteurs dialoguent : partir d'un point $A$ et lui appliquer un déplacement $\overrightarrow{AB}$ donne un nouveau point $B$.

Mémo : un point dit où ; un vecteur dit comment se déplacer. On ne les met jamais dans la même égalité.

La relation de Chasles dit que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Le point intermédiaire $B$ — arrivée du premier vecteur et départ du second — se simplifie, et il reste le déplacement direct de $A$ à $C$.

Si tu as répondu B, tu as inversé le sens : $\overrightarrow{CA}$ est l'opposé du bon résultat. Le résultat va de la première lettre du premier vecteur ($A$) à la dernière lettre du second ($C$).

Mémo : pour appliquer Chasles, il faut un chaînon — l'extrémité du premier vecteur doit être l'origine du second. Le point relais disparaît.

Le milieu est la moyenne des coordonnées. Pour l'ordonnée : ${\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}}={\displaystyle \frac{3+5}{2}}={\displaystyle \frac{8}{2}}=4$.

Si tu as trouvé $1$, tu as soustrait au lieu d'additionner : tu as confondu la formule du milieu (on additionne) avec celle du vecteur (on soustrait). Pour le milieu, on prend la moyenne — donc une somme divisée par deux.

Mémo : milieu = moyenne, donc on additionne puis on divise par $2$. Vecteur = différence, donc on soustrait. Ne mélange jamais les deux.

Le vecteur $\overrightarrow{AA}$ a son origine et son extrémité confondues : il n'encode aucun déplacement. C'est exactement la définition du vecteur nul $\vec{0}$, dont la longueur est nulle. On a donc bien $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$ pour tout point $A$.

En coordonnées, c'est immédiat : $\overrightarrow{AA}\left(\begin{array}{c}{x}_A-x_A\\ y_A-y_A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$.

Mémo : le vecteur nul, c'est « ne pas bouger ». Il jouera le rôle du zéro dans tous les calculs vectoriels, comme le $\vec{0}$ d'un espace vectoriel en prépa.

Multiplier un vecteur par un réel $k$ multiplie chaque coordonnée par $k$ : $3\vec{u}\left(\begin{array}{c}3\times 2\\ 3\times (-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -9\end{array}\right)$.

Si tu as répondu B, tu as additionné $3$ à chaque coordonnée au lieu de multiplier. Si tu as répondu C ou D, tu n'as multiplié qu'une seule des deux coordonnées.

Mémo : $k\vec{u}$ étire (ou comprime, ou retourne) le vecteur sans changer sa direction. Les deux composantes sont touchées par le même facteur $k$.

La distance entre deux points est la norme du vecteur qui les joint : $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.

Si tu as trouvé $7$, tu as soit oublié les carrés, soit distribué la racine sur la somme. Si tu as trouvé $\sqrt{7}$, tu as fait $\sqrt{3+4}$ sans les carrés.

Mémo : la distance $AB$, c'est Pythagore appliqué aux écarts $x_B-x_A$ et $y_B-y_A$. Les carrés ne sautent jamais.

Pour que deux vecteurs soient égaux, il faut qu'ils aient la même direction, le même sens et la même longueur. Deux vecteurs peuvent avoir la même norme (même longueur) sans avoir la même direction ni le même sens. Par exemple, $\vec{u}(3;4)$ et $\vec{v}(4;3)$ ont tous les deux la norme $5$, mais ils pointent dans des directions différentes, donc $\vec{u}\mathrm{\ne }\vec{v}$.

C'est l'erreur classique de Karim, qui réduit l'égalité des vecteurs à l'égalité des normes. En réalité, l'égalité de deux vecteurs est très contraignante : elle exige les mêmes coordonnées — ce qui implique simultanément même direction, même sens et même longueur.

Mémo : $\vec{u}=\vec{v}⟺$ mêmes coordonnées. Même norme seule ne suffit pas.

Le milieu d'un segment a pour abscisse la moyenne des abscisses des deux extrémités : ${\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}}={\displaystyle \frac{1+5}{2}}={\displaystyle \frac{6}{2}}=3$.

Si tu as trouvé $2$, tu as calculé la différence $x_B-x_A=4$ et l'as divisée par $2$ : tu as confondu la formule du vecteur et celle du milieu. Pour le milieu, on fait la somme, pas la différence.

Mémo : milieu = moyenne des coordonnées → somme ÷ 2. Vecteur = différence. Un seul mot suffit à se souvenir lequel est lequel.

C'est exactement la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Le point $B$ est le point intermédiaire — il est à la fois l'extrémité du premier vecteur et l'origine du second — si bien qu'il « se simplifie » et il ne reste que le déplacement direct de $A$ à $C$.

Pour que Chasles s'applique, il faut que la deuxième lettre du premier vecteur soit la première lettre du second. Ici, le premier vecteur se termine en $B$ et le second commence en $B$ : la condition est bien remplie.

Mémo : Chasles, c'est la chaîne $A\to B\to C$ où le relais $B$ disparaît. Si le relais n'est pas là, c'est la règle du parallélogramme qui s'applique, pas Chasles.

Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs coordonnées composante par composante : $\vec{u}+\vec{v}\left(\begin{array}{c}3+(-2)\\ 1+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)\mathrm{.}$

Si tu as répondu B, tu as soustrait au lieu d'additionner : tu as calculé $\vec{u}-\vec{v}$. Si tu as répondu C ou D, tu as mélangé les composantes — ne pas croiser abscisses et ordonnées.

Mémo : la somme de vecteurs s'effectue coordonnée par coordonnée — c'est une opération séparée sur chaque composante.

Par définition, le vecteur $\overrightarrow{BA}$ va de $B$ vers $A$, tandis que $\overrightarrow{AB}$ va de $A$ vers $B$. Ils encodent le même déplacement mais dans le sens inverse. En coordonnées, si $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$, alors $\overrightarrow{BA}\left(\begin{array}{c}-x\\ -y\end{array}\right)$. On note cette relation $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

La direction est la même (même droite support), la longueur est la même, mais le sens est opposé : c'est la définition exacte d'un vecteur opposé.

Mémo : inverser l'ordre des lettres dans $\overrightarrow{AB}$ revient à prendre l'opposé — et en coordonnées, toutes les composantes changent de signe.

On applique la formule $\parallel \vec{u}\parallel =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.

$\sqrt{13}$ ne se simplifie pas car $13$ est un nombre premier. On laisse la forme exacte.

Si tu as répondu B, tu as fait $2+3=5$ sans les carrés. Si tu as répondu C, tu as fait $\sqrt{2+3}$ — tu as oublié les carrés et distribué la racine. Si tu as répondu D, tu t'es arrêté avant de prendre la racine.

Mémo : la norme, c'est Pythagore — les carrés ne disparaissent jamais dans le calcul.

$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}3-0\\ 1-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$.

Pour que $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$, on pose $D(x;y)$ et on écrit : $\overrightarrow{CD}\left(\begin{array}{c}x-1\\ y-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\mathrm{.}$ Donc $x-1=3\Rightarrow x=4$ et $y-2=1\Rightarrow y=3$. Conclusion : $D(4;3)$.

Si tu as répondu B, tu as peut-être oublié la condition $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ et résolu $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Attention à l'ordre des lettres du parallélogramme : $ABDC$, pas $ABCD$.

Mémo : pour trouver le quatrième sommet, on traduit l'égalité de vecteurs en deux équations sur les coordonnées.

On calcule le déterminant : $x_u\times y_v-x_v\times y_u=2\times 2-1\times 4=4-4=0$.

Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires. On pouvait aussi le constater directement : $\vec{u}=2\vec{v}$, l'un est le double de l'autre.

En coordonnées, $\vec{u}(2;4)$ et $\vec{v}(1;2)$ : en multipliant $\vec{v}$ par $2$ on obtient bien $\vec{u}$. Ils ont la même direction.

Mémo : deux vecteurs sont colinéaires $⟺$ leur déterminant $x{y}^{\mathrm{\prime }}-x^{\mathrm{\prime }}y=0$. Quand l'un est visiblement un multiple de l'autre, c'est un raccourci utile.

On applique la règle « extrémité moins origine » pour l'ordonnée : $y_B-y_A=2-5=-3$.

Si tu as trouvé $3$, tu as soustrait dans le mauvais sens ($y_A-y_B=5-2=3$) : c'est l'ordonnée de $\overrightarrow{BA}$, le vecteur opposé. Rappelle-toi : l'extrémité, c'est la deuxième lettre ($B$ ici), donc on commence par $y_B$.

Mémo : extrémité moins origine, toujours dans cet ordre.

Le vecteur nul correspond à un déplacement nul : on reste sur place. Son déplacement horizontal est $0$ et son déplacement vertical est $0$. Ses coordonnées sont donc bien $(0;0)$ quel que soit le repère.

Conséquence pratique : si $A$ et $B$ sont deux points tels que $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$, cela signifie $x_A=x_B$ et $y_A=y_B$, donc $A=B$.

Mémo : $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$ pour tout point $A$. Coordonnées nulles, déplacement nul, points confondus.