Droites du plan et équations

Vecteur directeur et pente

Une droite, ce n'est pas seulement un trait : c'est avant tout une direction. Si tu te tiens sur une droite et que tu veux rester dessus, tu n'as le choix qu'entre deux sens, mais une seule direction. Au chapitre 9 sur les vecteurs, tu as appris à décrire un déplacement par un vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(x;y)$. L'idée centrale de ce chapitre est là : on attache à chaque droite un vecteur qui donne sa direction.

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs : tous ceux qui pointent dans la même direction. Si $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$, alors $2\vec{u}$, $-\vec{u}$, ou $\mathrm{0,5}\vec{u}$ le sont aussi. Ce qui compte, ce n'est pas la longueur ni le sens, mais la direction — exactement la notion de colinéarité que tu as vue avec les vecteurs.

Exemple 1. On considère les points $A(1;2)$ et $B(4;8)$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}4-1\\ 8-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$. Le vecteur $\vec{u}(1;2)$, colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ puisque $\overrightarrow{AB}=3\vec{u}$, en est un autre, plus simple à manipuler.

De la direction à la pente

Lis le vecteur directeur $\vec{u}(3;6)$ comme un déplacement : pour avancer le long de la droite, on se décale de $3$ horizontalement (vers la droite) et de $6$ verticalement (vers le haut). On retrouve l'idée de la 3ᵉ : quand on avance de $1$ en abscisse, de combien monte-t-on ? C'est la pente.

La condition $a\mathrm{\ne }0$ n'est pas un détail : si le vecteur directeur est vertical, on ne peut pas diviser par $a=0$, et la droite n'a pas de pente. Garde cette exception en tête, on y reviendra.

Exemple 2. Pour la droite $(AB)$ de l'exemple 1, de vecteur directeur $\vec{u}(3;6)$, la pente vaut $m={\displaystyle \frac{6}{3}}=2.$ Quand on avance de $1$ en abscisse, on monte de $2$. Tu peux le vérifier sur le vecteur simplifié $\vec{u}(1;2)$ : ${\displaystyle \frac{2}{1}}=2$. Le choix du vecteur directeur ne change pas la pente, c'est rassurant.

Exemple 3. Calculons la pente de la droite passant par $K(-2;5)$ et $L(2;-3)$. Un vecteur directeur est $\overrightarrow{KL}(2-(-2);-3-5)=(4;-8),$ d'où $m={\displaystyle \frac{-8}{4}}=-2.$ La pente est négative : la droite descend. Quand on avance de $1$ vers la droite, on descend de $2$.

Le piège de l'ordre des coordonnées

Pour passer de deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ à la pente, on écrit $m={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\mathrm{.}$ L'erreur classique : mélanger l'ordre, par exemple écrire ${\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_A-x_B}}$ avec le numérateur et le dénominateur calculés dans des sens opposés. Le résultat aurait alors le signe inversé. La règle est simple : numérateur et dénominateur doivent suivre le même sens, de $A$ vers $B$ (ou de $B$ vers $A$, peu importe, mais le même pour les deux). C'est exactement la coordonnée verticale du vecteur directeur divisée par sa coordonnée horizontale.

Équation réduite d'une droite

On sait maintenant décrire la direction d'une droite. Mais une direction ne suffit pas à fixer une droite : il en existe une infinité de parallèles, toutes de même pente. Il faut une information de plus — savoir où la droite se situe en hauteur. C'est le rôle de l'équation réduite, qui dit exactement quels points $(x;y)$ appartiennent à la droite.

Tu reconnais la forme $y=mx+p$ : c'est exactement celle d'une fonction affine $f(x)=mx+p$ de la 3ᵉ, où l'on notait souvent $a$ et $b$. Ici on note $m$ et $p$, mais l'objet est le même. Un point $(x;y)$ est sur la droite si, et seulement si, ses coordonnées vérifient l'égalité.

Exemple 1. La droite d'équation $y=3x-4$ a pour pente $m=3$ et pour ordonnée à l'origine $p=-4$. Elle coupe l'axe des ordonnées en $(0;-4)$. Le point $A(2;2)$ est-il dessus ? On remplace : $3\times 2-4=2$. Oui. Le point $B(1;5)$ ? On a $3\times 1-4=-1\mathrm{\ne }5$ : non, $B$ n'est pas sur la droite.

Le cas des droites verticales

Une droite verticale réunit tous les points de même abscisse. Sur une telle droite, $x$ ne bouge jamais : on ne peut pas écrire $y$ en fonction de $x$, donc pas d'équation réduite $y=mx+p$. Son équation est d'une autre nature.

Exemple 2. La droite d'équation $x=3$ est la verticale passant par tous les points d'abscisse $3$ : $(3;0)$, $(3;1)$, $(3;-5)$… Un vecteur directeur en est $\vec{u}(0;1)$. Comme sa première coordonnée est nulle, la pente ${\displaystyle \frac{1}{0}}$ n'existe pas : cohérent, une verticale n'a pas de pente.

Déterminer m et p à partir de deux points

C'est la manœuvre la plus utile du chapitre. On connaît deux points d'une droite (non verticale) et on cherche son équation réduite. La méthode tient en deux temps : la pente d'abord, l'ordonnée à l'origine ensuite.

Exemple 3. Trouvons l'équation réduite de la droite passant par $A(1;2)$ et $B(4;8)$.

D'abord la pente : $m={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}={\displaystyle \frac{8-2}{4-1}}={\displaystyle \frac{6}{3}}=2.$ L'équation est donc de la forme $y=2x+p$. Pour trouver $p$, on utilise le fait que $A(1;2)$ est sur la droite : ses coordonnées vérifient l'équation. $2=2\times 1+p⟹2=2+p⟹p=0.$ La droite a pour équation $y=2x$. On vérifie avec $B$ : $2\times 4=8$. Parfait.

Exemple 4. Même méthode avec $K(-2;5)$ et $L(2;-3)$. La pente : $m={\displaystyle \frac{-3-5}{2-(-2)}}={\displaystyle \frac{-8}{4}}=-2.$ On a $y=-2x+p$, et on injecte $K(-2;5)$ : $5=-2\times (-2)+p⟹5=4+p⟹p=1.$ L'équation réduite est $y=-2x+1$.

Le piège de la vérification oubliée

Une fois $m$ et $p$ trouvés, prends le réflexe de vérifier avec le second point — celui que tu n'as pas utilisé pour calculer $p$. C'est un filet de sécurité gratuit. Dans l'exemple 4, on a trouvé $p$ avec $K$ ; on vérifie avec $L(2;-3)$ : $-2\times 2+1=-4+1=-3$. L'égalité tombe juste, l'équation est correcte. Si elle n'était pas tombée juste, c'est qu'une erreur de signe s'était glissée dans le calcul de $m$ ou de $p$.

Équation cartésienne

L'équation réduite a un défaut : elle ignore les droites verticales, traitées à part avec $x=c$. Pour avoir une seule forme qui décrit absolument toutes les droites du plan, on utilise l'équation cartésienne. C'est la forme la plus générale, et celle qui dialogue le mieux avec les vecteurs.

Cette forme englobe tout. Si $b\mathrm{\ne }0$, la droite n'est pas verticale et on peut revenir à la forme réduite. Si $b=0$, l'équation devient $ax+c=0$, soit $x=-{\displaystyle \frac{c}{a}}$ : une droite verticale. Aucun cas n'échappe à $ax+by+c=0$.

Lire un vecteur directeur sur l'équation cartésienne

C'est là que l'équation cartésienne révèle sa puissance. Les coefficients $a$ et $b$ portent directement la direction de la droite.

Retiens bien l'ordre et les signes : on prend les coefficients $a$ et $b$, on les échange, et on change le signe du premier. Le coefficient $b$ donne $-b$ en abscisse, le coefficient $a$ donne $a$ en ordonnée.

Exemple 1. La droite d'équation $2x+3y-6=0$ a pour coefficients $a=2$ et $b=3$. Un vecteur directeur est donc $\vec{u}(-3;2)$. Sa pente vaut $m={\displaystyle \frac{2}{-3}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Exemple 2. La droite d'équation $x-4=0$, c'est-à-dire $1\times x+0\times y-4=0$, a pour coefficients $a=1$ et $b=0$. Vecteur directeur : $\vec{u}(-0;1)=(0;1)$, vertical. C'est cohérent : $x-4=0$ est la droite verticale $x=4$.

Passer d'une forme à l'autre

Savoir naviguer entre forme réduite et forme cartésienne est indispensable.

De la réduite à la cartésienne. Il suffit de tout ramener d'un même côté.

Exemple 3. Soit $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$. On multiplie tout par $3$ pour chasser le dénominateur : $3y=-2x+6.$ On ramène à gauche : $2x+3y-6=0.$ On retrouve l'équation cartésienne de l'exemple 1.

De la cartésienne à la réduite. Quand $b\mathrm{\ne }0$, on isole $y$.

Exemple 4. Soit $4x-2y+6=0$. On isole le terme en $y$ : $-2y=-4x-6,$ puis on divise par $-2$ : $y=2x+3.$ La pente est $m=2$, l'ordonnée à l'origine $p=3$. On peut le recouper avec la propriété : vecteur directeur $\vec{u}(-b;a)=(2;4)$, donc pente ${\displaystyle \frac{4}{2}}=2$. Tout concorde.

Le piège du vecteur directeur $(-b;a)$

L'erreur la plus fréquente est d'écrire $\vec{u}(a;b)$ au lieu de $\vec{u}(-b;a)$, c'est-à-dire prendre les coefficients tels quels sans les échanger ni changer de signe. C'est faux. Pour t'en convaincre, vérifie toujours que le vecteur est bien colinéaire à la direction : la droite $2x+3y-6=0$ passe par $(3;0)$ et $(0;2)$ ; le vecteur entre ces points est $(0-3;2-0)=(-3;2)$, qui est bien $\vec{u}(-b;a)$ et pas $(2;3)$. Note aussi que tout vecteur colinéaire convient : $(3;-2)$ est tout aussi correct, c'est $-\vec{u}$.

Parallélisme et intersection

Reviens à la question de Yasmine sur les deux lignes de tramway. Deux droites du plan sont dans l'un de deux cas : soit elles ont la même direction (parallèles), soit elles se coupent en un point unique (sécantes). Savoir distinguer les deux, et trouver le point de croisement le cas échéant, c'est l'aboutissement du chapitre.

Exemple 1. Les droites $(d_1):y=2x+1$ et $(d_2):y=2x-4$ ont la même pente $m=2$ : elles sont parallèles. Elles ne diffèrent que par leur ordonnée à l'origine, donc par leur hauteur — comme deux rails qui ne se rejoignent jamais.

Exemple 2. Les droites $(d_1):2x+3y-6=0$ et $(d_2):4x+6y+1=0$ ont pour vecteurs directeurs $\overrightarrow{u_1}(-3;2)$ et $\overrightarrow{u_2}(-6;4)$. Ces vecteurs sont colinéaires : $\overrightarrow{u_2}=2\overrightarrow{u_1}$. Les droites sont parallèles. (Pour tester la colinéarité de $(-3;2)$ et $(-6;4)$, tu calcules le déterminant $-3\times 4-2\times (-6)=-12+12=0$, comme au chapitre 9.)

Trouver le point d'intersection

Si deux droites ne sont pas parallèles, elles se coupent en un point unique. Ce point appartient aux deux droites : ses coordonnées vérifient les deux équations à la fois. Le trouver, c'est donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$.

Exemple 3. Cherchons l'intersection de $(d_1):y=2x+1$ et $(d_2):y=-x+7$. Comme les pentes $2$ et $-1$ sont différentes, les droites sont sécantes. On résout le système : $\{\begin{array}{l}y=2x+1\\ y=-x+7\end{array}$ Les deux expressions de $y$ sont égales, donc $2x+1=-x+7.$ On regroupe : $3x=6$, d'où $x=2$. On reporte dans la première équation : $y=2\times 2+1=5$. Le point d'intersection est $I(2;5)$. Vérification dans la seconde : $-2+7=5$. Correct.

Exemple 4. Avec des équations cartésiennes, $(d_1):x+y-3=0$ et $(d_2):2x-y-3=0$. On résout : $\{\begin{array}{l}x+y-3=0\\ 2x-y-3=0\end{array}$ En additionnant les deux équations, les termes en $y$ s'éliminent : $3x-6=0$, donc $x=2$. La première équation donne $2+y-3=0$, soit $y=1$. Le point d'intersection est $I(2;1)$.

Le piège du système sans solution

Que se passe-t-il si tu appliques la méthode du système à deux droites parallèles ? Le calcul se bloque. Prends $(d_1):y=2x+1$ et $(d_2):y=2x-4$. En égalant : $2x+1=2x-4$, donc $1=-4$, une absurdité. Cette contradiction n'est pas une erreur de ta part : c'est la traduction algébrique du fait que les droites ne se croisent jamais. Le système n'a aucune solution. À l'inverse, si tu obtiens une égalité toujours vraie comme $0=0$, c'est que les deux équations décrivent la même droite (parallèles confondues), et il y a une infinité de points communs. Vérifie donc d'abord les pentes : si elles diffèrent, le système aura une solution unique.

Pont avec les fonctions affines

Tu l'as sûrement senti tout au long du chapitre : on parle de la même chose qu'en 3ᵉ, vue sous un autre angle. C'est le moment de rendre le lien explicite, car il éclaire les deux notions.

Autrement dit, « tracer la fonction $f$ » et « tracer la droite d'équation $y=mx+p$ » sont une seule et même opération. La différence est seulement de point de vue : la fonction insiste sur le lien « à $x$ j'associe $y$ », la droite sur l'objet géométrique « ensemble de points alignés ». Attention : toute droite non verticale est le graphe d'une fonction affine, mais une droite verticale $x=c$ ne l'est pas — elle associerait à un seul $x$ une infinité de $y$, ce qu'aucune fonction ne fait.

Exemple 1. La fonction $f(x)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$ a pour graphe la droite $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$, c'est-à-dire $2x+3y-6=0$ (exemple 3 de la leçon 3). Pour la tracer, on place l'ordonnée à l'origine $(0;2)$, puis on lit la pente : quand $x$ augmente de $3$, $y$ diminue de $2$. Ces deux points suffisent à tracer toute la droite.

Lire pente et ordonnée à l'origine sur un graphique

L'opération inverse est tout aussi importante : devant une droite tracée, retrouver son équation. On lit deux choses. D'abord le point où elle coupe l'axe des ordonnées : c'est $p$. Ensuite, en partant de ce point, on avance de $1$ vers la droite et on regarde de combien on monte ou descend : c'est $m$.

Exemple 2. Une droite coupe l'axe des ordonnées en $(0;3)$ et, quand on avance de $1$ en abscisse, elle descend de $\mathrm{0,5}$. Alors $p=3$ et $m=-\mathrm{0,5}$. Son équation réduite est $y=-\mathrm{0,5}x+3$. C'est la traduction directe, en langage de droites, de ce que tu faisais en 3ᵉ avec « la montée pour un pas de 1 ».

Le piège de la verticale qui n'est pas une fonction

Salma, devant la droite $x=4$, veut écrire « $f(x)=4$ ». Erreur de lecture classique : $f(x)=4$ est la fonction constante, dont le graphe est la droite horizontale $y=4$, et non la verticale $x=4$. La verticale $x=4$ n'est tout simplement pas le graphe d'une fonction : pour l'abscisse $4$, elle contient une infinité de points $(4;y)$, alors qu'une fonction n'autorise qu'une seule image par antécédent. Ne confonds pas $x=4$ (verticale, pas une fonction) et $y=4$ (horizontale, fonction constante).

Pièges classiques

Piège 1 : oublier que les droites verticales n'ont pas d'équation réduite. La forme $y=mx+p$ ne décrit que les droites non verticales. Une droite verticale s'écrit $x=c$ et n'a pas de pente (on ne peut pas diviser par la coordonnée horizontale nulle de son vecteur directeur). Si un problème te donne deux points de même abscisse, par exemple $(4;1)$ et $(4;7)$, ne cherche surtout pas une pente : l'équation est directement $x=4$.

Piège 2 : confondre la pente et l'ordonnée à l'origine. Dans $y=3x-4$, la pente est $m=3$ et l'ordonnée à l'origine est $p=-4$. Karim affirme que la droite coupe l'axe des ordonnées en $3$ : c'est faux, elle le coupe en $-4$ (le terme constant), et $3$ est l'inclinaison. Le coefficient devant le $x$ est la pente ; le terme seul, sans $x$, est l'ordonnée à l'origine.

Piège 3 : se tromper sur le vecteur directeur $(-b;a)$. À partir de $ax+by+c=0$, le vecteur directeur n'est pas $(a;b)$ : il faut échanger les coefficients et changer le signe du premier, ce qui donne $\vec{u}(-b;a)$. Pour $2x+3y-6=0$, c'est $(-3;2)$, pas $(2;3)$. Recoupe toujours avec deux points de la droite si tu as un doute.

Piège 4 : croire que deux droites se coupent toujours. Deux droites parallèles ne se croisent jamais. Avant de te lancer dans la résolution d'un système, regarde les pentes (ou les vecteurs directeurs) : si elles sont égales, les droites sont parallèles et il n'y a pas de point d'intersection (ou alors une infinité, si elles sont confondues). Un système qui aboutit à $1=-4$ ne contient pas d'erreur : il signale des parallèles distinctes.

Piège 5 : commettre une erreur de résolution du système. Quand tu résous le système des deux équations, surveille les signes lors de l'élimination ou de la substitution, et reporte la valeur trouvée dans les deux équations pour vérifier. Une faute de signe sur un seul terme déplace le point d'intersection et fausse toute la conclusion. La vérification dans la seconde équation est le réflexe qui rattrape l'erreur.

Piège 6 : mélanger l'ordre des coordonnées dans la pente. La pente entre $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ est ${\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}$ : numérateur et dénominateur doivent suivre le même sens de parcours. Écrire ${\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_A-x_B}}$ inverse le signe et donne une pente fausse. Et n'oublie jamais de placer la variation des ordonnées en haut, celle des abscisses en bas — pas l'inverse.

Application concrète

Yasmine et Amine organisent une course d'orientation dans le parc de la Ligue arabe, à Casablanca. Sur le plan quadrillé du parc (en hectomètres), Yasmine part du point $A(0;1)$ et marche en ligne droite vers $B(6;4)$. Amine part du point $C(0;7)$ et marche, lui aussi en ligne droite, vers $D(4;3)$. Ils veulent savoir si leurs trajectoires se croisent et, si oui, à quel point précis poser le drapeau de rencontre.

Étape 1 — Trouver l'équation de la trajectoire de Yasmine. La droite $(AB)$ passe par $A(0;1)$ et $B(6;4)$. Sa pente est $m_1={\displaystyle \frac{4-1}{6-0}}={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$ Comme $A(0;1)$ a pour abscisse $0$, son ordonnée donne directement l'ordonnée à l'origine : $p_1=1$. La trajectoire de Yasmine est $(d_1):y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+1.$

Étape 2 — Trouver l'équation de la trajectoire d'Amine. La droite $(CD)$ passe par $C(0;7)$ et $D(4;3)$. Sa pente est $m_2={\displaystyle \frac{3-7}{4-0}}={\displaystyle \frac{-4}{4}}=-1.$ De même, $C(0;7)$ donne $p_2=7$. La trajectoire d'Amine est $(d_2):y=-x+7.$

Étape 3 — Vérifier qu'elles se croisent. Les pentes valent ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $-1$ : elles sont différentes, donc les trajectoires ne sont pas parallèles. Elles se coupent en un point unique. Le drapeau pourra être posé.

Étape 4 — Calculer le point de rencontre. On résout le système : $\{\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+1\\ y=-x+7\end{array}$ Les deux expressions de $y$ sont égales : ${\displaystyle \frac{1}{2}}x+1=-x+7.$ On multiplie tout par $2$ pour chasser la fraction : $x+2=-2x+14$, d'où $3x=12$ et $x=4$. On reporte dans la seconde équation : $y=-4+7=3$. Le point de rencontre est $I(4;3)$.

Étape 5 — Interpréter et vérifier. Le point $I(4;3)$ est précisément le point $D$ : la trajectoire de Yasmine passe donc exactement par l'arrivée d'Amine. On vérifie dans la première équation : ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 4+1=2+1=3$. L'égalité tombe juste. Le drapeau de rencontre se pose en $(4;3)$ sur le plan, soit à $4$ hectomètres à l'est et $3$ hectomètres au nord du coin de référence du parc.

Conclusion. En transformant deux trajectoires en deux équations de droites, Yasmine et Amine ont ramené une question de géométrie — « où nos chemins se croisent-ils ? » — à un simple système de deux équations. C'est exactement la démarche de la géométrie repérée : remplacer la figure par du calcul fiable. Cette même logique, enrichie du produit scalaire et de l'orthogonalité que tu découvriras en 1ʳᵉ, te permettra de calculer des distances, des angles, et de manier les cercles en géométrie analytique, jusqu'en classes préparatoires.

À retenir