63 exercices pour t'entraîner sur Droites du plan et équations en 2ⁿᵈᵉ, du QCM à la démonstration. 20 corrigés en détail ci-dessous. Revoir le cours.
On considère les points et . Quel vecteur est un vecteur directeur de la droite ?
A
Un vecteur directeur de est , de coordonnées .
Si tu as répondu C, tu as additionné les abscisses au lieu de les soustraire ; si tu as pris D, tu as gardé les ordonnées de sans soustraire. Mémo : un vecteur directeur se lit comme un déplacement, part de et arrive en . Cette lecture des directions par les vecteurs prépare le produit scalaire et les cercles que tu manieras en 1ʳᵉ et en Tᵉ.
On donne la droite d'équation réduite . Quelle est sa pente (coefficient directeur) ?
La pente est .
Dans l'équation réduite , la pente est le coefficient placé devant le . Ici .
Si tu as répondu , tu as confondu la pente avec l'ordonnée à l'origine , qui est le terme constant. Mémo : le coefficient devant le est l'inclinaison, le terme seul est la hauteur où la droite coupe l'axe des ordonnées. Cette distinction te suivra jusqu'aux fonctions affines de 1ʳᵉ.
On donne la droite d'équation réduite . Quelle est son ordonnée à l'origine ?
L'ordonnée à l'origine est .
Dans l'équation réduite , l'ordonnée à l'origine est le terme constant, sans . Ici : la droite coupe l'axe des ordonnées au point .
Si tu as répondu , tu as donné la pente à la place. Karim affirme souvent que cette droite coupe l'axe des ordonnées en : c'est faux, elle le coupe en . Mémo : remplace par , il ne reste que .
On considère la droite d'équation . Lequel de ces points appartient à la droite ?
A
Un point appartient à la droite si ses coordonnées vérifient l'équation. Pour : , et l'ordonnée vaut bien . C'est donc le bon point.
Pour : . Pour : (piège du signe). Pour : . Mémo : on remplace toujours par l'abscisse et on compare le résultat à l'ordonnée annoncée.
On donne la droite d'équation cartésienne . Quel vecteur en est un vecteur directeur ?
B
Pour une droite , un vecteur directeur est : on échange les coefficients et on change le signe du premier. Ici et , donc .
Si tu as répondu A, tu as pris les coefficients tels quels sans les échanger : c'est l'erreur la plus fréquente. Mémo : la droite passe par et , et le vecteur entre ces points est , bien .
Calcule la pente de la droite passant par les points et .
La pente vaut .
La pente entre deux points est .
Si tu as inversé numérateur et dénominateur (obtenant ), souviens-toi : la variation des ordonnées va en haut, celle des abscisses en bas. Mémo : numérateur et dénominateur suivent le même sens, de vers .
Salma affirme : « La droite d'équation a une pente. » A-t-elle raison ?
Faux
La droite est verticale : elle réunit tous les points d'abscisse . Un vecteur directeur en est , dont la première coordonnée est nulle. Comme on ne peut pas diviser par , la pente n'existe pas : une droite verticale n'a pas de pente.
C'est l'oubli classique de Salma. Mémo : seules les droites non verticales ont une pente et une équation réduite ; une verticale s'écrit .
Les droites et sont parallèles. Vrai ou faux ?
Vrai
Deux droites non verticales sont parallèles si, et seulement si, elles ont la même pente. Ici et ont toutes deux pour pente : elles sont parallèles. Elles ne diffèrent que par leur ordonnée à l'origine, donc par leur hauteur, comme deux rails qui ne se rejoignent jamais.
Mémo : parallèles même pente. Cette équivalence sera centrale pour décider si deux trajectoires de tramway se croisent.
On donne la droite d'équation cartésienne . Quelle est son équation réduite ?
A
On isole le terme en : , puis on divise par : . On recoupe avec le vecteur directeur , de pente : tout concorde.
Si tu as répondu B, tu as oublié de changer le signe en divisant par . Mémo : quand tu divises par un nombre négatif, tous les termes changent de signe.
Calcule la pente de la droite passant par les points et .
La pente vaut .
On applique . La pente est négative : la droite descend.
Si tu as trouvé , surveille les signes : au dénominateur, (et non ), et au numérateur . Mémo : une parenthèse autour des nombres négatifs évite les erreurs de soustraction.
Parmi ces équations, laquelle représente une droite verticale ?
B
Une droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) a une équation de la forme . Ici réunit tous les points d'abscisse .
Si tu as répondu A, attention : est la droite horizontale passant par tous les points d'ordonnée . Ne confonds pas (verticale) et (horizontale). Mémo : c'est la coordonnée fixée qui donne la direction — fixé donne une verticale.
On donne la droite d'équation réduite . Quelle est une équation cartésienne de cette droite ?
A
On ramène tout d'un même côté : à partir de , on écrit , soit .
Si tu as répondu B, tu as oublié de changer le signe du en le faisant passer de l'autre côté. Mémo : un terme qui change de membre change de signe. On peut vérifier : la pente lue sur vaut , conforme à l'équation réduite.
Les vecteurs et peuvent être deux vecteurs directeurs d'une même droite. Vrai ou faux ?
Vrai
Deux vecteurs directeurs d'une même droite sont colinéaires. Ici puisque : ils ont la même direction. On peut le confirmer par le déterminant .
Mémo : ce qui compte pour un vecteur directeur, ce n'est ni sa longueur ni son sens, mais sa direction. Tout vecteur colinéaire à un vecteur directeur en est un autre.
Une droite a pour équation réduite . En quelle ordonnée coupe-t-elle l'axe des ordonnées ?
Elle coupe l'axe des ordonnées en , au point .
La droite coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse . On remplace : . C'est exactement l'ordonnée à l'origine .
Si tu as répondu , tu as donné la pente. Mémo : sur l'axe des ordonnées, , donc il ne reste que .
Quelle est la pente de la droite d'équation cartésienne ? Donne la valeur de la pente.
On isole : . La pente est donc . On peut aussi lire le vecteur directeur , de pente .
Si tu as trouvé , tu as gardé le coefficient sans tenir compte du signe qui apparaît en isolant . Mémo : pour trouver la pente depuis avec , on isole toujours d'abord, ou on calcule .
Karim affirme : « Deux droites qui n'ont pas la même pente se coupent forcément en un point. » A-t-il raison ?
A) Vrai
Karim a raison. Si deux droites ont des pentes différentes, elles ne sont pas parallèles — elles finissent donc par se croiser en exactement un point.
Rappelle-toi : deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. Dès que les pentes diffèrent, la parallélisme est impossible, et deux droites non parallèles du plan se coupent obligatoirement.
Par exemple, (pente ) et (pente ) se coupent en un point que tu peux trouver en résolvant .
Si tu as répondu B), tu as peut-être confondu avec le cas où les droites sont confondues (même droite) — mais cela arrive uniquement quand elles ont la même pente et la même ordonnée à l'origine, ce qui n'est pas le cas ici.
Quelle est la pente de la droite d'équation ? Donne la valeur de la pente.
Dans la forme réduite , le coefficient est la pente et est l'ordonnée à l'origine. Ici et , donc la pente est .
Si tu as trouvé , tu as lu l'ordonnée à l'origine à la place de la pente — c'est l'erreur la plus fréquente sur ce type de question.
Si tu as trouvé , tu as oublié le signe négatif : la pente est bien négative, ce qui signifie que la droite est décroissante (elle descend de gauche à droite).
Retiens : dans , la pente est toujours le coefficient de , avec son signe.
Quelle est la pente de la droite d'équation ?
0
La droite est horizontale : quelle que soit la valeur de , l'ordonnée reste égale à . Entre deux points quelconques de cette droite, la différence des ordonnées est nulle.
On peut l'écrire sous forme réduite , ce qui donne directement .
Plus généralement, toute droite horizontale a une pente égale à . À l'opposé, les droites verticales (du type ) n'ont pas de pente définie — on dit que la pente est infinie ou n'existe pas.
Si tu as hésité, imagine deux points de cette droite : et . La pente vaut .
Salma affirme que les droites d'équations et sont la même droite. A-t-elle raison ?
A) Vrai
Salma a raison. Il suffit de mettre l'équation sous forme réduite pour le vérifier :
On retrouve exactement : c'est bien la même droite, simplement écrite sous une forme différente (forme cartésienne vs forme réduite).
Deux droites sont confondues lorsqu'elles ont la même pente et la même ordonnée à l'origine. Ici : pente et ordonnée à l'origine dans les deux cas.
Si tu as répondu B), tu as peut-être supposé que deux équations d'aspect différent représentent forcément deux droites distinctes — c'est un piège classique. Une même droite admet une infinité d'équations cartésiennes équivalentes (on peut multiplier tous les coefficients par un même nombre non nul).
Yasmine cherche l'équation d'une droite qui passe par l'origine et dont la pente est . Quelle est cette équation ?
C)
La forme réduite d'une droite est où est la pente et l'ordonnée à l'origine.
Ici, la droite passe par l'origine : cela signifie que le point appartient à la droite, donc . La pente est , donc . On obtient , soit .
Si tu as répondu A) (), tu as échangé la pente et l'ordonnée à l'origine.
Si tu as répondu B) (), tu as bien la bonne pente, mais l'ordonnée à l'origine implique que la droite coupe l'axe des ordonnées en , pas en — elle ne passe donc pas par l'origine.
Si tu as répondu D) (), c'est une droite horizontale de pente , sans rapport avec la pente demandée.
Détermine l'équation réduite de la droite passant par et .
La droite a pour équation cartésienne .
Yasmine affirme qu'un vecteur directeur de est et que la pente de vaut .
Quelle est la réponse correcte ?
Karim affirme que les droites et sont parallèles car elles ont le même vecteur directeur.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
La droite passe par le point et a pour pente .
Calcule l'ordonnée à l'origine de .
Amine veut convertir l'équation réduite en équation cartésienne de la forme avec , , entiers.
Quelle est l'équation cartésienne correcte ?
Salma affirme que la droite d'équation représente une fonction, car à chaque valeur de correspond une valeur de .
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Détermine la pente de la droite d'équation cartésienne .
Yasmine et Amine se retrouvent au croisement de deux lignes de tramway à Casablanca. Les trajectoires des deux lignes sont modélisées par les droites :
Quel est le point d'intersection de ces deux droites ?
Salma affirme que les droites et sont parallèles.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Karim modélise deux axes de déplacement par les droites et .
Calcule l'abscisse du point d'intersection de et .
La droite passe par et a pour pente . Parmi les points suivants, lequel appartient aussi à ?
Karim affirme : « Les droites et sont parallèles, car leurs pentes se ressemblent — l'une est et l'autre , ce sont des inverses. » A-t-il raison ?
Yasmine trace la droite passant par et . Quelle est son équation réduite ?
La droite passe par et a pour pente . Quelle est son ordonnée à l'origine ?
On considère la droite d'équation cartésienne . Parmi les vecteurs suivants, lequel n'est pas un vecteur directeur de ?
Salma affirme : « La droite d'équation est l'axe des ordonnées. » A-t-elle raison ?
Amine repère deux points sur une droite tracée sur son cahier : et . Quelle est la pente de cette droite ?
Pour quelle valeur de les droites et sont-elles parallèles ?
Yasmine affirme : « Si deux droites ont une intersection unique, alors le système formé par leurs deux équations admet exactement une solution. »
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
On cherche le point d'intersection des droites et .
Quelle est l'ordonnée de ce point d'intersection ?
À Tanger, Karim trace la droite d'équation pour un devoir. Il annonce : « Cette droite coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée , puisque est le premier nombre de l'équation. » En quel point cette droite coupe-t-elle réellement l'axe des ordonnées ?
À Fès, Salma calcule la pente de la droite passant par et . Elle écrit : « La pente, c'est la variation des abscisses divisée par la variation des ordonnées, donc . » Quelle est la vraie pente de la droite ?
Karim étudie les deux droites et .
Il affirme : « Ces deux droites se coupent forcément, car leurs équations sont différentes. »
Quel est le point d'intersection de et ?
Yasmine lit dans son manuel deux équations de droites :
Elle affirme : « Ces deux droites sont confondues : elles représentent exactement la même droite. »
Vrai ou faux ?
La droite passe par le point et est parallèle à la droite d'équation .
Quelle est l'équation réduite de ?
Amine trace la droite passant par les points et .
Quelle est l'ordonnée à l'origine de cette droite ?
Yasmine travaille sur un plan quadrillé du réseau de tramway de Casablanca. Elle modélise les deux lignes par des droites dans un repère orthogonal :
Yasmine veut localiser précisément la station de correspondance, c'est-à-dire le point d'intersection des deux lignes.
1. Calcule la pente de , puis écris son équation réduite.
2. Calcule la pente de , puis écris son équation réduite.
3. Résous le système pour trouver les coordonnées de la station de correspondance.
Salma cherche l'équation de la droite passant par et .
Elle commence à appliquer la formule de la pente :
Elle se retrouve bloquée et ne sait pas quoi écrire.
Quelle est l'équation de cette droite ?
Amine trace la droite qui passe par l'origine et qui a une pente égale à .
Il écrit l'équation réduite , puis la transforme en équation cartésienne :
Il affirme : « L'équation cartésienne de est . »
Vrai ou faux ?
Les droites et se coupent en un point .
Quelle est l'abscisse du point ?
Yasmine travaille sur la droite d'équation .
Elle souhaite tracer rapidement en repérant ses deux points d'intersection avec les axes du repère.
Quels sont ces deux points ?
Amine et Karim délimitent des zones sur un plan quadrillé du grand souk de Casablanca. Chaque zone est séparée par une frontière rectiligne :
Karim affirme : « Ces deux droites délimitent deux zones bien distinctes car leurs équations sont différentes. Elles se croisent donc quelque part dans le souk. »
1. Mets sous forme réduite .
2. Compare les pentes et les ordonnées à l'origine de et . Que peux-tu conclure sur la position relative de ces deux droites ?
3. Karim a-t-il raison ? Justifie ta réponse.
La droite passe par les points et .
Détermine son équation réduite.
Yasmine affirme : « La droite passant par et est définie par l'équation . »
Yasmine a-t-elle raison ?
On cherche les valeurs de et pour que la droite d'équation passe par les points et .
Quelle est la bonne réponse ?
Les droites et ont pour équations :
Ces deux droites se coupent en un point .
Quelle est l'ordonnée de ?
Yasmine habite boulevard Mohammed V à Casablanca. Elle consulte un plan de la ville où chaque unité représente 1 km, avec un repère orthonormal.
Dans ce repère, la rue A suit la droite d'équation , et la rue B suit la droite d'équation .
Yasmine veut installer un kiosque à journaux exactement à l'intersection de ces deux rues.
a) Résous le système formé par et pour trouver les coordonnées du point d'intersection.
b) Interprète ces coordonnées dans le contexte du plan de Casablanca.
c) Ce point d'intersection est-il unique ? Justifie en une phrase.
La droite a pour équation .
Parmi les droites suivantes, laquelle est parallèle à ?
Karim dit : « Les droites et sont parallèles car leurs coefficients se ressemblent. »
Karim a-t-il raison ?
Une droite passe par les points et .
Quelle est l'ordonnée à l'origine de cette droite ?
La droite a pour équation cartésienne .
Rappel : pour une droite , un vecteur directeur est .
Quel est le vecteur directeur de parmi les propositions suivantes ?
À Casablanca, les lignes de tramway T1 et T2 traversent le centre-ville. Sur un plan modélisé par un repère orthonormé, leurs trajectoires sont modélisées par deux droites :
Amine et Yasmine cherchent la station de correspondance, c'est-à-dire le point où les deux lignes se croisent.
a) Mets et sous forme réduite .
b) Résous le système pour trouver les coordonnées du point d'intersection .
c) Vérifie que appartient bien aux deux droites.
d) Les lignes T1 et T2 ont-elles une seule station de correspondance ? Justifie.
À Rabat, Yasmine cherche le point d'intersection des droites et . Elle écrit : « Les deux expressions de sont égales, donc , ce qui donne et ; je reporte dans la première : . Le point d'intersection est . »
Le calcul de Yasmine est-il correct ?