Statistiques descriptives et données

Moyenne et médiane

Tu disposes de deux façons de désigner « le centre » d'une série numérique, et elles ne coïncident presque jamais. La première, la moyenne, équilibre les valeurs ; la seconde, la médiane, les coupe en deux moitiés égales. Savoir laquelle utiliser — et pourquoi elles diffèrent — est le vrai contenu de cette leçon.

La notation $\bar{x}$ (« $x$ barre ») et le symbole $\sum$ (« somme de ») te suivront jusqu'en prépa : retiens-les dès maintenant.

Exemple 1. Amine relève les notes suivantes sur cinq devoirs : $9;13;12;8;18$. Leur somme est $9+13+12+8+18=60$, et il y a $5$ valeurs, donc $\bar{x}={\displaystyle \frac{60}{5}}=12.$

La moyenne pondérée

Quand une même valeur se répète, on ne la recopie pas : on la multiplie par son effectif. C'est la moyenne pondérée, exactement la moyenne « coefficientée » que tu calcules pour un bulletin.

Exemple 2. Dans la classe de Yasmine, le devoir donne la répartition suivante :

Note $x_i$	8	10	12	14	16
Effectif $n_i$	4	6	8	5	2

L'effectif total est $N=4+6+8+5+2=25$. La somme pondérée vaut $8\times 4+10\times 6+12\times 8+14\times 5+16\times 2=32+60+96+70+32=290,$ donc $\bar{x}={\displaystyle \frac{290}{25}}=\mathrm{11,6}$. Chaque note compte autant de fois qu'elle a été obtenue : oublier les effectifs reviendrait à faire ${\displaystyle \frac{8+10+12+14+16}{5}}=12$, un chiffre faux qui ignore que la classe penche vers les notes basses.

La médiane

Le calcul dépend de la parité de l'effectif $N$.

• Si $N$ est impair, la médiane est la valeur de rang ${\displaystyle \frac{N+1}{2}}$ : la valeur du milieu.
• Si $N$ est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales, de rangs ${\displaystyle \frac{N}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{N}{2}}+1$.

Exemple 3. Salma relève les températures maximales (en °C) sur sept jours à Marrakech : $24;31;28;26;33;29;27$. Ordonnées : $24;26;27;28;29;31;33$. Comme $N=7$ est impair, la médiane est la ${\displaystyle \frac{7+1}{2}}=4^{\text{e}}$ valeur, soit $\text{Me}=28$ °C. Trois jours sont en dessous, trois au-dessus.

Exemple 4. Ajoutons un huitième jour à $30$ °C. La série ordonnée devient $24;26;27;28;29;30;31;33$, avec $N=8$ pair. Les deux valeurs centrales sont les rangs $4$ et $5$, soit $28$ et $29$, donc $\text{Me}={\displaystyle \frac{28+29}{2}}=\mathrm{28,5}\text{ °C}\mathrm{.}$

Le piège de la sensibilité de la moyenne aux valeurs extrêmes

Voici la différence cruciale entre les deux indicateurs. La moyenne utilise la valeur de chaque donnée : une seule donnée énorme la déplace fortement. La médiane n'utilise que le rang : elle ignore l'ampleur des extrêmes. Reprenons les cinq notes d'Amine, $8;9;12;13;18$, de moyenne $12$ et de médiane $12$. Remplaçons la dernière par un $20$ exceptionnel et même un score impossible de $40$ pour l'argument : la médiane resterait $12$, mais la moyenne grimperait. C'est pourquoi, pour des salaires, on publie le salaire médian : quelques très hauts revenus gonflent la moyenne sans rien dire du salarié « typique ». Quand une série a des valeurs extrêmes (on dit aberrantes ou atypiques), la médiane décrit mieux le centre que la moyenne.

Quartiles et étendue

La médiane coupe la série en deux. Rien n'interdit de la couper plus finement : les quartiles la découpent en quatre, ce qui permet de localiser non plus seulement le centre, mais aussi les « épaules » de la série. Avec eux viennent deux mesures de dispersion : l'étendue et l'écart interquartile.

L'étendue est la mesure de dispersion la plus simple, mais aussi la plus fragile : elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes, donc une seule donnée aberrante la fausse entièrement.

En pratique en Seconde, on calcule les rangs ${\displaystyle \frac{N}{4}}$ et ${\displaystyle \frac{3N}{4}}$ : si le résultat n'est pas entier, on arrondit à l'entier supérieur et on prend la valeur de ce rang ; s'il est entier, certaines conventions prennent la valeur de ce rang. Garde une convention unique et applique-la fidèlement.

Exemple 1. Amine note les prix (en dh) de douze paniers de fruits au marché central, déjà ordonnés : $18;20;22;25;25;28;30;32;35;38;42;50.$ Ici $N=12$. Pour $Q_1$ : ${\displaystyle \frac{N}{4}}=3$, entier, on prend la $3^{\text{e}}$ valeur, $Q_1=22$ dh. Pour $Q_3$ : ${\displaystyle \frac{3N}{4}}=9$, entier, on prend la $9^{\text{e}}$ valeur, $Q_3=35$ dh. La médiane est la demi-somme des $6^{\text{e}}$ et $7^{\text{e}}$ valeurs, ${\displaystyle \frac{28+30}{2}}=29$ dh. L'étendue vaut $50-18=32$ dh.

Exemple 2. Sur la série des paniers, $\text{EIQ}=35-22=13$ dh. Interprétation concrète : la moitié centrale des paniers — ceux qui ne sont ni les moins chers ni les plus chers — se vend dans une fourchette de $13$ dh, entre $22$ et $35$ dh. C'est un résumé bien plus robuste que l'étendue de $32$ dh, que le panier à $50$ dh gonfle à lui seul.

Lire un diagramme en boîte

Les cinq nombres $x_{\min }$, $Q_1$, $\text{Me}$, $Q_3$, $x_{\max }$ se représentent par un diagramme en boîte (ou « boîte à moustaches »). La boîte va de $Q_1$ à $Q_3$, barrée à la médiane ; les moustaches s'étendent jusqu'aux extrêmes. C'est l'outil idéal pour comparer deux séries d'un coup d'œil.

Le piège de l'étendue trompeuse

Salma compare deux classes de notes. La première a une étendue de $14$ (notes de $4$ à $18$), la seconde une étendue de $8$ (notes de $9$ à $17$). Elle conclut que la première classe est « beaucoup plus hétérogène ». Pas si vite : si dans la première classe une seule note vaut $4$ et toutes les autres sont serrées autour de $13$, l'étendue ment. L'écart interquartile, lui, ignore cette unique note basse et révélerait que le gros de la classe est en réalité très homogène. L'étendue dépend de deux valeurs ; l'écart interquartile décrit le cœur de la série. Devant une dispersion, regarde toujours l'EIQ avant de conclure.

Écart type et dispersion

Médiane, quartiles et étendue décrivent la dispersion par des positions dans la série ordonnée. L'écart type procède autrement : il mesure, en moyenne, à quelle distance les valeurs se trouvent de la moyenne $\bar{x}$. C'est l'indicateur de dispersion roi — celui qui revient partout en physique, en économie et dans toute la théorie des probabilités à venir.

On élève les écarts au carré pour deux raisons : éviter que les écarts positifs et négatifs ne s'annulent (leur somme vaut toujours $0$), et pénaliser davantage les grands écarts. La racine carrée finale ramène l'écart type dans la même unité que les données (des dh, des °C, des points), ce qui le rend directement interprétable — contrairement à la variance, exprimée en unités au carré. La lettre $\sigma$ (sigma) est la notation universelle.

Exemple 1. Karim a obtenu les cinq notes $10;11;12;13;14$, de moyenne $\bar{x}={\displaystyle \frac{60}{5}}=12$. Les écarts à la moyenne sont $-2,-1,0,1,2$, leurs carrés $4,1,0,1,4$, de somme $10$. La variance vaut $V={\displaystyle \frac{10}{5}}=2$, donc l'écart type est $\sigma =\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4}$. Les notes de Karim s'écartent de sa moyenne d'environ $\mathrm{1,4}$ point en typique : une classe très régulière.

Comparer deux séries de même moyenne

C'est ici que l'écart type devient indispensable. Deux séries peuvent avoir exactement la même moyenne et des dispersions radicalement différentes.

Exemple 2. Yasmine et Amine ont chacun une moyenne de $12$ sur cinq devoirs.

	D1	D2	D3	D4	D5	Moyenne	Écart type
Yasmine	11	12	12	13	12	12	$\approx \mathrm{0,6}$
Amine	4	18	6	20	12	12	$\approx \mathrm{6,6}$

Même moyenne, $12$. Mais Yasmine est d'une régularité métronomique (faible écart type), tandis qu'Amine alterne catastrophes et exploits (fort écart type). Un recruteur, un jury ou un professeur ne les jugera pas de la même façon : la moyenne seule les confondrait, l'écart type les distingue. Une moyenne ne se commente jamais sans une mesure de dispersion à côté.

Le calcul à la calculatrice et au tableur

Au-delà d'un petit exemple comme celui de Karim, on ne calcule pas une variance à la main : c'est long et source d'erreurs. Toute calculatrice scientifique possède un mode statistique (souvent noté STAT ou SD) : tu saisis les valeurs (et leurs effectifs), et la machine renvoie directement $\bar{x}$ et $\sigma$. Au tableur, les fonctions MOYENNE(...) et ECARTYPEP(...) font le travail sur une plage de cellules. Sache interpréter $\sigma$ ; laisse la machine le calculer.

Le piège de la même moyenne, même série

L'erreur, fréquente, consiste à croire que deux séries de même moyenne « se ressemblent ». Faux : la moyenne est un point d'équilibre, pas une description. Les notes d'Amine ($4,18,6,20,12$) et celles de Yasmine ($11,12,12,13,12$) ont la même moyenne $12$ et n'ont rien en commun. De même, une moyenne identique peut cacher des médianes différentes. Retiens : moyenne, médiane et écart type sont trois informations indépendantes ; il en faut au moins deux pour décrire honnêtement une série.

Histogrammes, classes et fréquences

Jusqu'ici les valeurs étaient peu nombreuses et listables. Mais comment décrire les salaires de $5000$ employés, ou les tailles de tous les élèves d'un lycée ? On regroupe les données en classes — des intervalles — et on compte combien de données tombe dans chacune. C'est le passage des données brutes aux données regroupées, et il introduit l'histogramme.

La fréquence est un nombre entre $0$ et $1$, qu'on exprime souvent en pourcentage. La somme de toutes les fréquences vaut toujours $1$ (soit $100\mathrm{\%}$).

Exemple 1. Une entreprise de Casablanca classe les salaires mensuels nets (en dh) de ses $200$ employés :

Classe de salaire (dh)	Effectif	Fréquence
$[3000;5000[$	50	$\mathrm{0,25}$
$[5000;7000[$	80	$\mathrm{0,40}$
$[7000;9000[$	44	$\mathrm{0,22}$
$[9000;11000[$	26	$\mathrm{0,13}$
Total	200	1,00

La fréquence de la classe $[5000;7000[$ est ${\displaystyle \frac{80}{200}}=\mathrm{0,40}=40\mathrm{\%}$ : $40\mathrm{\%}$ des employés gagnent entre $5000$ et $7000$ dh. Vérifie toujours que les fréquences somment à $1$.

Fréquences cumulées

Pour répondre à « combien d'employés gagnent moins de $7000$ dh ? », on cumule les effectifs (ou les fréquences) classe après classe.

Exemple 2. On complète le tableau précédent :

Classe (dh)	Fréquence	Fréquence cumulée croissante
$[3000;5000[$	$\mathrm{0,25}$	$\mathrm{0,25}$
$[5000;7000[$	$\mathrm{0,40}$	$\mathrm{0,65}$
$[7000;9000[$	$\mathrm{0,22}$	$\mathrm{0,87}$
$[9000;11000[$	$\mathrm{0,13}$	$\mathrm{1,00}$

La fréquence cumulée à $7000$ dh est $\mathrm{0,25}+\mathrm{0,40}=\mathrm{0,65}$ : $65\mathrm{\%}$ des employés gagnent moins de $7000$ dh. Cette colonne permet de localiser approximativement la médiane : elle est dans la classe où la fréquence cumulée franchit $\mathrm{0,50}$, donc ici dans $[5000;7000[$.

L'histogramme

Attention : l'histogramme se distingue du diagramme en bâtons de la 3ᵉ. Le diagramme en bâtons décrit des catégories séparées (sports, transports) par des bâtons disjoints ; l'histogramme décrit des classes continues et accolées d'une grandeur numérique.

Le piège des classes de largeurs inégales

L'erreur subtile : si les classes n'ont pas la même largeur, ce n'est plus la hauteur du rectangle qui doit être proportionnelle à l'effectif, mais son aire. Une classe deux fois plus large que les autres avec le même effectif paraîtrait, à hauteur égale, deux fois trop « lourde » à l'œil. En Seconde, on travaille presque toujours avec des classes de même largeur, ce qui rend hauteur et aire proportionnelles. Mais vérifie toujours la largeur des classes avant de lire un histogramme.

Tableaux croisés et fréquences conditionnelles

Tout ce qui précède décrit un seul caractère. Mais les vraies questions croisent souvent deux caractères : le genre et le moyen de transport, la filière et la réussite. Le tableau croisé (ou tableau à double entrée) organise ce croisement, et il introduit une distinction qui sépare les lecteurs pressés des lecteurs rigoureux : marginale contre conditionnelle.

Exemple 1. On interroge $250$ usagers du tramway de Rabat-Salé sur leur tranche d'âge et la possession d'un abonnement.

	Abonné	Non abonné	Total
Moins de 25 ans	70	30	100
25 ans et plus	60	90	150
Total	130	120	250

Les totaux en marge (la ligne et la colonne « Total ») donnent les répartitions de chaque caractère pris seul.

Exemple 2 (marginale). La fréquence marginale des abonnés est ${\displaystyle \frac{130}{250}}=\mathrm{0,52}=52\mathrm{\%}$ : sur tous les usagers interrogés, $52\mathrm{\%}$ ont un abonnement.

Exemple 3 (conditionnelle). La fréquence des abonnés parmi les moins de 25 ans est ${\displaystyle \frac{70}{100}}=\mathrm{0,70}=70\mathrm{\%}$ : on ne regarde plus que la sous-population des jeunes, et $70\mathrm{\%}$ d'entre eux sont abonnés. Parmi les $25$ ans et plus, la fréquence d'abonnés tombe à ${\displaystyle \frac{60}{150}}=\mathrm{0,40}=40\mathrm{\%}$. Le croisement révèle ce qu'aucune marge ne montrait : les jeunes s'abonnent bien plus souvent.

Le sens d'une fréquence conditionnelle

Une fréquence conditionnelle se lit toujours « la proportion de A parmi les B ». Le dénominateur n'est pas l'effectif total, mais l'effectif de la sous-population B. Inverser les deux change radicalement le sens : « la proportion d'abonnés parmi les jeunes » (${\displaystyle \frac{70}{100}}=70\mathrm{\%}$) n'a rien à voir avec « la proportion de jeunes parmi les abonnés » (${\displaystyle \frac{70}{130}}\approx 54\mathrm{\%}$). Le mot parmi désigne le dénominateur. C'est exactement la structure des probabilités conditionnelles que tu rencontreras en Première et Terminale.

Le piège de la marginale prise pour une conditionnelle

L'erreur classique consiste à lire $52\mathrm{\%}$ d'abonnés (marginale, sur l'ensemble) et à en conclure « donc environ la moitié des jeunes sont abonnés ». Faux : la fréquence marginale mélange toutes les sous-populations et masque les différences. Chez les jeunes, c'est $70\mathrm{\%}$ ; chez les plus âgés, $40\mathrm{\%}$ — aucune ne vaut $52\mathrm{\%}$. Une marge décrit le tout ; une conditionnelle décrit une partie. Confondre les deux fait perdre toute l'information que le croisement avait justement révélée.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre moyenne et médiane. La moyenne $\bar{x}$ équilibre les valeurs et se laisse déplacer par les extrêmes ; la médiane partage la série ordonnée en deux moitiés et ne dépend que des rangs. Pour des salaires ou des prix avec quelques valeurs très hautes, le centre « typique » est la médiane, pas la moyenne. Donner l'un pour l'autre fausse l'interprétation.

Piège 2 : oublier les pondérations ou les effectifs. Dans une moyenne pondérée, chaque valeur doit être multipliée par son effectif avant la division par l'effectif total. Calculer ${\displaystyle \frac{8+10+12+14+16}{5}}$ au lieu de ${\displaystyle \frac{8\times 4+10\times 6+\dots }{25}}$ traite à tort des valeurs répétées comme si elles n'apparaissaient qu'une fois. Le même oubli guette dans le calcul de la variance.

Piège 3 : croire que deux séries de même moyenne ont la même dispersion. La moyenne ne dit rien de l'étalement. Les notes $11,12,12,13,12$ et $4,18,6,20,12$ ont toutes deux pour moyenne $12$, mais des écarts types opposés (environ $\mathrm{0,6}$ contre $\mathrm{6,6}$). Une moyenne se commente toujours avec une mesure de dispersion (écart type ou écart interquartile).

Piège 4 : mal placer la médiane quand l'effectif est pair. Pour $N$ pair, la médiane n'est pas « une des deux valeurs centrales », mais leur demi-somme. Pour $24;26;27;28;29;30;31;33$ ($N=8$), la médiane est ${\displaystyle \frac{28+29}{2}}=\mathrm{28,5}$, et non $28$ ni $29$. Oublier la demi-somme décale le centre de la série.

Piège 5 : confondre fréquence marginale et conditionnelle. Une fréquence marginale se calcule sur le total de la population ; une conditionnelle sur une sous-population (le « parmi »). Lire $52\mathrm{\%}$ d'abonnés au total et l'appliquer à chaque tranche d'âge efface les écarts réels ($70\mathrm{\%}$ chez les jeunes, $40\mathrm{\%}$ chez les autres). Le dénominateur n'est pas le même.

Piège 6 : confondre étendue et écart interquartile, ou se fier à la seule étendue. L'étendue $x_{\max }-x_{\min }$ ne dépend que des deux extrêmes : une unique valeur aberrante la gonfle entièrement. L'écart interquartile $Q_3-Q_1$ décrit les $50\mathrm{\%}$ centraux et résiste aux valeurs atypiques. Devant une dispersion, privilégie l'EIQ pour juger l'homogénéité du cœur de la série.

Application concrète

Yasmine est déléguée de classe et veut présenter au conseil un bilan honnête du dernier devoir de mathématiques. Sa classe compte $25$ élèves, et elle dispose de toutes les notes ainsi que d'un petit sondage qu'elle a mené en parallèle. Elle décide de ne se contenter d'aucun chiffre isolé.

Étape 1 — Résumer le centre (moyenne et médiane). La répartition des notes est celle de la leçon 1 :

Note $x_i$	8	10	12	14	16
Effectif $n_i$	4	6	8	5	2

La moyenne pondérée vaut $\bar{x}={\displaystyle \frac{290}{25}}=\mathrm{11,6}$. Pour la médiane, l'effectif total $N=25$ est impair : la médiane est la ${\displaystyle \frac{25+1}{2}}={13}^{\text{e}}$ valeur dans l'ordre croissant. Les quatre $8$ occupent les rangs $1$ à $4$, les six $10$ les rangs $5$ à $10$, et les huit $12$ les rangs $11$ à $18$. Le rang $13$ tombe donc sur un $12$ : $\text{Me}=12$. Moyenne $\mathrm{11,6}$, médiane $12$ : la classe est assez équilibrée, sans valeur extrême qui décale la moyenne.

Étape 2 — Mesurer la dispersion (quartiles et étendue). L'étendue vaut $16-8=8$. Pour $Q_1$, le rang est ${\displaystyle \frac{N}{4}}={\displaystyle \frac{25}{4}}=\mathrm{6,25}$, arrondi à $7$ : la $7^{\text{e}}$ valeur est un $10$, donc $Q_1=10$. Pour $Q_3$, le rang est ${\displaystyle \frac{3N}{4}}=\mathrm{18,75}$, arrondi à $19$ : la ${19}^{\text{e}}$ valeur est un $14$ (les $14$ occupent les rangs $19$ à $23$), donc $Q_3=14$. L'écart interquartile vaut $\text{EIQ}=14-10=4$ : la moitié centrale de la classe se tient dans une fourchette de $4$ points, entre $10$ et $14$. Une classe resserrée.

Étape 3 — Quantifier la régularité (écart type). Yasmine saisit la série dans le mode statistique de sa calculatrice et lit $\sigma \approx \mathrm{2,1}$. Les notes s'écartent donc de la moyenne d'environ $2$ points en typique. Elle compare avec la classe voisine, de même moyenne $\mathrm{11,6}$ mais d'écart type $\sigma \approx \mathrm{4,3}$ : même centre, dispersion deux fois plus grande. Sans l'écart type, le conseil aurait cru les deux classes identiques ; avec lui, Yasmine montre que sa classe est nettement plus homogène.

Étape 4 — Croiser deux caractères (tableau croisé). Le sondage de Yasmine croise le fait d'avoir révisé en groupe et le fait d'avoir eu la moyenne ($\ge 10$) :

	Moyenne atteinte	Sous la moyenne	Total
A révisé en groupe	12	2	14
A révisé seul	6	5	11
Total	18	7	25

La fréquence marginale de réussite est ${\displaystyle \frac{18}{25}}=\mathrm{0,72}=72\mathrm{\%}$. Mais la fréquence conditionnelle de réussite parmi ceux qui ont révisé en groupe est ${\displaystyle \frac{12}{14}}\approx \mathrm{0,86}=86\mathrm{\%}$, contre ${\displaystyle \frac{6}{11}}\approx \mathrm{0,55}=55\mathrm{\%}$ parmi ceux qui ont révisé seuls. Le croisement suggère un effet net de la révision en groupe que la marge de $72\mathrm{\%}$ masquait totalement.

Conclusion. En empilant moyenne, médiane, quartiles, écart type et lecture conditionnelle, Yasmine livre un bilan qu'aucun chiffre unique n'aurait permis : une classe homogène, légèrement au-dessus de $11$, plus régulière que sa voisine, et où la révision en groupe semble payer. C'est exactement la démarche du statisticien — décrire d'abord rigoureusement avant d'expliquer — et la base sur laquelle se construiront, en Première, Terminale et en prépa, l'échantillonnage et les statistiques inférentielles, qui permettent de généraliser un constat d'échantillon à une population entière.

À retenir