Statistiques descriptives et données — exercices corrigés

Amine a obtenu les notes suivantes sur cinq exercices : $8;10;12;14;16$. Quelle est la moyenne de ces cinq notes ? Donne-la.

Salma relève les températures maximales (en °C) sur sept jours à Marrakech : $17;21;13;25;19;11;23$. Quelle est la médiane de cette série ?

Karim note les températures minimales relevées à Ifrane durant une semaine de janvier (en °C) : $6;11;18;22;15;31;8$. Quelle est l'étendue de cette série ?

Dans une classe de 40 élèves, Yasmine relève le nombre d'heures de transport par jour. Le tableau ci-dessous résume les résultats :

Quelle est la fréquence (en proportion) des élèves qui passent exactement 2 heures dans les transports ? Donne la fréquence sous forme décimale.

Dans une série statistique, la somme de toutes les fréquences relatives est toujours égale à 1.

Karim mesure la consommation d'eau (en litres) de six foyers de son quartier à Casablanca sur une journée : $120;85;340;210;75;180$. Quelle est la valeur minimale de cette série ? Donne la valeur minimale en litres.

Yasmine dépense exactement $14$ dh pour son déjeuner chaque jour pendant trois jours consécutifs. Quelle est sa dépense moyenne sur ces trois jours ?

Amine relève la durée (en minutes) de quatre trajets en tramway à Casablanca : $22;10;18;14$. Quelle est la médiane de cette série ? Donne la médiane en minutes.

Salma relève les prix (en dh) de huit articles dans un souk de Marrakech, déjà classés dans l'ordre croissant : $5;9;13;17;21;25;29;33$. Quel est le premier quartile $Q_1$ de cette série ? Donne la valeur en dirhams.

Karim note le nombre de clients servis par un marchand de jus d'orange à Casablanca sur huit jours consécutifs. La série, déjà classée dans l'ordre croissant, est : $3;7;11;15;19;23;27;31$. Calcule l'écart interquartile $Q_3-Q_1$.

Yasmine interroge 50 élèves de sa classe de 2nde à Casablanca sur le nombre de livres lus pendant les vacances. Le tableau suivant résume les résultats :

Combien d'élèves ont lu exactement 3 livres pendant les vacances ?

La fréquence relative d'une valeur dans une série statistique est égale à l'effectif de cette valeur divisé par l'effectif total de la série.

Pour calculer la moyenne d'une série donnée sous forme de tableau (valeurs et effectifs), il suffit de faire la somme des valeurs et de diviser par le nombre de valeurs distinctes.

Salma étudie les résultats de deux classes à un test de mathématiques à Marrakech. Elle veut savoir laquelle des deux classes a les notes les plus « regroupées » autour de la moyenne. Quel indicateur doit-elle utiliser en priorité ?

La médiane d'une série statistique n'est pas affectée lorsqu'on remplace la plus grande valeur de la série par une valeur encore plus grande.

Karim réalise une enquête auprès de 60 élèves d'un lycée de Casablanca pour savoir s'ils pratiquent un sport. Le tableau croisé ci-dessous résume les résultats selon le genre :

Combien de filles ne pratiquent pas de sport ?

Amine réalise un sondage sur le temps de trajet (en minutes) de 40 élèves pour rejoindre leur lycée à Casablanca. Le tableau ci-dessous donne les effectifs par classe de durée :

Quelle est la fréquence cumulée croissante jusqu'à la classe $[20;30[$ incluse ? Donne la fréquence cumulée sous forme décimale.

L'écart-type $\sigma$ d'une série statistique est égal à la racine carrée de la variance $V$ de cette série.

Salma obtient les notes suivantes lors de cinq évaluations de mathématiques au lycée à Ifrane : $7;11;14;16;17$. Quelle est sa moyenne sur ces cinq évaluations ?

Yasmine relève les dépenses quotidiennes (en dh) de huit lycéens à Marrakech, classées dans l'ordre croissant : $4;8;12;16;20;24;28;32$. Quel est le troisième quartile $Q_3$ de cette série ? Donne la valeur en dirhams.

Le tableau ci-dessous résume les notes obtenues par les élèves d'une classe de 2nde lors d'un devoir de mathématiques.

Calcule la moyenne pondérée de cette série. Donne le résultat sous forme décimale (exemple : 12,5).

Salma a relevé les temps de trajet (en minutes) de $8$ camarades pour aller de leur domicile au lycée à Casablanca :

$58121519232730$

La série est déjà ordonnée. Quelle est la médiane de cette série ?

Voici une série de $12$ valeurs déjà ordonnées, représentant les scores obtenus par des élèves à un test :

$579111214151718202225$

Calcule le premier quartile $Q_1$ de cette série. Donne un nombre entier.

Amine a collecté les salaires mensuels (en dirhams) de $12$ employés d'une entreprise à Casablanca. Les voici, déjà classés par ordre croissant :

$300040005000600070008000$ $90001000011000120001400016000$

Calcule l'écart interquartile $EIQ=Q_3-Q_1$. Donne le résultat en dirhams, sans écrire l'unité (exemple : 4500).

Dans un lycée de Rabat, une enquête porte sur le moyen de transport utilisé par les élèves pour venir en cours. Sur $240$ élèves interrogés, $60$ viennent à pied, $84$ prennent le bus, $72$ utilisent un tramway ou taxi, et $24$ sont accompagnés en voiture.

Quelle est la fréquence relative (en pourcentage) des élèves venant à pied ?

Le tableau suivant donne la répartition des notes d'une classe de $40$ élèves lors d'un contrôle.

Quelle est la fréquence cumulée croissante (en nombre d'élèves) jusqu'à la note $10$ incluse ?

Karim a relevé les températures minimales (en °C) enregistrées à Ifrane pendant $5$ nuits consécutives :

$246810$

Calcule l'écart type $\sigma$ de cette série. Arrondis à ${10}^{-2}$ près. Donne le résultat avec une virgule (exemple : 3,16).

Un lycée de Marrakech a mené une enquête auprès de $200$ élèves sur leur pratique sportive. Le tableau croisé ci-dessous résume les résultats.

Parmi les garçons, quelle est la fréquence relative (arrondie au centième) de ceux qui pratiquent un sport ?

Yasmine lit le tableau croisé suivant issu d'une enquête menée auprès de $300$ lycéens de Casablanca sur leurs loisirs principaux.

Yasmine affirme : « La fréquence marginale des élèves pratiquant le sport est ${\displaystyle \frac{155}{300}}$, et la fréquence conditionnelle des élèves de 2nde pratiquant le sport est aussi ${\displaystyle \frac{155}{300}}$. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

Amine étudie les salaires mensuels (en dirhams) de $11$ employés d'une PME à Rabat. La série ordonnée est :

$250030003200350038004000420050006000900025000$

Il constate que la moyenne est $\bar{x}\approx 5836$ dh et que la médiane est $Me=4000$ dh. Amine veut choisir un seul indicateur pour représenter le « salaire typique » de cet effectif. Quelle mesure de position est la plus appropriée ?

Karim compare deux séries de notes obtenues par deux groupes d'élèves :

• Série A : $810121416$
• Série B : $48121620$

Il calcule les deux moyennes :

${\bar{x}}_A={\displaystyle \frac{8+10+12+14+16}{5}}={\displaystyle \frac{60}{5}}=12{\bar{x}}_B={\displaystyle \frac{4+8+12+16+20}{5}}={\displaystyle \frac{60}{5}}=12$

Karim conclut : « Les deux séries sont identiques du point de vue statistique, puisqu'elles ont la même moyenne. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

Salma relève les prix (en dirhams) de $7$ articles dans un souk de Marrakech :

$15202530354080$

Elle veut calculer la médiane. Elle additionne toutes les valeurs et obtient $245$ dh, puis divise par $7$ et annonce : « La médiane est $35$ dh. »

Quelle erreur Salma a-t-elle commise, et quelle est la vraie valeur de la médiane ?

Yasmine relève les salaires mensuels (en dh) de $9$ employés d'une boutique à Casablanca :

$300035004000420045004800500052005500$

La moyenne est $\bar{x}={\displaystyle \frac{39700}{9}}\approx 4411$ dh et la médiane est $Me=4500$ dh.

On ajoute un dixième employé, le directeur général, dont le salaire est $60000$ dh.

Yasmine affirme : « L'ajout de ce salaire extrême modifie davantage la moyenne que la médiane. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

Deux classes de 2nde passent le même contrôle de mathématiques. Les résultats sont résumés ci-dessous :

Que peut-on conclure sur les résultats de la classe B par rapport à la classe A ?

Un lycée de Fès a mesuré le temps de trajet quotidien (en minutes) de ses élèves. Les résultats sont regroupés en classes :

Dans quelle classe la fréquence cumulée croissante franchit-elle le seuil de $\mathrm{0,5}$ pour la première fois ?

Amine relève les températures minimales (en °C) enregistrées à Ifrane durant $5$ nuits consécutives :

$1012141618$

Calcule la variance $V$ de cette série en appliquant la définition :

$V={\displaystyle \frac{1}{n}}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$

Donne un nombre entier.

Yasmine trace un histogramme pour représenter la répartition des âges (en années) de $200$ clients d'une pharmacie à Casablanca. Les classes sont toutes de même amplitude ($10$ ans) et les barres de l'histogramme ont des largeurs égales.

Elle affirme : « Dans un histogramme à classes de même amplitude, la hauteur de chaque barre est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence) de la classe correspondante. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

Une enquête porte sur $400$ lycéens de Rabat, répartis selon leur niveau et leur moyen de transport principal :

Quelle est la fréquence marginale des lycéens utilisant le bus comme moyen de transport ?

Karim veut calculer la médiane de la série suivante :

$18522914311$

Sans trier la série, il prend la valeur centrale (la $4$e valeur dans l'ordre de saisie) et annonce : « La médiane est $9$. »

Karim a-t-il bien calculé la médiane ?

Yasmine est déléguée de sa classe de 2nde au lycée Ibn Khaldoun de Casablanca. Après le premier contrôle de mathématiques, le professeur lui remet le tableau récapitulatif des notes de ses $20$ camarades :

Yasmine veut analyser les résultats de sa classe pour en faire un compte-rendu au conseil de classe. Elle doit :

1. Vérifier que l'effectif total est bien $20$.
2. Calculer la moyenne pondérée $\bar{x}$.
3. Identifier la médiane $Me$.
4. Interpréter : la distribution est-elle symétrique autour de la moyenne ?

Aide Yasmine à compléter son analyse en répondant aux quatre questions.

Au club de tir à l'arc de Meknès, Karim relève le nombre de points marqués par les archers lors d'une séance, regroupé dans un tableau :

Karim veut la moyenne des scores. Il écrit : « Il y a trois scores différents, $5$, $10$ et $15$, donc la moyenne est ${\displaystyle \frac{5+10+15}{3}}={\displaystyle \frac{30}{3}}=10$. »

A-t-il raison ?

Deux classes de 2nde ont passé le même contrôle de mathématiques. Les résultats donnent :

• Classe A : moyenne ${\bar{x}}_A=12$, écart-type ${\sigma }_A=\mathrm{1,5}$
• Classe B : moyenne ${\bar{x}}_B=12$, écart-type ${\sigma }_B=\mathrm{4,2}$

Karim affirme : « Les deux classes ont eu les mêmes résultats puisque leurs moyennes sont égales. »

Quelle affirmation est correcte ?

Karim étudie deux séries de notes et calcule :

• Série 1 : $2,6,10,14,18$ — moyenne $=10$, médiane $=10$
• Série 2 : $8,9,10,11,12$ — moyenne $=10$, médiane $=10$

Il conclut : « Ces deux séries ont la même moyenne et la même médiane, donc elles sont statistiquement identiques et représentent le même niveau de classe. »

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

On donne la série de $n=10$ valeurs suivante, déjà classée dans l'ordre croissant :

$47910111315172024$

Calcule le premier quartile $Q_1$ de cette série.

Rappel : pour $n$ valeurs classées, $Q_1$ est la valeur d'ordre $\lceil n\mathrm{/}4\rceil$, où $\lceil \cdot \rceil$ désigne la partie entière par excès.

Yasmine relève les salaires mensuels (en dirhams) de $9$ employés d'une petite entreprise à Rabat :

$3500380040004200450047005000520042000$

Elle calcule :

• L'étendue : $42000-3500=38500$ dh
• Le premier quartile $Q_1=4000$ dh
• Le troisième quartile $Q_3=5000$ dh
• L'écart interquartile : $\text{EIQ}=Q_3-Q_1=1000$ dh

Yasmine dit : « L'étendue de $38500$ dh montre que les salaires sont très dispersés dans cette entreprise. »

Quelle interprétation est la plus juste ?

Les notes d'un contrôle de physique dans une classe de $n=14$ élèves sont résumées dans le tableau suivant :

Calcule l'écart-type $\sigma$ de cette série, arrondi à ${10}^{-2}$ près.

Rappel : $\sigma =\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _i{n}_i(x_i-\bar{x}{)}^2}}{n}}}$

Dans un lycée de Marrakech, on a interrogé $200$ élèves sur leur moyen de transport et leur niveau scolaire. Le tableau croisé suivant résume les résultats :

Amine veut calculer la fréquence conditionnelle des élèves de 2nde parmi ceux qui viennent en bus.

Quelle est cette fréquence conditionnelle ?

On compare deux séries de résultats sportifs (temps en secondes) relevés sur $5$ athlètes :

• Série P : $10,11,12,13,14$ — moyenne $=12$, écart-type ${\sigma }_P=\mathrm{1,41}$
• Série Q : $5,9,12,15,19$ — moyenne $=12$, écart-type ${\sigma }_Q=\mathrm{4,73}$

Salma affirme : « La série P est plus dispersée que la série Q, car les valeurs de P sont plus régulièrement espacées. »

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Lors d'un contrôle de mathématiques commun à deux classes d'un lycée de Fès, les résultats sont les suivants :

• Classe de Karim : $n=30$ élèves, moyenne $\bar{x}=13$, écart-type $\sigma =\mathrm{0,8}$
• Classe de Yasmine : $n=30$ élèves, moyenne $\bar{x}=13$, écart-type $\sigma =\mathrm{5,1}$

Karim déclare : « Les deux classes ont eu exactement les mêmes performances puisque nos moyennes sont identiques à $13$. »

Yasmine lui répond : « Nos moyennes sont égales, mais nos classes n'ont pas du tout performé de la même façon. »

Qui a raison, et pourquoi ?

Les résultats d'un examen pour $80$ élèves d'un lycée de Casablanca sont regroupés dans le tableau de fréquences cumulées suivant :

Dans quelle classe se trouve la médiane ?

Dans un sondage mené auprès de $200$ habitants d'un quartier de Casablanca, on leur a demandé s'ils possédaient un smartphone et s'ils utilisaient une application bancaire mobile. Le tableau croisé suivant résume les réponses :

Calcule la fréquence conditionnelle des utilisateurs de l'application bancaire parmi les personnes possédant un smartphone. Donne le résultat sous forme décimale (virgule française).

Amine relève les revenus mensuels (en dirhams) de $7$ travailleurs dans un atelier artisanal de Fès :

$28003000310032003400360028000$

Il calcule :

• Moyenne : ${\displaystyle \frac{2800+3000+3100+3200+3400+3600+28000}{7}}={\displaystyle \frac{47100}{7}}\approx 6729$ dh
• Médiane : valeur de rang $4$ (milieu des $7$ valeurs) $=3200$ dh

Amine veut savoir quel indicateur représente le mieux le revenu « typique » d'un travailleur de cet atelier.

Quelle réponse est correcte ?

Salma calcule la médiane de la série suivante (déjà classée en ordre croissant) :

$579111315$

Elle trouve : « La médiane est $9$, c'est la valeur du milieu. »

Quelle est la valeur correcte de la médiane, et quelle erreur Salma a-t-elle commise ?

Dans un tournoi scolaire d'athlétisme à Oujda, deux équipes de $5$ coureurs enregistrent les temps suivants (en secondes) sur le $100$ m :

• Équipe Riad : $\mathrm{12,1}\mathrm{12,3}\mathrm{12,4}\mathrm{12,5}\mathrm{12,7}$ — écart-type $\sigma \approx \mathrm{0,19}$
• Équipe Atlas : $\mathrm{11,0}\mathrm{12,0}\mathrm{12,4}\mathrm{13,0}\mathrm{14,6}$ — écart-type $\sigma \approx \mathrm{1,08}$

Karim affirme : « L'équipe Riad est plus régulière dans ses performances que l'équipe Atlas, car son écart-type est plus petit. »

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Un professeur de sciences physiques à Meknès relève les notes de $12$ élèves lors d'un contrôle :

$81010121212141414141616$

Étape 1. Construis le tableau de fréquences (note / effectif) à partir de ces données brutes.

Étape 2. Utilise ce tableau pour calculer la moyenne $\bar{x}$, arrondie à ${10}^{-2}$ près.

Amine compare les salaires mensuels (en dirhams) dans deux départements d'une entreprise de Casablanca. Il dispose du résumé suivant :

Les deux départements ont la même médiane de $12000$ dh. Amine conclut : « Les deux départements ont le même niveau salarial. »

Quelle interprétation est correcte ?

Yasmine effectue un stage dans les ressources humaines d'une entreprise de distribution à Casablanca. Elle doit préparer un rapport sur la structure salariale des $10$ employés du service logistique. Les salaires mensuels bruts (en dirhams) sont :

$32003500380040004200450048005000550024000$

Question 1. Calcule la moyenne $\bar{x}$ et la médiane de cette série.

Question 2. Calcule le premier quartile $Q_1$, le troisième quartile $Q_3$, et l'écart interquartile EIQ.

Question 3. Quel indicateur — la moyenne ou la médiane — Yasmine devrait-elle utiliser dans son rapport pour décrire le salaire « typique » d'un employé du service ? Justifie.

Question 4. La directrice des RH affirme : « La moitié de nos employés gagne plus de $8000$ dh par mois. » Yasmine dit que c'est faux. Qui a raison ?

Karim et Yasmine sont dans deux classes différentes d'un lycée de Rabat. Après un examen commun de physique-chimie noté sur $20$, les résultats de leurs classes sont résumés ainsi :

• Classe de Karim (30 élèves) : moyenne ${\bar{x}}_K=\mathrm{11,5}$, médiane $=11$, écart-type ${\sigma }_K=\mathrm{3,8}$
• Classe de Yasmine (30 élèves) : moyenne ${\bar{x}}_Y=\mathrm{11,5}$, médiane $=12$, écart-type ${\sigma }_Y=\mathrm{1,2}$

Karim déclare à Yasmine : « Nos classes ont obtenu exactement les mêmes résultats. Regarde, même moyenne ! »

Question 1. Karim a-t-il raison ? Justifie en utilisant les trois indicateurs donnés.

Question 2. Dans quelle classe les résultats sont-ils les plus réguliers ? Donne une interprétation concrète.

Question 3. Dans la classe de Karim, la moyenne est légèrement supérieure à la médiane ($\mathrm{11,5}>11$). Que cela suggère-t-il sur la distribution des notes dans sa classe ?

Un enquêteur interroge $300$ usagers du tramway de Casablanca sur leur habitude de voyage et leur catégorie d'âge. Le tableau croisé suivant résume les réponses :

Salma calcule : « La fréquence des voyageurs quotidiens parmi les moins de 25 ans est de ${\displaystyle \frac{150}{300}}=\mathrm{0,50}$. »

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

On donne la série de $5$ valeurs suivante :

$68101214$

Étape 1. Calcule la moyenne $\bar{x}$ de cette série.

Étape 2. Calcule la variance $V$ définie par : $V={\displaystyle \frac{1}{n}}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$

Donne la valeur exacte de $V$.

Yasmine est déléguée de classe en 2nde au lycée Ibn Khaldoun de Casablanca. Pour préparer le conseil de classe, elle effectue une analyse statistique complète des notes du trimestre en mathématiques pour ses $12$ camarades (elle-même exclue). Les notes sur $20$ sont, classées en ordre croissant :

$468101112131415161718$

Elle sait que dans la classe parallèle (même professeur, même contrôle), les résultats sont :

• Moyenne : $\mathrm{12,5}$, médiane : $\mathrm{12,5}$, écart-type : $\mathrm{1,8}$

Question 1. Calcule la moyenne $\bar{x}$ et la médiane de la série de Yasmine.

Question 2. Calcule $Q_1$, $Q_3$ et l'EIQ de la série de Yasmine.

Question 3. Calcule l'écart-type $\sigma$ de la série de Yasmine (arrondi à ${10}^{-2}$).

Question 4. Compare les deux classes sur les trois indicateurs (moyenne, médiane, écart-type). Que peut conclure Yasmine pour le conseil de classe ?

Question 5. Yasmine croit d'abord que la moyenne de sa classe est légèrement supérieure à sa médiane. Reprends tes résultats de la Question 1 : est-ce vraiment le cas ? Interprète la relation entre moyenne et médiane pour sa classe.

Salma étudie la dispersion des notes d'un devoir à Tétouan, données sous forme d'un tableau d'effectifs de moyenne déjà connue $\bar{x}=12$ :

Pour la variance, Salma applique la formule des écarts carrés mais sur les valeurs distinctes : $V={\displaystyle \frac{(8-12{)}^2+(12-12{)}^2+(16-12{)}^2}{3}}={\displaystyle \frac{16+0+16}{3}}={\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,7.}$

A-t-elle raison ?