Probabilités, échantillonnage et simulation

Vocabulaire des événements

Avant de calculer quoi que ce soit, il faut un langage précis. En probabilités, ce langage décrit ce qui peut arriver quand on confie quelque chose au hasard. On part d'une expérience aléatoire : une opération dont on connaît tous les résultats possibles à l'avance, mais dont on ne peut pas prédire lequel sortira.

Exemple 1. On lance un dé équilibré à six faces. Les issues sont les six faces possibles, donc l'univers est $\mathrm{\Omega }=\{1;2;3;4;5;6\}$. Il contient $6$ issues. On ne peut pas prédire la face qui sortira, mais on connaît la liste complète des possibles.

Exemple 2. Une urne contient $3$ boules rouges, $2$ boules vertes et $1$ boule jaune, toutes de même taille. On en tire une au hasard et on note sa couleur. L'univers est alors $\mathrm{\Omega }=\{\text{rouge};\text{verte};\text{jaune}\}$, qui compte $3$ issues. Attention : ici une issue est une couleur, pas une boule particulière — c'est un choix de modélisation qu'il faut assumer dès le départ.

Une fois l'univers posé, on s'intéresse à des regroupements d'issues : c'est ce qu'on appelle un événement.

Exemple 3. Avec le dé, considère l'événement $A$ : « obtenir un nombre pair ». C'est l'ensemble $A=\{2;4;6\}$. Si on lance et qu'on obtient $4$, alors $4\in A$ : l'événement $A$ est réalisé. Si on obtient $3$, alors $A$ n'est pas réalisé. L'événement « obtenir $5$ » est, lui, un événement élémentaire : $\{5\}$, une seule issue.

Événement certain et événement impossible

Deux événements occupent les extrêmes. L'un se produit toujours, l'autre ne se produit jamais.

Exemple 4. Avec le dé, « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » est l'événement certain $\mathrm{\Omega }$ : c'est toujours vrai. « Obtenir $7$ » est l'événement impossible $\mathrm{\varnothing }$ : aucune face ne le permet. Ces deux cas serviront de bornes quand on attribuera des probabilités à la leçon suivante.

Le piège de l'univers mal défini

Tout le reste du chapitre repose sur un univers correctement décrit. L'erreur classique consiste à oublier des issues ou à en compter une deux fois. Salma, à qui on demande l'univers du tirage d'une carte dans un jeu de $32$ cartes, répond « pique, cœur, carreau, trèfle, soit $4$ issues ». C'est un univers possible si la question ne porte que sur la couleur ; mais si on s'intéresse à la carte tirée, l'univers compte $32$ issues, pas $4$. Avant de modéliser, demande-toi toujours : « une issue, c'est quoi exactement dans ce problème ? » Toute la suite en dépend.

Probabilité d'un événement et équiprobabilité

Décrire les événements ne suffit pas : on veut mesurer leur chance de se produire. C'est le rôle de la probabilité, un nombre attribué à chaque événement.

Cette condition « la somme fait $1$ » n'est pas une formalité : elle traduit le fait qu'une issue, et une seule, finit toujours par se réaliser. Une probabilité vaut $0$ pour l'événement impossible et $1$ pour l'événement certain.

Exemple 1. Reprenons l'urne de $6$ boules : $3$ rouges, $2$ vertes, $1$ jaune. En tirant une boule au hasard, chaque boule a la même chance d'être choisie. La loi de probabilité sur les couleurs est donc $P(\text{rouge})={\displaystyle \frac{3}{6}}$, $P(\text{verte})={\displaystyle \frac{2}{6}}$, $P(\text{jaune})={\displaystyle \frac{1}{6}}$. Vérification indispensable : ${\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{6}{6}}=1$. La somme fait bien $1$, la loi est cohérente.

Le cas de l'équiprobabilité

Le cas le plus simple, et le plus fréquent dans les exercices, est celui où toutes les issues ont la même probabilité.

C'est la formule que tu connais depuis la 3ᵉ. Elle ne vaut que sous l'hypothèse d'équiprobabilité — un dé équilibré, une pièce honnête, un tirage au hasard. Si le dé est truqué, elle ne s'applique plus.

Exemple 2. On lance un dé équilibré. L'univers $\mathrm{\Omega }=\{1;2;3;4;5;6\}$ compte $6$ issues équiprobables. L'événement $A$ : « obtenir un multiple de $3$ » est $A=\{3;6\}$, soit $2$ cas favorables. Donc $P(A)={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$

Exemple 3. On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. Quelle est la probabilité de tirer un roi ? Il y a $4$ rois (un par couleur) parmi $32$ cartes, et le tirage est équiprobable. Donc $P(\text{roi})={\displaystyle \frac{4}{32}}={\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$

Le piège de l'équiprobabilité supposée

L'erreur la plus tenace est d'appliquer la formule des cas favorables sans vérifier que les issues sont équiprobables. Karim étudie la somme de deux dés et déclare : « la somme peut faire $2$, $3$, …, jusqu'à $12$, soit $11$ valeurs, donc chaque somme a une probabilité ${\displaystyle \frac{1}{11}}$. » C'est faux. Obtenir une somme de $2$ exige $(1;1)$, une seule combinaison ; obtenir une somme de $7$ se fait de six façons : $(1;6)$, $(2;5)$, $(3;4)$, $(4;3)$, $(5;2)$, $(6;1)$. Les sommes ne sont pas équiprobables. Le bon univers équiprobable est celui des $36$ couples $(d_1;d_2)$, et c'est sur lui qu'on compte. La leçon : avant d'écrire ${\displaystyle \frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}}$, assure-toi que tu comptes sur un univers où chaque issue a réellement la même chance.

Réunion, intersection et événement contraire

Les événements ne vivent pas isolés : on veut combiner « obtenir un nombre pair » et « obtenir un multiple de $3$ », ou décrire « ne pas obtenir un $6$ ». Trois opérations suffisent.

Exemple 1. Avec le dé, soit $A=\{2;4;6\}$ (« pair ») et $B=\{3;6\}$ (« multiple de $3$ »). Alors $A\cup B=\{2;3;4;6\}$ (les nombres pairs ou multiples de $3$) et $A\cap B=\{6\}$ (les nombres à la fois pairs et multiples de $3$). Le contraire de $A$ est $\bar{A}=\{1;3;5\}$, les nombres impairs.

La formule du contraire

Le contraire offre un raccourci de calcul redoutablement utile : il est souvent plus rapide de calculer « la probabilité que ça n'arrive pas » que « la probabilité que ça arrive ».

La raison est limpide : une issue est soit dans $A$, soit dans $\bar{A}$, jamais les deux, jamais aucune. Les probabilités de $A$ et de $\bar{A}$ se partagent donc la totalité, qui vaut $1$.

Exemple 2. On lance le dé. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir $1$ ? L'événement « obtenir $1$ » a pour probabilité ${\displaystyle \frac{1}{6}}$, donc son contraire « ne pas obtenir $1$ » a pour probabilité $1-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$. Compter directement les cinq faces favorables ($2$, $3$, $4$, $5$, $6$) donnerait le même ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ ; passer par le contraire fait simplement gagner du temps.

La formule de la réunion

Pour la réunion, on est tenté d'additionner $P(A)$ et $P(B)$. C'est presque juste — il faut corriger un double comptage.

Pourquoi le terme $-P(A\cap B)$ ? Parce qu'en ajoutant $P(A)$ et $P(B)$, on compte deux fois les issues qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$, c'est-à-dire celles de $A\cap B$. On les retranche donc une fois pour rétablir le compte exact.

Exemple 3. Reprenons $A=\{2;4;6\}$ et $B=\{3;6\}$ sur le dé équilibré. On a $P(A)={\displaystyle \frac{3}{6}}$, $P(B)={\displaystyle \frac{2}{6}}$ et $P(A\cap B)=P(\{6\})={\displaystyle \frac{1}{6}}$. Donc $P(A\cup B)={\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$ On retrouve bien les $4$ issues de $A\cup B=\{2;3;4;6\}$ sur $6$ : la formule et le comptage direct concordent.

Exemple 4. Dans l'urne ($3$ rouges, $2$ vertes, $1$ jaune), les événements « tirer une rouge » et « tirer une verte » sont incompatibles : une boule ne peut pas être à la fois rouge et verte. Donc $P(\text{rouge ou verte})={\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$, sans terme correctif.

Le piège de la réunion sans correction

L'erreur reine de cette leçon : écrire $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ même quand $A$ et $B$ se chevauchent. Sur l'exemple précédent, cela donnerait ${\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$, alors que la vraie valeur est ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{6}}$. La différence est exactement $P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{6}}$, l'issue $6$ comptée deux fois. La règle d'or : on n'a le droit d'additionner les probabilités que si les événements sont incompatibles. Au moindre doute, écris la formule complète avec le $-P(A\cap B)$ ; si l'intersection est vide, ce terme vaut $0$ et tu retombes sur l'addition simple.

Échantillonnage et fluctuation

Jusqu'ici, on a calculé des probabilités sur le papier, en supposant le hasard parfaitement régulier. Mais que se passe-t-il quand on lance vraiment le dé, encore et encore ? On entre dans le monde de l'expérience, et c'est là que la dispute de Karim et Yasmine se règle.

La fréquence est une grandeur observée, calculée après coup sur des résultats réels. La probabilité, elle, est une grandeur théorique, calculée à l'avance. Ce sont deux choses différentes, et c'est tout l'enjeu de comprendre comment elles se rapportent l'une à l'autre.

Exemple 1. On lance un dé équilibré $20$ fois et on obtient le $6$ à $5$ reprises. La fréquence observée du $6$ sur cet échantillon est ${\displaystyle \frac{5}{20}}=\mathrm{0,25}$. Or la probabilité théorique du $6$ est ${\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,167}$. La fréquence observée ($\mathrm{0,25}$) ne coïncide pas avec la probabilité ($\mathrm{0,167}$) — et ce n'est nullement anormal.

Propriété (fluctuation d'échantillonnage). Deux échantillons de même taille $n$, issus de la même expérience, donnent en général des fréquences différentes. Cette variabilité des fréquences d'un échantillon à l'autre s'appelle la fluctuation d'échantillonnage.

Exemple 2. Yasmine lance le même dé honnête trois fois $20$ lancers. Elle obtient le $6$ respectivement $2$, $5$ et $3$ fois, soit des fréquences $\mathrm{0,10}$, $\mathrm{0,25}$ et $\mathrm{0,15}$. Trois échantillons, trois fréquences distinctes, toutes autour de $\mathrm{0,167}$ sans jamais l'atteindre exactement. C'est précisément la fluctuation : le hasard ne livre pas deux fois le même résultat.

La stabilisation des fréquences

Si les fréquences fluctuent, y a-t-il un ordre quelque part ? Oui — et il apparaît quand la taille de l'échantillon grandit.

Autrement dit, la fluctuation ne disparaît pas, mais elle se resserre : avec $20$ lancers, la fréquence du $6$ peut facilement aller de $\mathrm{0,05}$ à $\mathrm{0,30}$ ; avec $10000$ lancers, elle restera collée tout près de $\mathrm{0,167}$. Plus l'échantillon est grand, plus la fréquence observée est un bon reflet de la probabilité.

Exemple 3. On simule (ou on réalise) $10000$ lancers d'un dé honnête et la fréquence du $6$ ressort à $\mathrm{0,1683}$. C'est extrêmement proche de ${\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}$. C'est cette stabilisation qui justifie qu'on puisse estimer une probabilité inconnue par une fréquence sur un grand échantillon — l'idée fondatrice de l'inférence statistique que tu approfondiras plus tard.

Le piège de l'erreur du joueur

La stabilisation autour de la probabilité fait naître une croyance fausse et célèbre : penser que le hasard « se souvient » et « rattrape son retard ». Karim, après $9$ lancers sans aucun $6$, annonce : « le $6$ est en retard, il va forcément tomber maintenant. » C'est l'erreur du joueur. Le dé n'a pas de mémoire : à chaque lancer, la probabilité du $6$ reste ${\displaystyle \frac{1}{6}}$, indépendamment du passé. Ce qui se stabilise, c'est la fréquence sur un très grand nombre de lancers, parce que les écarts deviennent négligeables proportionnellement à $n$ — pas parce qu'un mécanisme corrige les manques. Le hasard ne compense rien ; il dilue.

Simulation avec tableur et Python

On ne peut pas toujours lancer un dé dix mille fois à la main. Heureusement, un ordinateur le fait en une fraction de seconde : c'est la simulation, qui reproduit une expérience aléatoire à l'aide du hasard de la machine.

Le cœur de toute simulation est un générateur qui produit un nombre au hasard, uniformément, entre $0$ et $1$. Sur tableur, c'est la fonction ALEA() (ou RAND() en anglais) ; en Python, c'est random() du module random. À partir de ce nombre, on fabrique l'issue voulue.

Exemple 1 (tableur). Pour simuler un lancer de dé équilibré dans un tableur, on écrit =ENT(ALEA()*6)+1 : ALEA()*6 produit un nombre entre $0$ et $6$, ENT(...) en garde la partie entière ($0$ à $5$), et le $+1$ décale vers $1$ à $6$. En recopiant la formule sur $1000$ lignes, on obtient un échantillon de $1000$ lancers, dont on calcule ensuite la fréquence de chaque face avec NB.SI.

Estimer une probabilité par une fréquence en Python

En Python, on dispose directement de randint(a, b), qui tire un entier au hasard entre a et b inclus — parfait pour un dé.

import random

n = 100000          # taille de l'échantillon : 100 000 lancers
compteur_six = 0    # nombre de fois où l'on obtient un 6

for _ in range(n):
    de = random.randint(1, 6)   # un lancer de dé équilibré : entier de 1 à 6
    if de == 6:
        compteur_six += 1       # on comptabilise les 6

frequence = compteur_six / n    # fréquence observée du 6
print(frequence)                # affiche une valeur proche de 0,1667

Le programme répète $100000$ lancers, compte les $6$ et divise par $n$. La fréquence affichée sera très proche de ${\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}$, conformément à la loi des grands nombres. Relancé, il donnera une valeur légèrement différente : c'est la fluctuation d'échantillonnage qui réapparaît, mais resserrée par la grande taille de $n$.

Exemple 2. En lançant le programme ci-dessus trois fois, on peut obtenir $\mathrm{0,16702}$, puis $\mathrm{0,16589}$, puis $\mathrm{0,16731}$. Trois échantillons de $100000$ lancers, trois fréquences distinctes, toutes à moins de $\mathrm{0,002}$ de la probabilité théorique. La simulation reproduit fidèlement ce qu'on observerait avec un vrai dé — en infiniment plus rapide.

Exemple 3. On peut aussi simuler pour estimer une probabilité difficile à calculer à la main. Pour la somme de deux dés égale à $7$, on tire deux entiers, on teste si leur somme vaut $7$, et on compte. Sur $100000$ tirages, la fréquence ressort autour de $\mathrm{0,167}$, ce qui confirme la valeur théorique ${\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$ qu'on avait établie en comptant les couples favorables.

Le piège de l'échantillon trop petit

La simulation n'a de valeur que sur un grand échantillon. Salma écrit un programme correct mais le lance avec n = 10, obtient une fréquence du $6$ de $\mathrm{0,30}$ et en conclut « la simulation prouve que le dé est truqué ». Non : avec $10$ lancers, la fluctuation est énorme, et $\mathrm{0,30}$ est parfaitement compatible avec un dé honnête. Une simulation sur un petit $n$ ne prouve rien — elle ne fait que reproduire la variabilité du hasard. Pour estimer une probabilité de façon fiable, il faut un $n$ grand (des milliers, voire des dizaines de milliers), afin que la fréquence ait eu le temps de se stabiliser.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre fréquence et probabilité. La probabilité est théorique, fixée à l'avance par le modèle (le $6$ d'un dé honnête a probabilité ${\displaystyle \frac{1}{6}}$). La fréquence est observée, calculée après coup sur un échantillon réel ($5$ fois sur $20$, soit $\mathrm{0,25}$). Elles n'ont aucune raison d'être égales sur un échantillon donné ; la fréquence ne fait que s'approcher de la probabilité quand l'échantillon grandit.

Piège 2 : oublier le terme $-P(A\cap B)$ dans la réunion. Écrire $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ sans correction compte deux fois les issues communes à $A$ et $B$. La formule générale est $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. L'addition simple n'est licite que si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A\cap B=\mathrm{\varnothing }$).

Piège 3 : croire que deux issues sont toujours équiprobables. La formule ${\displaystyle \frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}}$ ne vaut que sous équiprobabilité. Les sommes de deux dés ($2$ à $12$) ne sont pas équiprobables : la somme $7$ est six fois plus probable que la somme $2$. Avant d'appliquer la formule, vérifie que chaque issue de ton univers a réellement la même chance.

Piège 4 : croire que les fréquences doivent « rattraper » le hasard (erreur du joueur). Après une série de lancers sans $6$, le $6$ n'est pas « en retard » : la probabilité du prochain lancer reste ${\displaystyle \frac{1}{6}}$. Le dé n'a pas de mémoire, les lancers sont indépendants. La loi des grands nombres ne dit pas que le hasard compense ses manques, mais que les écarts deviennent négligeables en proportion quand $n$ grandit.

Piège 5 : mal compter les cas possibles. Le dénominateur de ${\displaystyle \frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}}$ doit être le nombre d'issues de l'univers entier, ni plus ni moins. Pour deux dés, l'univers équiprobable compte $36$ couples, pas $11$ sommes ni $21$ paires non ordonnées. Une issue oubliée ou comptée deux fois fausse toute la probabilité.

Piège 6 : tirer une conclusion d'un échantillon trop petit. Une fréquence de $\mathrm{0,30}$ sur $10$ lancers ne prouve rien sur le dé : la fluctuation à petit $n$ est énorme. Pour juger si un dé est truqué, ou pour estimer une probabilité inconnue, il faut un grand échantillon, où la fréquence a eu le temps de se stabiliser autour de sa valeur théorique.

Application concrète

Reprenons le dé suspect de Karim, gagné à la kermesse de son lycée à Fès. Karim est convaincu qu'il est truqué et favorise le $6$ ; Yasmine en doute. Plutôt que de se disputer, ils décident de trancher proprement, en mobilisant tout le chapitre : modèle théorique, contraire, réunion, puis échantillonnage et simulation.

Étape 1 — Poser le modèle théorique. Si le dé était honnête, l'univers serait $\mathrm{\Omega }=\{1;2;3;4;5;6\}$ avec équiprobabilité, donc $P(6)={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,167}$. C'est l'hypothèse à tester : « le dé est honnête, et la fréquence du $6$ devrait tourner autour de $\mathrm{0,167}$ ». Karim affirme au contraire que $P(6)$ est nettement plus grande.

Étape 2 — Mobiliser le contraire et la réunion. Avant de tester, Karim s'échauffe sur quelques calculs sous l'hypothèse d'honnêteté. La probabilité de ne pas obtenir $6$ est, par le contraire, $P(\bar{6})=1-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$. La probabilité d'obtenir « un $6$ ou un nombre pair » se calcule par la réunion : soit $A=\{6\}$ et $B=\{2;4;6\}$. Comme $A\cap B=\{6\}$, on a $P(A\cup B)={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ — ici $A$ est entièrement contenu dans $B$, et la réunion vaut simplement $B$. Ces valeurs serviront de repères : si le dé est honnête, l'expérience devra les retrouver.

Étape 3 — Réaliser un premier échantillon. Karim lance le dé $30$ fois et obtient le $6$ à $8$ reprises, soit une fréquence ${\displaystyle \frac{8}{30}}\approx \mathrm{0,267}$. « Tu vois, $\mathrm{0,267}$, bien plus que $\mathrm{0,167}$, il est truqué ! » Yasmine tempère : « $30$ lancers, c'est un petit échantillon. La fluctuation d'échantillonnage peut très bien produire $\mathrm{0,267}$ avec un dé honnête. On ne peut rien conclure. »

Étape 4 — Simuler pour comparer à grande échelle. Pour savoir ce qu'un dé honnête produirait, Yasmine écrit le programme Python de la leçon 5 avec n = 100000 et l'exécute plusieurs fois. Elle obtient des fréquences du $6$ comme $\mathrm{0,1664}$, $\mathrm{0,1671}$, $\mathrm{0,1659}$ : un dé honnête simulé ne dépasse jamais $\mathrm{0,17}$ sur $100000$ lancers. Puis ils relancent le vrai dé, cette fois $600$ fois, et obtiennent le $6$ à $104$ reprises, soit ${\displaystyle \frac{104}{600}}\approx \mathrm{0,173}$.

Conclusion. Sur $30$ lancers, la fréquence $\mathrm{0,267}$ semblait accablante, mais elle relevait de la simple fluctuation : un petit échantillon ne prouve rien. Sur $600$ lancers, la fréquence retombe à $\mathrm{0,173}$, tout près de la valeur théorique $\mathrm{0,167}$ qu'un dé honnête produit en simulation. Le dé de Karim n'est, selon toute vraisemblance, pas truqué : c'est son intuition sur dix lancers qui l'avait trompé. La démarche — poser un modèle théorique, le confronter à un grand échantillon observé ou simulé, et juger l'écart à la lumière de la fluctuation — est exactement celle de l'inférence statistique. Tu la reverras enrichie en Première et Terminale, avec les variables aléatoires et les intervalles de fluctuation, quand il s'agira de décider, avec une marge d'erreur contrôlée, si un écart observé est ou non compatible avec le hasard.

À retenir