Probabilités, échantillonnage et simulation — exercices corrigés

Laquelle de ces expériences est une expérience aléatoire ?

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. Quel est l'univers $\mathrm{\Omega }$ de cette expérience aléatoire ?

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. Quelle est la probabilité d'obtenir le $3$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance un dé équilibré à six faces. L'événement « obtenir un nombre pair » est un événement élémentaire.

La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est toujours égale à $1$.

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. On sait que $P(6)={\displaystyle \frac{1}{6}}$. Quelle est la probabilité de l'événement contraire $\overline{\{6\}}$, c'est-à-dire la probabilité de ne pas obtenir $6$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Une urne contient $4$ boules rouges et $1$ boule bleue, toutes de même taille. On tire une boule au hasard. La formule $P(A)={\displaystyle \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}}$ est-elle applicable ici ?

Karim lance un dé équilibré $10$ fois et obtient le $6$ à $3$ reprises. Il conclut que la probabilité du $6$ sur ce dé est ${\displaystyle \frac{3}{10}}$. A-t-il raison ?

Une urne contient $3$ boules rouges, $2$ boules vertes et $1$ boule jaune, toutes de même taille. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. Lequel de ces événements est l'événement impossible ?

On lance un dé équilibré. Soit $A=\{2;4;6\}$ l'événement « nombre pair » et $B=\{3;6\}$ l'événement « multiple de $3$ ». Quel est l'ensemble $A\cap B$ ?

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de $3$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Que dit la loi des grands nombres concernant la fréquence observée d'un événement ?

Une urne contient des boules rouges et des boules vertes. On tire une boule au hasard. Les événements « tirer une boule rouge » et « tirer une boule verte » sont incompatibles.

En Python, quelle instruction tire au hasard un entier entre $1$ et $6$ inclus, simulant ainsi un lancer de dé ?

Qu'est-ce que la fluctuation d'échantillonnage ?

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes (toutes différentes). Quelle est la probabilité de tirer un as ? Il y a $4$ as dans un jeu de $32$ cartes. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Après $9$ lancers consécutifs sans obtenir de $6$, Karim affirme que le prochain lancer a plus de chance de donner un $6$ car « le $6$ est en retard ». A-t-il raison ?

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre compris entre $1$ et $6$ (inclus) ?

Une urne contient $3$ boules rouges, $2$ boules vertes et $1$ boule jaune, toutes de même taille. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ou une boule verte ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance un dé équilibré à six faces. Soit $A$ l'événement « obtenir un nombre pair » et $B$ l'événement « obtenir un multiple de $3$ ». Calcule $P(A\cup B)$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance un dé équilibré à six faces. Soit $A=\{1;2;3\}$ et $B=\{2;4;6\}$. Karim affirme que $P(A\cup B)=P(A)+P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=1$. A-t-il raison ?

On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre différent de $5$ ? Utilise la formule de l'événement contraire et donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Une roue de loterie est partagée en trois secteurs. Salma propose la loi de probabilité suivante : $P(\text{rouge})={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $P(\text{bleu})={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $P(\text{vert})={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Cette loi est-elle valide ?

Yasmine lance un dé équilibré $40$ fois et obtient le $6$ à $10$ reprises. Quelle est la fréquence observée du $6$ dans cet échantillon ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance deux dés équilibrés et on s'intéresse à la somme des faces. Karim affirme que la somme peut valoir $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $11$ ou $12$ (soit $11$ valeurs), donc chaque somme a une probabilité de ${\displaystyle \frac{1}{11}}$. Quelle réponse est correcte ?

On lance un dé équilibré à six faces. Soit $A$ = « obtenir un nombre supérieur ou égal à $4$ » et $B$ = « obtenir un nombre pair ». Calcule $P(A\cap B)$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Amine achète un billet à la tombola d'un souk à Marrakech. L'urne contient $20$ billets : $3$ billets gagnants et $17$ billets perdants. Amine tire un billet au hasard. Quelle est la probabilité qu'il tire un billet gagnant ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Un sac contient $5$ billes : $2$ rouges, $2$ bleues et $1$ verte. On tire une bille au hasard. Salma choisit comme univers $\mathrm{\Omega }=\{\text{rouge};\text{bleue};\text{verte}\}$ avec $3$ issues, et conclut $P(\text{rouge})={\displaystyle \frac{1}{3}}$. A-t-elle raison ?

On lance deux dés équilibrés à six faces. L'univers équiprobable est l'ensemble des $36$ couples $(d_1;d_2)$. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un $6$ ? Utilise la formule de l'événement contraire. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance un dé équilibré. On sait que $P(A)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $P(B)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $P(A\cup B)={\displaystyle \frac{2}{3}}$. Calcule $P(A\cap B)$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Salma exécute un programme Python qui simule des lancers d'un dé équilibré. Avec $n=10$, elle obtient une fréquence du $6$ de $\mathrm{0,4}$. Avec $n=10000$, elle obtient $\mathrm{0,168}$. Quelle conclusion est correcte ?

À la kermesse du lycée de Karim à Fès, une roue de loterie est divisée en $8$ secteurs de même taille, numérotés de $1$ à $8$. Les secteurs $1$, $3$ et $7$ sont colorés en rouge (gagnants) ; les autres sont blancs (perdants). Quelle est la probabilité de tomber sur un secteur rouge ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Karim obtient $4$ fois le $6$ en $20$ lancers de son dé, soit une fréquence de ${\displaystyle \frac{4}{20}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$. Yasmine dit que cela ne prouve pas que le dé est truqué, car $20$ lancers est un échantillon trop petit. A-t-elle raison ?

Une expérience aléatoire a trois issues possibles : $A$, $B$ et $C$. On sait que $P(A)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $P(B)={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Quelle est la valeur de $P(C)$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à $4$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Amine écrit le programme Python suivant pour estimer la probabilité du $6$ :

import random
n = 1000
compteur = 0
for _ in range(n):
    de = random.randint(1, 6)
    if de == 6:
        compteur += 1
frequence = compteur / n
print(frequence)

Que peut-on raisonnablement s'attendre à afficher comme résultat ?

Une urne contient $7$ boules : $4$ rouges et $3$ bleues, toutes de même taille. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule rouge ? Utilise la formule de l'événement contraire. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

À la kermesse du lycée de Karim à Fès, une roue de loterie est divisée en $12$ secteurs de même taille, numérotés de $1$ à $12$. Les secteurs numérotés par des multiples de $4$ sont rouges (gagnants) ; les autres sont blancs (perdants).

1. Quel est l'univers $\mathrm{\Omega }$ de cette expérience aléatoire ?
2. Quels secteurs sont gagnants ? Quelle est la probabilité de gagner ?
3. Yasmine joue deux fois. Peut-on dire que, si elle perd la première fois, elle gagnera forcément à la seconde ? Justifie.

On lance deux dés équilibrés à six faces et on veut la probabilité d'obtenir un « double » (les deux dés affichent le même chiffre). Amine raisonne ainsi : « Pour deux dés, je ne regarde pas l'ordre, donc les paires possibles sont $21$ en tout, et il y a $6$ doubles. Donc $P(\text{double})={\displaystyle \frac{6}{21}}={\displaystyle \frac{2}{7}}$. » A-t-il raison ?

Karim a lancé son dé $60$ fois et observé les résultats suivants :

1. Calcule la fréquence observée de chaque face. Vérifie que les six fréquences somment à $1$.
2. Quelle serait la probabilité théorique de chaque face si le dé était équilibré ?
3. La fréquence observée du $6$ est-elle très éloignée de la probabilité théorique ? Peut-on conclure que le dé est truqué avec seulement $60$ lancers ? Justifie.
4. Yasmine propose de simuler $60$ lancers d'un dé honnête en Python. Elle lance le programme $3$ fois et obtient les fréquences du $6$ suivantes : $\mathrm{0,25}$, $\mathrm{0,18}$ et $\mathrm{0,28}$. Que montrent ces résultats ?

On lance deux dés équilibrés à six faces. L'univers équiprobable est l'ensemble des $36$ couples $(d_1;d_2)$, chaque couple ayant la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{36}}$. Calcule la probabilité que la somme $d_1+d_2$ soit égale à $7$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance deux dés équilibrés. L'univers équiprobable est l'ensemble des $36$ couples. Soit $A$ = « la somme vaut $6$ » et $B$ = « le premier dé donne $2$ ». Calcule $P(A\cup B)$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Karim soupçonne son dé d'être truqué en faveur du $6$. Pour trancher, Yasmine lui propose la démarche suivante :

Étape A. Si le dé est honnête, quelle est la probabilité théorique du $6$ ? Quelle est la probabilité de ne pas obtenir $6$ ?

Étape B. Karim lance le dé $600$ fois et obtient $6$ à $112$ reprises. Calcule la fréquence observée du $6$ (sous forme irréductible). Compare-la à la probabilité théorique.

Étape C. Yasmine simule $600$ lancers d'un dé honnête en Python et obtient les fréquences du $6$ suivantes sur trois exécutions : $\mathrm{0,172}$, $\mathrm{0,162}$, $\mathrm{0,175}$. Ces valeurs sont-elles compatibles avec un dé honnête ? La fréquence de Karim l'est-elle également ?

Étape D. Que peut-on conclure sur le dé de Karim ? Quelle erreur commettrait-on en déclarant le dé truqué à partir de seulement $10$ lancers ?

Supposons qu'un dé à six faces soit truqué de la façon suivante : la probabilité de chaque face est proportionnelle au numéro de la face. Autrement dit, $P(k)=c\times k$ pour $k\in \{1;2;3;4;5;6\}$, où $c$ est une constante positive.

1. Détermine la valeur de $c$ en utilisant la condition ${\displaystyle \sum _{k=1}^{6}P(k)=1}$.
2. Calcule $P(6)$ pour ce dé truqué. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance un dé équilibré à six faces. Soit $A$ = « obtenir un nombre impair », $B$ = « obtenir un nombre inférieur ou égal à $4$ ». Calcule $P(A\cup B)$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Yasmine veut estimer la probabilité qu'en lançant deux dés équilibrés, la somme soit strictement supérieure à $8$. Elle décide d'utiliser à la fois le calcul théorique et la simulation Python.

1. En dénombrant les couples $(d_1;d_2)$ favorables parmi les $36$ possibles, calcule la probabilité théorique $P(\text{somme}>8)$.
2. Yasmine écrit un programme Python qui simule $n=100000$ lancers de deux dés et compte les paires dont la somme dépasse $8$. Elle obtient une fréquence de $\mathrm{0,2773}$. Compare ce résultat à la probabilité théorique.
3. Salma remarque que la somme peut valoir $9$, $10$, $11$ ou $12$ — soit $4$ valeurs sur $11$ — et conclut $P(\text{somme}>8)={\displaystyle \frac{4}{11}}$. Quel est son erreur ?

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. Le jeu contient $4$ couleurs (pique, cœur, carreau, trèfle) et $8$ valeurs (as, $7$, $8$, $9$, $10$, valet, dame, roi). Soit $A$ = « tirer un roi » et $B$ = « tirer une carte de cœur ». Calcule $P(A\cup B)$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

À la kermesse de son lycée à Rabat, Amine parie $10$ dh sur le résultat d'un jeu : on lance un dé équilibré, et Amine gagne $30$ dh si le dé donne un nombre pair, et perd sa mise sinon.

1. Quelle est la probabilité qu'Amine gagne ?
2. Quelle est la probabilité qu'Amine perde ?
3. Amine joue $100$ fois. Combien de fois peut-il espérer gagner, environ ? Justifie en utilisant la loi des grands nombres.
4. Karim affirme : « Amine a perdu les $5$ premiers lancers, donc il va forcément gagner le suivant pour rééquilibrer. » Réfute cette affirmation.

Un sac contient $10$ billes : $4$ rouges, $3$ bleues et $3$ vertes, toutes de même taille. On tire une bille au hasard. Soit $A$ = « tirer rouge ou bleue ». Calcule $P(A)$ à partir de la formule de la réunion, puis vérifie avec le contraire. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance deux dés équilibrés. L'univers est les $36$ couples équiprobables $(d_1;d_2)$. Karim affirme que la probabilité d'obtenir une somme paire est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, « car sur les $11$ sommes possibles, exactement $5$ sont paires ($2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ font $6$ mais Karim en compte $5$) et la moitié environ ». En réalité, quelle est la valeur exacte de $P(\text{somme paire})$ ?

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues, toutes de même taille. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, puis on tire une nouvelle boule. On note la couleur à chaque tirage. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge dans les deux tirages ? Utilise la formule de l'événement contraire. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Yasmine suspecte qu'une roue de loterie à $4$ secteurs n'est pas équilibrée. Sur une roue équilibrée, chaque secteur aurait une probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. Elle simule $1000$ tours de roue honnête en Python et les compare aux résultats observés réels sur $1000$ tours de la vraie roue.

Résultats observés sur la vraie roue ($1000$ tours) :

Résultats de la simulation d'une roue honnête ($1000$ tours, une exécution) :

1. Calcule la fréquence observée de chaque secteur sur la vraie roue.
2. Quelle serait la probabilité théorique de chaque secteur si la roue était équilibrée ?
3. Compare les fréquences de la vraie roue à celles de la simulation. La vraie roue semble-t-elle déséquilibrée ?
4. Peut-on conclure avec certitude que la roue est truquée à partir de $1000$ tours ? Justifie.

On lance deux dés équilibrés à six faces. L'univers équiprobable est l'ensemble des $36$ couples. Quelle est la probabilité que les deux dés affichent la même valeur ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Salma propose la loi de probabilité suivante pour une expérience à $4$ issues : $P(A)=\mathrm{0,4}$, $P(B)=\mathrm{0,3}$, $P(C)=\mathrm{0,2}$, $P(D)=\mathrm{0,2}$. Quelle affirmation est correcte ?

On lance un dé à $4$ faces numérotées $1$, $2$, $3$, $4$ et un dé à $6$ faces numérotées $1$ à $6$, tous deux équilibrés. L'univers équiprobable est l'ensemble des $4\times 6=24$ couples $(d_1;d_2)$. Quelle est la probabilité que la somme $d_1+d_2$ soit paire ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Une urne contient $10$ boules : $3$ rouges, $4$ bleues et $3$ vertes, toutes de même taille. On tire une boule au hasard. Soit $A$ = « rouge ou verte » et $B$ = « bleue ou verte ». Calcule $P(A\cap B)$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Amine veut estimer la probabilité que la somme de deux dés équilibrés soit strictement supérieure à $9$. Il écrit ce programme Python :

import random
n = 50000
compteur = 0
for _ in range(n):
    d1 = random.randint(1, 6)
    d2 = random.randint(1, 6)
    if d1 + d2 > 9:
        compteur += 1
print(compteur / n)

La probabilité théorique exacte est ${\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,167}$. Quelle valeur Amine peut-il raisonnablement s'attendre à obtenir ?

Une urne contient $5$ boules numérotées : $3$ rouges (numéros $1$, $2$, $3$) et $2$ bleues (numéros $4$, $5$), toutes de même taille. On tire successivement deux boules sans remise (la première tirée n'est pas remise avant le second tirage). L'univers équiprobable est l'ensemble des couples ordonnés $(b_1;b_2)$ de boules distinctes : il y en a $5\times 4=20$.

Quelle est la probabilité que les deux boules tirées soient toutes les deux rouges ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Karim, Yasmine et Amine étudient un dé à six faces gagné à la kermesse de leur lycée à Fès. Ils veulent savoir si ce dé favorise les grandes valeurs ($4$, $5$ ou $6$).

Partie théorique (dé honnête)

1. Sur un dé honnête, quelle est la probabilité $P(G)$ de l'événement $G$ = « obtenir $4$, $5$ ou $6$ » ? Quelle est $P(\bar{G})$ ?

2. Soit $P$ = « obtenir un nombre pair » et $G$ = « obtenir $4$, $5$ ou $6$ ». Calcule $P(P\cap G)$ et $P(P\cup G)$ sur un dé honnête.

Partie expérimentale

3. Karim lance le dé $300$ fois et obtient $4$, $5$ ou $6$ à $170$ reprises. Calcule la fréquence observée $f(G)$. L'arrondir à ${10}^{-4}$ près.

4. Yasmine remarque que $f(G)={\displaystyle \frac{170}{300}}\approx \mathrm{0,5}\bar{6}$ et conclut : « La fréquence est bien plus haute que $\mathrm{0,5}$, le dé est truqué. » Amine répond : « $300$ lancers, c'est peut-être encore trop peu. » Qui a raison ? Justifie en évoquant la fluctuation d'échantillonnage et la loi des grands nombres.