Géométrie repérée : droites et cercles

Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite

Reprenons le fil de la 2ᵈᵉ. Une droite, c'est avant tout une direction, et cette direction se lit sur un vecteur. Dans un repère orthonormé, déplacer le point le long de la droite, c'est ajouter sans cesse un même vecteur : le vecteur directeur. Tout l'art de la géométrie repérée consiste à traduire cette propriété géométrique — « être aligné avec un vecteur » — en une équation portant sur les coordonnées.

Une droite a une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux. Si $\vec{u}(2;3)$ en est un, alors $\vec{u}(4;6)$ et $\vec{u}(-2;-3)$ en sont aussi : seule la direction compte, ni la longueur ni le sens.

Exemple 1. Soit $A(1;2)$ et $B(5;4)$. Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\overrightarrow{AB}(5-1;4-2)=(4;2)\mathrm{.}$ On peut le simplifier en $\vec{u}(2;1)$, colinéaire et plus maniable.

De la direction à l'équation cartésienne

Comment passer d'un vecteur directeur à une équation ? Un point $M(x;y)$ appartient à $(d)$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire au vecteur directeur $\vec{u}$. La condition de colinéarité (déterminant nul, vue en 2ᵈᵉ) se développe en une équation de la forme $ax+by+c=0$.

Retiens la mécanique : on prend les coefficients $a$ et $b$, on les échange et on change le signe du premier. Ce $\vec{u}(-b;a)$ est le pont central entre l'algèbre de l'équation et la géométrie de la direction.

Exemple 2. Cherchons une équation cartésienne de la droite passant par $A(1;2)$ de vecteur directeur $\vec{u}(2;1)$. Un point $M(x;y)$ est sur $(d)$ si $\overrightarrow{AM}(x-1;y-2)$ est colinéaire à $\vec{u}(2;1)$, c'est-à-dire si le déterminant est nul : $(x-1)\times 1-(y-2)\times 2=0.$ On développe : $x-1-2y+4=0$, soit $x-2y+3=0.$ On vérifie le vecteur directeur : ici $a=1$ et $b=-2$, donc $\vec{u}(-b;a)=(2;1)$. C'est bien celui de départ.

Le piège de la confusion direction / coefficients

L'erreur la plus tenace consiste à lire le vecteur directeur comme $(a;b)$ au lieu de $(-b;a)$. Pour $2x+3y-6=0$, le vecteur directeur est $(-3;2)$, pas $(2;3)$. Un moyen de t'en assurer : deux points de cette droite sont $(3;0)$ et $(0;2)$, et le vecteur entre eux est $(-3;2)$. Le couple $(a;b)=(2;3)$ joue un tout autre rôle, que la leçon suivante va révéler.

Vecteur normal et équation d'une droite

Voici la grande nouveauté de la 1ʳᵉ, celle que la 2ᵈᵉ ne pouvait pas offrir. Grâce au produit scalaire, on peut désormais décrire une droite par une direction qui lui est perpendiculaire. C'est souvent plus naturel : quand un architecte trace une façade, il pense à la direction « droit devant », perpendiculaire au mur, autant qu'à la direction du mur lui-même.

Rappelle-toi : deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul. Le vecteur normal est donc le vecteur dont le produit scalaire avec le vecteur directeur s'annule.

Exemple 1. La droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{u}(2;1)$ a pour vecteur normal tout $\vec{n}(a;b)$ tel que $\vec{u}\cdot \vec{n}=0$, soit $2a+b=0$. Le choix $\vec{n}(1;-2)$ convient : $2\times 1+1\times (-2)=0$. On retrouve la mécanique « échanger et changer un signe », mais cette fois pour passer de la direction à la normale.

Le lien magique avec l'équation cartésienne

Voici le résultat qui éclaire tout le chapitre. Les coefficients $a$ et $b$ de l'équation cartésienne, qui semblaient mystérieux, sont en réalité les coordonnées d'un vecteur normal.

C'est limpide : le vecteur directeur est $(-b;a)$, le vecteur normal est $(a;b)$, et leur produit scalaire vaut $(-b)\times a+a\times b=0$. Ils sont bien orthogonaux. Lire une équation cartésienne, c'est donc lire directement un vecteur normal sur ses deux premiers coefficients.

Exemple 2. La droite $3x-4y+7=0$ a pour vecteur normal $\vec{n}(3;-4)$ et pour vecteur directeur $\vec{u}(4;3)$. Inversement, pour trouver l'équation de la droite passant par $A(2;1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3;-4)$, on écrit que pour tout point $M(x;y)$ de la droite, $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AM}=0$ : $3(x-2)-4(y-1)=0,$ ce qui donne $3x-6-4y+4=0$, soit $3x-4y-2=0.$ La méthode « point + vecteur normal » est l'une des plus efficaces du chapitre : le produit scalaire $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AM}=0$ donne l'équation en une ligne.

Le piège de la confusion normal / directeur

Karim, devant l'équation $2x+3y-6=0$, affirme que $(2;3)$ est le vecteur directeur. C'est faux : $(2;3)$ est le vecteur normal, et le vecteur directeur est $(-3;2)$. La règle est nette : pour une équation $ax+by+c=0$, le couple $(a;b)$ lu tel quel est la normale ; il faut l'échanger et changer un signe pour obtenir la direction. Confondre les deux fausse tout calcul de parallélisme ou de perpendicularité.

L'équation d'un cercle

Passons des droites aux courbes. Un cercle se définit par une condition de distance : c'est l'ensemble des points situés à une distance fixe d'un centre. Or le produit scalaire t'a donné la formule de la distance dans un repère orthonormé. Mettre un cercle en équation, c'est simplement traduire « la distance au centre vaut $r$ » en coordonnées.

Dans un repère orthonormé, $\mathrm{\Omega }M=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$. Écrire $\mathrm{\Omega }M=r$, puis élever au carré pour faire disparaître la racine, donne l'équation du cercle.

C'est l'équation à connaître par cœur. Le centre se lit dans les parenthèses (avec un signe opposé : $(x-a{)}^2$ donne l'abscisse $a$), et le rayon est la racine carrée du membre de droite.

Exemple 1. Le cercle de centre $\mathrm{\Omega }(3;-2)$ et de rayon $5$ a pour équation $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=25.$ Attention au signe : $(y-(-2){)}^2=(y+2{)}^2$, et $25=5^2$.

Exemple 2. Réciproquement, lisons le cercle d'équation $(x+1{)}^2+(y-4{)}^2=9$. Le centre est $\mathrm{\Omega }(-1;4)$ — on inverse les signes dans les parenthèses — et le rayon vaut $r=\sqrt{9}=3$.

La forme développée

On rencontre souvent un cercle sous une forme développée, par exemple $x^2+y^2-6x+4y-12=0$. Il faut alors retrouver le centre et le rayon, en reconstituant les carrés — la technique de la forme canonique vue avec le second degré.

Exemple 3. Soit $x^2+y^2-6x+4y-12=0$. On regroupe les $x$ et les $y$ : $(x^2-6x)+(y^2+4y)-12=0.$ On complète chaque carré : $x^2-6x=(x-3{)}^2-9$ et $y^2+4y=(y+2{)}^2-4$. D'où $(x-3{)}^2-9+(y+2{)}^2-4-12=0,$ soit $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=25$. C'est le cercle de centre $\mathrm{\Omega }(3;-2)$ et de rayon $5$.

Le piège du signe et du rayon

Deux erreurs reviennent sans cesse. D'abord le signe du centre : dans $(x-a{)}^2$, le centre a pour abscisse $+a$, pas $-a$. Pour $(x+1{)}^2$, le centre est en $-1$, car $x+1=x-(-1)$. Ensuite le rayon : le membre de droite est $r^2$, donc le rayon est sa racine. Si l'équation est $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=16$, le rayon est $4$ et non $16$. Salma écrit souvent « rayon $=16$ » : c'est oublier d'extraire la racine.

Positions relatives et intersections

Une fois droites et cercles mis en équation, on peut répondre par le calcul à toutes les questions de position : une droite coupe-t-elle un cercle ? Deux droites sont-elles perpendiculaires ? Tout se ramène à du produit scalaire et à de la résolution d'équations.

Perpendicularité et parallélisme de deux droites

Exemple 1. Les droites $2x+3y-1=0$ et $3x-2y+5=0$ ont pour vecteurs normaux $\overrightarrow{n_1}(2;3)$ et $\overrightarrow{n_2}(3;-2)$. Leur produit scalaire vaut $2\times 3+3\times (-2)=6-6=0$ : les droites sont perpendiculaires. On aurait pu raisonner sur les directeurs $(-3;2)$ et $(2;3)$, dont le produit scalaire vaut aussi $0$.

Position d'une droite par rapport à un cercle

Pour savoir si une droite coupe un cercle, le plus fiable est de comparer la distance du centre à la droite au rayon. Si cette distance est inférieure au rayon, la droite traverse (deux points) ; égale, elle est tangente (un point) ; supérieure, elle ne touche pas le cercle.

Exemple 2. On peut aussi trouver les points d'intersection par le calcul, en substituant. Cherchons l'intersection de la droite $y=x+1$ et du cercle $x^2+y^2=25$. On remplace $y$ par $x+1$ : $x^2+(x+1{)}^2=25.$ On développe : $x^2+x^2+2x+1=25$, soit $2x^2+2x-24=0$, donc $x^2+x-12=0$. Le discriminant vaut $\mathrm{\Delta }=1+48=49>0$ : deux solutions, $x=3$ et $x=-4$. Les points d'intersection sont $(3;4)$ et $(-4;-3)$. Le signe de $\mathrm{\Delta }$ tranche : positif, deux points ; nul, tangence ; négatif, aucun point.

Le piège de la tangente confondue avec l'intersection simple

Devant l'équation de substitution, ne te précipite pas. Un discriminant nul ne signifie pas « pas de solution » mais « une solution double » : la droite est tangente, elle touche le cercle en un point. Karim conclut parfois « $\mathrm{\Delta }=0$ donc pas d'intersection » : c'est une confusion. $\mathrm{\Delta }=0$ correspond à la tangence (un point), et c'est seulement $\mathrm{\Delta }<0$ qui signifie aucun point commun.

Applications repérées (médiatrice, hauteur, tangente)

Réunissons tous les outils. Trois constructions classiques de géométrie — la médiatrice, la hauteur d'un triangle, la tangente à un cercle — deviennent, en repère, de simples calculs d'équations. Chacune mobilise un vecteur normal bien choisi.

Médiatrice d'un segment

La médiatrice de $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par son milieu. En repère, elle a donc pour vecteur normal $\overrightarrow{AB}$ et passe par le milieu $I$ de $[AB]$.

Exemple 1. Médiatrice de $[AB]$ avec $A(1;2)$ et $B(5;4)$. Le milieu est $I\text{\hspace{0.17em}⁣}({\displaystyle \frac{1+5}{2}};{\displaystyle \frac{2+4}{2}})=I(3;3)$. Un vecteur normal est $\overrightarrow{AB}(4;2)$, que l'on simplifie en $\vec{n}(2;1)$. L'équation s'écrit $\vec{n}\cdot \overrightarrow{IM}=0$ : $2(x-3)+1(y-3)=0⟹2x+y-9=0.$

Hauteur d'un triangle

La hauteur issue de $A$ dans un triangle $ABC$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(BC)$. Elle a donc pour vecteur normal $\overrightarrow{BC}$ et passe par $A$.

Exemple 2. Dans le triangle $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(1;3)$, trouvons la hauteur issue de $A$. Elle est perpendiculaire à $(BC)$, de vecteur $\overrightarrow{BC}(1-4;3-0)=(-3;3)$, que l'on simplifie en $\vec{n}(-1;1)$. Elle passe par $A(0;0)$, d'où $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AM}=0$ : $-1(x-0)+1(y-0)=0⟹-x+y=0,$ soit $y=x$. La hauteur issue de $A$ est la droite $y=x$.

Tangente à un cercle en un point

La tangente à un cercle en un point $T$ est perpendiculaire au rayon $[\mathrm{\Omega }T]$ en ce point. Son vecteur normal est donc $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }T}$, et elle passe par $T$.

Exemple 3. Tangente au cercle de centre $\mathrm{\Omega }(0;0)$ et de rayon $5$ au point $T(3;4)$ (qui est bien sur le cercle : $3^2+4^2=25$). Le vecteur normal est $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }T}(3;4)$. La tangente passe par $T(3;4)$ : $3(x-3)+4(y-4)=0⟹3x+4y-25=0.$

Le piège du vecteur normal mal choisi

Le fil rouge de ces trois constructions est le même : identifier le bon vecteur normal. Salma confond parfois médiatrice et hauteur, ou prend $\overrightarrow{AB}$ comme directeur de la médiatrice alors qu'il en est le normal. Demande-toi toujours : « à quoi ma droite est-elle perpendiculaire ? » La réponse donne le vecteur normal, et $\vec{n}\cdot \overrightarrow{IM}=0$ (ou $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AM}=0$) donne l'équation. Médiatrice : perpendiculaire à $[AB]$, passe par le milieu. Hauteur issue de $A$ : perpendiculaire à $(BC)$, passe par $A$. Tangente en $T$ : perpendiculaire au rayon, passe par $T$.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre vecteur normal et vecteur directeur. Pour $ax+by+c=0$, le couple $(a;b)$ lu tel quel est le vecteur normal $\vec{n}$, et le vecteur directeur est $\vec{u}(-b;a)$. Pour $2x+3y-6=0$ : normale $(2;3)$, direction $(-3;2)$. Inverser les deux fausse tout test de parallélisme ou de perpendicularité. Mémo : la normale se lit « telle quelle », la direction se lit « échangée et avec un signe changé ».

Piège 2 : se tromper sur le signe du centre du cercle. Dans $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$, le centre est $\mathrm{\Omega }(a;b)$, donc on inverse le signe lu dans la parenthèse. Pour $(x+1{)}^2+(y-4{)}^2=9$, le centre est $(-1;4)$, pas $(1;-4)$. Le $+1$ donne une abscisse $-1$.

Piège 3 : confondre $r$ et $r^2$. Le second membre de l'équation du cercle est $r^2$, pas $r$. Pour $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=16$, le rayon est $\sqrt{16}=4$, pas $16$. Oublier la racine carrée est l'erreur la plus fréquente sur les cercles.

Piège 4 : croire qu'une droite et un cercle se coupent toujours en deux points. Selon la distance du centre à la droite, il peut y avoir deux points, un seul (tangence) ou aucun. Dans l'équation de substitution, le discriminant tranche : $\mathrm{\Delta }>0$ deux points, $\mathrm{\Delta }=0$ un point (tangente), $\mathrm{\Delta }<0$ aucun. Un $\mathrm{\Delta }=0$ n'est pas « pas de solution », c'est une solution double.

Piège 5 : oublier de prendre le milieu pour la médiatrice. La médiatrice de $[AB]$ a bien $\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal, mais elle ne passe pas par $A$ ni par $B$ : elle passe par le milieu $I$ de $[AB]$. Utiliser $A$ au lieu de $I$ donne une parallèle à la médiatrice, décalée. Calcule toujours $I$ d'abord.

Piège 6 : utiliser ces formules dans un repère non orthonormé. La formule de distance $\mathrm{\Omega }M=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$, l'équation du cercle, le critère d'orthogonalité par produit scalaire : tout cela suppose un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, ces expressions ne valent plus. Vérifie toujours que le repère est orthonormé avant d'appliquer une distance ou une orthogonalité.

Application concrète

Yasmine est stagiaire au service d'urbanisme de Marrakech. On lui confie un plan du Guéliz dans un repère orthonormé (unité : l'hectomètre). Deux avenues rectilignes et un rond-point doivent être étudiés. L'avenue Mohammed VI est modélisée par la droite $(d_1)$ passant par $A(0;1)$ et $B(4;3)$. Le rond-point central est le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\mathrm{\Omega }(2;2)$ et de rayon $\sqrt{5}$. Yasmine doit déterminer plusieurs éléments du plan.

Étape 1 — Équation de l'avenue $(d_1)$. Un vecteur directeur est $\overrightarrow{AB}(4;2)$, simplifié en $\vec{u}(2;1)$ ; un vecteur normal est donc $\vec{n}(1;-2)$ (car $\vec{u}\cdot \vec{n}=2-2=0$). L'équation s'obtient par $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AM}=0$ avec $A(0;1)$ : $1(x-0)-2(y-1)=0⟹x-2y+2=0.$

Étape 2 — Équation du rond-point $\mathcal{C}$. Centre $\mathrm{\Omega }(2;2)$, rayon $\sqrt{5}$, donc $r^2=5$ : $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=5.$

Étape 3 — L'avenue traverse-t-elle le rond-point ? On substitue $(d_1)$ dans $\mathcal{C}$. De $x-2y+2=0$ on tire $x=2y-2$. On reporte : $(2y-2-2{)}^2+(y-2{)}^2=5⟹(2y-4{)}^2+(y-2{)}^2=5.$ On développe : $4y^2-16y+16+y^2-4y+4=5$, soit $5y^2-20y+15=0$, donc $y^2-4y+3=0$. Le discriminant vaut $\mathrm{\Delta }=16-12=4>0$ : deux solutions, $y=3$ et $y=1$. L'avenue traverse le rond-point en deux points.

Étape 4 — Coordonnées des points d'entrée et de sortie. Pour $y=3$ : $x=2\times 3-2=4$, point $(4;3)$ (c'est $B$). Pour $y=1$ : $x=2\times 1-2=0$, point $(0;1)$ (c'est $A$). L'avenue entre dans le rond-point en $A(0;1)$ et en ressort en $B(4;3)$.

Étape 5 — Tangente perpendiculaire au croisement. Au point de sortie $B(4;3)$, Yasmine veut tracer la tangente au rond-point, pour dimensionner l'accotement. Cette tangente est perpendiculaire au rayon $[\mathrm{\Omega }B]$. Le vecteur normal est $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }B}(4-2;3-2)=(2;1)$, et la tangente passe par $B(4;3)$ : $2(x-4)+1(y-3)=0⟹2x+y-11=0.$

Conclusion. En quelques équations, Yasmine a tout obtenu : l'équation des deux objets, les points de croisement, et la tangente au rond-point. La géométrie repérée a transformé un problème de plan d'urbanisme en une suite de calculs fiables et automatisables. C'est exactement ce que fait, à grande échelle, un logiciel de cartographie. Cette même démarche, enrichie en terminale par les coniques (ellipses, paraboles) et en classes préparatoires par la géométrie vectorielle en dimension quelconque, est le socle de toute géométrie analytique.

À retenir