62 exercices pour t'entraîner sur Géométrie repérée : droites et cercles en 1ʳᵉ, du QCM à la démonstration. 20 corrigés en détail ci-dessous. Revoir le cours.
On considère la droite d'équation . Quel vecteur est un vecteur directeur de cette droite ?
A
Pour une droite , un vecteur directeur est . Ici et , donc .
Si tu as répondu B, tu as lu : c'est le vecteur normal, pas le directeur. Mémo : on échange les coefficients et on change le signe du premier. Cette distinction normal / directeur est le cœur du chapitre.
On considère la droite d'équation . Quel vecteur est un vecteur normal de cette droite ?
A
Pour une droite , un vecteur normal est , lu directement sur les deux premiers coefficients. Ici et , donc .
Si tu as répondu B, tu as donné le vecteur directeur . Le normal se lit « tel quel », le directeur s'obtient en échangeant et changeant un signe.
Quel est le centre du cercle d'équation ?
A
Le cercle a pour centre . On inverse les signes lus dans les parenthèses : donne , et donne . Donc .
Si tu as répondu D, tu as gardé le signe de chaque parenthèse au lieu de l'inverser. Le donne une ordonnée .
Quel est le rayon du cercle d'équation ?
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Dans l'équation , le second membre est , pas . Ici , donc .
Si tu as répondu , tu as oublié d'extraire la racine carrée : c'est l'erreur la plus fréquente sur les cercles. Le membre de droite est toujours le carré du rayon.
Quelle est l'équation du cercle de centre et de rayon ?
A
L'équation est avec , , . On obtient , soit .
Si tu as répondu C, tu as écrit au lieu de : le second membre est . Si tu as répondu D, tu as oublié d'inverser le signe de , ce qui donne .
Les vecteurs et sont orthogonaux.
A
Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul. Ici . Ils sont donc bien orthogonaux.
C'est exactement la mécanique « échanger et changer un signe » qui relie un vecteur directeur à un vecteur normal : et sont perpendiculaires.
Soit et . Quel est un vecteur directeur de la droite ?
A
Un vecteur directeur de est .
Si tu as répondu B, tu as additionné les coordonnées au lieu de les soustraire. Si tu as répondu D, tu as inversé l'ordre des coordonnées. se lit comme un déplacement de vers .
Le cercle d'équation a pour rayon .
B
C'est faux. Le second membre de l'équation est , donc et le rayon vaut , pas .
L'erreur classique est de prendre directement le membre de droite comme rayon. Pense toujours à extraire la racine carrée : ici le rayon est .
Le point appartient à la droite d'équation .
A
Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient l'équation. On remplace : . L'égalité est satisfaite, donc est bien sur la droite.
Le réflexe est toujours le même : substituer les coordonnées du point dans l'équation et vérifier que l'on obtient bien .
Quel est le centre du cercle d'équation ?
A
L'équation s'écrit . Le centre est donc , l'origine, et le rayon vaut .
Un cercle centré à l'origine a toujours une équation de la forme . Ne confonds pas le centre (ici l'origine) avec le rayon (ici ).
Le vecteur est un vecteur normal de la droite d'équation .
A
Pour une droite , le vecteur normal est . Ici et , donc est bien un vecteur normal.
On lit le vecteur normal directement sur les deux premiers coefficients de l'équation. Le vecteur directeur serait, lui, .
Le cercle a pour équation . Quel est son rayon ?
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Le second membre vaut , donc .
N'oublie pas la racine carrée : le membre de droite est le carré du rayon. Le centre de ce cercle est par ailleurs .
Le cercle d'équation a pour centre . Quelle est l'abscisse de ?
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Dans , le centre est . Ici , donc l'abscisse du centre est .
On inverse le signe lu dans la parenthèse : un correspond à une abscisse .
On considère la droite d'équation . Quel est un vecteur directeur de cette droite ?
A
Pour , un vecteur directeur est . Ici et , donc .
Si tu as répondu B, tu as lu , qui est le vecteur normal. Attention au double signe : .
Quelle est l'équation du cercle de centre l'origine et de rayon ?
A
Un cercle de centre l'origine et de rayon a pour équation . Ici , donc et l'équation est .
Si tu as répondu B, tu as écrit au lieu de . Le second membre est toujours le carré du rayon.
Les droites et sont perpendiculaires.
A
Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Les normaux sont et . Leur produit scalaire vaut : ils sont orthogonaux, donc les droites sont bien perpendiculaires.
On lit les normaux directement sur les coefficients, puis on teste l'orthogonalité par le produit scalaire.
Soit et . Quel est le milieu du segment ?
A
Le milieu de a pour coordonnées .
Si tu as répondu B, tu as additionné les coordonnées sans diviser par . Le milieu est la moyenne des coordonnées. Tu en auras besoin pour la médiatrice.
Quelle est l'équation cartésienne de la droite de vecteur normal passant par l'origine ?
A
Une droite de vecteur normal a une équation de la forme . Ici donne . Comme elle passe par l'origine : , donc . L'équation est .
Le vecteur normal donne directement les coefficients devant et . Le passage par un point fixe .
Le point appartient au cercle d'équation .
A
Un point appartient au cercle si ses coordonnées vérifient l'équation. On remplace : . L'égalité est satisfaite, donc est bien sur le cercle.
Comme pour une droite, le test d'appartenance consiste à substituer les coordonnées et vérifier l'égalité. Ici est à distance de l'origine, soit le rayon.
Sur le plan du Guéliz à Marrakech (en hectomètres), Amine repère un rond-point modélisé par le cercle d'équation . Donne le centre et le rayon de ce rond-point.
Le centre est et le rayon est (soit hectomètres).
On compare à la forme générale .
Le centre s'obtient en inversant les signes des parenthèses : donne , donne , d'où .
Le rayon est la racine du second membre : , donc .
Le rond-point a donc son centre au point du plan et un rayon de hectomètres. Pense toujours à extraire la racine : le rayon n'est pas mais .
Quelle est l'équation cartésienne de la droite passant par et de vecteur normal ?
Quelle est une équation cartésienne de la droite passant par et de vecteur directeur ?
Les droites et sont perpendiculaires.
Le cercle d'équation a pour centre :
On donne et . Quelle est l'équation du cercle de diamètre ?
Soit et . Quelle est l'équation de la médiatrice de ?
Dans un repère orthonormé, on donne et . Quelle est la distance ?
Un cercle a pour centre et passe par le point . Quel est son rayon ?
Les droites et sont parallèles.
On cherche les points d'intersection de la droite et du cercle . Quels sont ces points ?
Dans le triangle , , , quelle est l'équation de la hauteur issue de ?
Soit le cercle de centre et de rayon . Quelle est l'équation de la tangente au cercle au point ?
On considère le cercle et la droite . Quelle est leur position relative ?
On développe l'équation du cercle de centre et de rayon . Quelle forme développée obtient-on ?
Le vecteur est un vecteur normal de la droite .
Quelle est l'équation de la droite passant par et perpendiculaire à la droite ?
Le cercle d'équation a un rayon. Quel est ce rayon ?
Les droites et sont parallèles.
Le point appartient au cercle d'équation .
À Casablanca, Yasmine modélise deux voies par les droites et . Elle veut savoir si ces deux voies se coupent à angle droit. Détermine si et sont perpendiculaires, en justifiant.
Sur un plan d'Agadir en hectomètres, deux fontaines sont placées en et . La mairie veut un banc à égale distance des deux : il doit donc être sur la médiatrice de . Karim écrit : « La médiatrice est perpendiculaire à , donc son vecteur normal est . Elle passe par , d'où l'équation , soit . » Karim a-t-il raison ?
À Marrakech, deux écoles se trouvent aux points et sur un plan en hectomètres. La municipalité veut construire un terrain de sport à égale distance des deux écoles. L'ensemble de ces points est la médiatrice de .
1. Calcule les coordonnées du milieu de .
2. Donne un vecteur normal de la médiatrice.
3. Détermine l'équation cartésienne de la médiatrice.
Karim affirme : « La droite a pour vecteur directeur , donc elle est perpendiculaire à la droite . » Que penser de son raisonnement ?
On considère le cercle et la droite . En combien de points la droite coupe-t-elle le cercle ?
À Marrakech, un rond-point est modélisé par le cercle de centre et de rayon . Une nouvelle rue doit être tangente au rond-point au point , situé sur le cercle. Salma doit trouver l'équation de cette rue.
1. Vérifie que appartient bien au cercle.
2. Donne un vecteur normal de la tangente en .
3. Détermine l'équation cartésienne de la tangente.
On cherche les points d'intersection de la droite et du cercle . Quels sont ces points ?
Les trois points , et appartiennent tous au cercle d'équation .
Dans le triangle , , , Salma affirme que la hauteur issue de a pour équation .
On considère le cercle de centre et de rayon , et la droite . Quelle est la position de par rapport à , et combien de points communs ont-ils ?
Quel est le cercle de centre tangent à l'axe des ordonnées (l'axe ) ?
À Casablanca, Amine étudie un plan en hectomètres. Une zone de protection circulaire entoure une antenne située en , avec un rayon de . Une nouvelle voie rectiligne doit passer par les points et . Amine veut savoir si la voie traverse la zone de protection.
1. Détermine une équation cartésienne de la voie .
2. Donne l'équation du cercle délimitant la zone.
3. En comparant la distance du centre à la voie avec le rayon, conclus sur le nombre de points d'intersection.
Quelle est une équation cartésienne de la droite passant par et ?
La droite (l'axe des abscisses) coupe le cercle en deux points. L'un d'eux a pour abscisse . Quelle est l'abscisse de l'autre point d'intersection ?
Un cercle a pour diamètre le segment avec et . Quel est le rayon de ce cercle ?
Dans un repère orthonormé, on considère le point et la droite . On cherche le rayon du cercle de centre tangent à . Quel est ce rayon ?
Quelle est l'équation de la droite passant par et parallèle à la droite ?
Salma affirme que le cercle a pour centre et pour rayon . Combien d'erreurs a-t-elle commises ?
Soit la droite et le point . La perpendiculaire à passant par a pour équation .
On donne et . On considère le cercle de diamètre . Quel est son rayon ?
Quel est le point d'intersection des droites et ?
À Marrakech, Yasmine modélise la zone de couverture d'une antenne par le cercle . Quel est le centre et le rayon de cette zone ?
Yasmine travaille sur un plan ancien de Fès dessiné dans un repère où et ne sont pas orthogonaux et n'ont pas la même norme. Elle lit le point et écrit : « Le cercle de centre et de rayon a pour équation , et un point est sur ce cercle si, et seulement si, . » Son affirmation est-elle correcte dans ce repère ?