Produit scalaire — exercices corrigés

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(3;2)$ et $\vec{v}(4;1)$. Calcule le produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Le résultat d'un produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$ est un nombre réel (un scalaire), pas un vecteur. Est-ce vrai ?

On sait que $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=7$. Calcule le carré scalaire $\vec{u}\cdot \vec{u}$.

Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x^{\mathrm{\prime }};y^{\mathrm{\prime }})$. Quelle expression donne le produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$ ?

Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(3;-2)$. Calcule $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Si l'angle entre deux vecteurs non nuls est aigu, alors leur produit scalaire est strictement positif. Est-ce vrai ?

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vérifient $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=4$, $\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }=5$ et l'angle entre eux vaut $60\mathrm{°}$. Sachant que $\cos 60\mathrm{°}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, calcule $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si :

Si deux vecteurs non nuls forment un angle de $90\mathrm{°}$, alors leur produit scalaire est nul. Est-ce vrai ?

Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(5;-2)$ et $\vec{v}(2;3)$. Calcule $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Deux vecteurs vérifient $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=4$, $\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }=5$ et l'angle entre eux vaut $120\mathrm{°}$, avec $\cos 120\mathrm{°}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Que vaut $\vec{u}\cdot \vec{v}$ ? Réponds par un nombre.

La formule $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$ n'est valable que dans un repère orthonormé. Est-ce vrai ?

Quel vecteur est orthogonal à $\vec{u}(3;5)$ ?

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $(d)$ est le point de $(d)$ le plus proche de $M$. Est-ce vrai ?

Dans un triangle $ABC$ avec $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, quelle est la formule d'Al-Kashi pour le côté $a$ ?

Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(3;4)$. Calcule le carré scalaire $\vec{u}\cdot \vec{u}$.

Le produit scalaire $x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$ et le déterminant $x{y}^{\mathrm{\prime }}-x^{\mathrm{\prime }}y$ testent la même propriété géométrique. Est-ce vrai ?

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls vaut $-8$. Que peut-on dire de l'angle entre eux ?

Dans un repère orthonormé, $A(1;1)$, $B(4;3)$ et $C(2;4)$. Calcule $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

Si l'angle $\widehat{A}$ d'un triangle est droit, le théorème d'Al-Kashi redonne le théorème de Pythagore. Est-ce vrai ?

Dans un repère orthonormé, $A(2;1)$, $B(0;4)$ et $C(5;-2)$. Calcule $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(4;-6)$ et $\vec{v}(3;2)$. Karim affirme que ces deux vecteurs sont orthogonaux. A-t-il raison ?

Dans un triangle $ABC$, on a $b=CA=5$, $c=AB=8$ et l'angle $\widehat{A}=60\mathrm{°}$ (avec $\cos 60\mathrm{°}={\displaystyle \frac{1}{2}}$). Calcule la longueur $a=BC$.

Quelle est l'identité remarquable correcte pour $\mathrm{\parallel }\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2$ ?

Une droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}(2;3)$ et une droite $(CD)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{CD}(6;-4)$. Ces deux droites sont-elles perpendiculaires ?

Dans un triangle de côtés $a=7$, $b=5$, $c=8$, que vaut $\cos \widehat{A}$ ?

Salma veut prouver que $\vec{u}(2;4)$ et $\vec{v}(1;2)$ sont perpendiculaires. Elle calcule le déterminant $2\times 2-1\times 4=0$ et conclut « ils sont perpendiculaires ». Son raisonnement est-il correct ?

On sait que $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=3$, $\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }=4$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}=5$. Calcule $\mathrm{\parallel }\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2$.

Soit $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ deux vecteurs, et $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$. Si l'angle entre $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ est obtus, que peut-on dire de $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ ?

Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(4;3)$ et $\vec{v}(x;-8)$. Pour quelle valeur de $x$ les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?

L'égalité $\mathrm{\parallel }\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2=\mathrm{\parallel }\vec{u}{\mathrm{\parallel }}^2+\mathrm{\parallel }\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2$ est vraie pour tous les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Est-ce vrai ?

Dans un repère orthonormé, $A(1;1)$, $B(4;2)$ et $C(0;4)$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?

On sait que $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=5$, $\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }=4$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}=13$. Calcule $\mathrm{\parallel }\vec{u}-\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2$.

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$. Est-ce vrai ?

Dans un triangle $ABC$, $b=CA=3$, $c=AB=4$ et $\widehat{A}=120\mathrm{°}$ (avec $\cos 120\mathrm{°}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$). Que vaut $a^2=B{C}^2$ ?

Dans un repère orthonormé, $\overrightarrow{OA}(4;0)$ et $\overrightarrow{OB}(3;5)$. Le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$ est $H(3;0)$. Calcule $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OH}$.

Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$, on a $\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}$. Est-ce vrai ?

On sait que $\vec{u}\cdot \vec{v}=3$ et $\vec{u}\cdot \vec{w}=-5$. Que vaut $\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})$ ?

Sur un plan du tramway de Rabat (repère orthonormé), une ligne droite a pour vecteur directeur $\vec{u}(3;1)$ et une rue a pour vecteur directeur $\vec{v}(-1;3)$. Yasmine affirme que la rue coupe la ligne de tramway à angle droit. A-t-elle raison ?

On sait que $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=6$, $\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }=8$ et que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Que vaut $\mathrm{\parallel }\vec{u}+\vec{v}\mathrm{\parallel }$ ?

Karim travaille dans un repère orthonormé avec $\vec{u}(3;2)$ et $\vec{v}(4;1)$. Il calcule $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\times 4+2\times 1=14$, puis écrit : « Donc le produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$ a pour coordonnées $(12;2)$, et c'est un vecteur. » Son raisonnement est-il correct ?

Yasmine calcule le produit scalaire de deux vecteurs de normes $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=3$ et $\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }=6$, formant un angle de $150\mathrm{°}$. Elle écrit : « $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\times 6\times \cos 150\mathrm{°}=18\times \mathrm{0,87}\approx \mathrm{15,6}$. » A-t-elle raison ?

Dans un triangle $ABC$, Karim connaît $b=CA=5$, $c=AB=8$ et l'angle $\widehat{A}=60\mathrm{°}$ (avec $\cos 60\mathrm{°}={\displaystyle \frac{1}{2}}$). Il applique Al-Kashi sous la forme $a^2=b^2+c^2+2bc\cos \widehat{A}$ et trouve $a^2=25+64+40=129$. Où est l'erreur ?

Salma connaît $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=3$, $\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }=4$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}=5$. Elle calcule $\mathrm{\parallel }\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2=\mathrm{\parallel }\vec{u}{\mathrm{\parallel }}^2+\mathrm{\parallel }\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2=9+16=25$ et conclut $\mathrm{\parallel }\vec{u}+\vec{v}\mathrm{\parallel }=5$. A-t-elle raison ?

Dans un repère orthonormé, $A(-1;2)$, $B(3;0)$ et $C(2;6)$. Karim affirme que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. A-t-il raison ?

Dans un triangle $ABC$, $b=CA=10$, $c=AB=10$ et l'angle $\widehat{A}=60\mathrm{°}$ (avec $\cos 60\mathrm{°}={\displaystyle \frac{1}{2}}$). Calcule la longueur $a=BC$.

Dans un repère orthonormé, $A(0;0)$, $B(5;1)$ et $C(-1;3)$. Quelle est la nature de l'angle $\widehat{A}$ (l'angle en $A$ du triangle) ?

Yasmine étudie le plan d'un skatepark à Agadir, dans un repère orthonormé d'unité $10$ mètres. Une plateforme triangulaire a pour sommets $A(1;1)$, $B(5;2)$ et $C(2;5)$.

1. Calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. L'angle en $A$ est-il droit ?
2. Calcule les longueurs $AB$ et $AC$. Le triangle est-il isocèle ?
3. Karim affirme : « Puisque $AB=AC$, l'angle en $A$ est forcément droit. » Réfute son raisonnement à l'aide des questions précédentes.

Dans un repère orthonormé, un quadrilatère $ABCD$ a pour diagonales $\overrightarrow{AC}(6;2)$ et $\overrightarrow{BD}(-2;6)$. Ces diagonales sont-elles perpendiculaires ?

Deux routes partent du même rond-point à Fès, l'une de longueur $7$ km, l'autre de longueur $3$ km, formant entre elles un angle de $120\mathrm{°}$ (avec $\cos 120\mathrm{°}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$). Quelle est la distance, à vol d'oiseau, entre les extrémités des deux routes ?

Dans un repère orthonormé, $A(1;2)$, $B(4;3)$ et $C(2;y)$. Pour quelle valeur de $y$ le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?

Un triangle a pour côtés $a=6$, $b=4$ et $c=5$. Yasmine affirme que l'angle $\widehat{A}$ (opposé au côté $a$) est obtus. A-t-elle raison ?

On sait que $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }=2$, $\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }=3$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}=-1$. Que vaut $\mathrm{\parallel }2\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\parallel }}^2$ ?

Sur le port d'Essaouira, deux cordes tirent un même filet, modélisé dans un repère orthonormé d'unité $1$ mètre. La première corde exerce le déplacement $\vec{u}(6;2)$, la seconde $\vec{v}(1;3)$.

1. Calcule $\vec{u}\cdot \vec{v}$. Les deux cordes tirent-elles « plutôt dans le même sens » (produit positif) ou « plutôt en opposition » (produit négatif) ?
2. Calcule $\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }$ et $\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }$.
3. Sachant que $\vec{u}\cdot \vec{v}=\mathrm{\parallel }\vec{u}\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }\cos \theta$, exprime $\cos \theta$ sous forme exacte et indique si l'angle entre les deux cordes est aigu ou obtus.

Dans un repère orthonormé, $\overrightarrow{OA}(5;0)$ et $\overrightarrow{OB}(2;4)$. On note $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$ (l'axe des abscisses). Quelles sont les coordonnées de $H$ ?

Dans un repère orthonormé, $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(1;3)$ et $H(1;0)$. La droite $(CH)$ est-elle la hauteur du triangle $ABC$ issue de $C$ (c'est-à-dire perpendiculaire à $(AB)$) ?

Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(3;4)$ et $\vec{v}(0;5)$. Que vaut $\cos \theta$, où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

Dans un triangle $ABC$, $b=CA=5$, $c=AB=3$ et l'angle $\widehat{A}=120\mathrm{°}$ (avec $\cos 120\mathrm{°}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$). Calcule la longueur $a=BC$.

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, alors $\mathrm{\parallel }\vec{u}+\vec{v}\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }\vec{u}-\vec{v}\mathrm{\parallel }$. Est-ce vrai ?

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $6$. Que vaut $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ ?

Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(k;4)$ et $\vec{v}(6;-3)$. Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?

On développe l'expression $(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})$. À quoi est-elle égale ?

Pour mesurer la largeur d'un bras du Bouregreg entre Rabat et Salé, Amine se place en un point $A$ d'une rive. Il vise deux repères $B$ et $C$ sur la rive opposée. Il mesure $AB=80$ m, $AC=150$ m, et l'angle $\widehat{BAC}=60\mathrm{°}$ (avec $\cos 60\mathrm{°}={\displaystyle \frac{1}{2}}$).

1. Calcule la distance $BC$ entre les deux repères, en mètres.
2. Karim prétend qu'on aurait pu trouver $BC$ par le simple théorème de Pythagore, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$. Explique pourquoi c'est faux ici.
3. Pour quelle valeur de l'angle $\widehat{BAC}$ le calcul de Pythagore de Karim aurait-il été correct ?

Dans un repère orthonormé, $A(0;0)$, $B(2;0)$ et $C(1;\sqrt{3})$. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{A}$ du triangle ?

Salma étudie une figure tracée dans un repère non orthonormé : ses deux axes ne sont pas perpendiculaires. Elle relève $\vec{u}(2;0)$ et $\vec{v}(0;3)$ et déclare : « J'applique $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}=2\times 0+0\times 3=0$, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. » Son raisonnement est-il correct ?