Fonction exponentielle — exercices corrigés

Que vaut $e^0$ ?

Quelle est la dérivée de la fonction $f:x\mapsto e^x$ ?

Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$.

D'après la relation fonctionnelle de l'exponentielle, à quoi est égal $e^{a+b}$ ?

Simplifie $e^3\times e^4$ sous la forme $e^k$.

Par définition, le nombre $e$ est égal à :

Quel est le sens de variation de la fonction $x\mapsto e^x$ sur $\mathbb{R}$ ?

À quoi est égal $e^{-3}$ ?

L'égalité $e^{2+5}=e^2+e^5$ est-elle correcte ?

Simplifie ${\displaystyle \frac{e^7}{e^2}}$ sous la forme $e^k$.

Écris $(e^2{)}^3$ sous la forme $e^k$.

La courbe de la fonction $x\mapsto e^x$ passe par le point de coordonnées $(0;1)$.

On écrit $e^5\times e^4$ sous la forme $e^k$. Donne la valeur de l'exposant $k$.

On écrit ${\displaystyle \frac{e^{10}}{e^4}}$ sous la forme $e^k$. Donne la valeur de l'exposant $k$.

On écrit $(e^4{)}^5$ sous la forme $e^k$. Donne la valeur de l'exposant $k$.

Résous l'équation $e^x=e^4$. Donne la valeur de $x$.

On écrit ${\displaystyle \frac{1}{e^7}}$ sous la forme $e^k$. Donne la valeur de l'exposant $k$.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $x\mapsto e^x$ au point $(0;1)$ vaut $1$.

Une population de bactéries est modélisée par $N(t)=800e^{\mathrm{0,3}t}$, où $t$ est le temps en heures. Quel est l'effectif initial (à $t=0$) ? Réponds par un nombre.

Yasmine place de l'argent sur un livret à Casablanca. Son capital, en dirhams, est modélisé par $C(t)=3000e^{\mathrm{0,05}t}$, où $t$ est le temps en années.

1. Quel est le capital initial placé par Yasmine ?
2. Le capital croît-il ou décroît-il au fil du temps ? Justifie.

Simplifie l'expression ${\displaystyle \frac{e^5\times e^{-2}}{e^1}}$ sous la forme $e^k$.

À quoi est égal $e^{2x}$ ?

Résous l'équation $e^{2x}=e^6$. Donne la valeur de $x$.

Karim simplifie $e^3\times e^5$ et écrit $e^{15}$. Quelle erreur a-t-il commise ?

Résous l'inéquation $e^{x-1}>1$.

Pour tout réel $a$, le produit $e^a\times e^{-a}$ vaut $1$.

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3e^x$. Quelle est sa dérivée $g^{\mathrm{\prime }}$ ?

On compare $e^{-2}$ et $e^3$. L'affirmation « $e^{-2}<e^3$ » est-elle correcte ?

Résous l'équation $e^{x^2}=e^9$ dans $\mathbb{R}$.

On écrit $(e^2{)}^3\times e^{-4}$ sous la forme $e^k$. Donne la valeur de l'exposant $k$.

Résous l'équation $e^x\times (x-5)=0$. Donne la seule solution.

Salma observe la courbe de $x\mapsto e^x$ et affirme : « Pour $x$ très négatif, la courbe finit par toucher l'axe des abscisses, donc $e^x=0$. » Que penser de son raisonnement ?

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=e^{\mathrm{0,2}x}$. Quelle est sa dérivée ?

Une culture de bactéries suit $N(t)=1000e^{\mathrm{0,2}t}$, où $t$ est en heures. Quel est l'effectif au bout de $t=5$ heures ? On donne $e\approx \mathrm{2,718}$ et on arrondit à l'unité.

La fonction $x\mapsto e^x$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$.

On écrit ${\displaystyle \frac{e^{3x}}{e^x\times e^{2x}}}$ sous la forme $e^k$ (où $k$ dépend éventuellement de $x$). Donne la valeur de $k$.

La concentration d'un médicament dans le sang d'un patient à l'hôpital de Rabat suit $C(t)=8e^{-\mathrm{0,3}t}$ (en mg/L, $t$ en heures). Que peut-on dire de cette concentration au fil du temps ?

Pour tout réel $x$, on a $e^{3x}=(e^x{)}^3$.

Amine étudie la fréquentation d'une nouvelle ligne du tramway de Casablanca. Le nombre de voyageurs quotidiens (en milliers) est modélisé par $V(t)=12e^{\mathrm{0,1}t}$, où $t$ est le nombre de mois écoulés depuis l'ouverture. On donne $e^{\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{1,649}$.

1. Combien de voyageurs (en milliers) la ligne accueillait-elle à l'ouverture ?
2. Calcule la fréquentation au bout de $5$ mois, arrondie au millier près.

Combien l'équation $e^x(x^2-4)=0$ a-t-elle de solutions réelles ?

Karim simplifie une expression à Marrakech et tombe sur $e^{-4}$. Il raisonne ainsi : « Un exposant négatif, ça rend la valeur négative, donc $e^{-4}=-e^4$. » A-t-il raison ?

Pour calculer $e^{a+b}$, Salma écrit : « L'exponentielle se distribue sur l'addition, comme quand on développe $k(a+b)=ka+kb$. Donc $e^{a+b}=e^a+e^b$. » Où est l'erreur de raisonnement ?

Yasmine place $5000$ dirhams sur un livret à Casablanca. Le capital, en dirhams, suit $C(t)=5000e^{\mathrm{0,04}t}$, où $t$ est le temps en années. On donne $e^{\mathrm{0,4}}\approx \mathrm{1,492}$ et $e^{\mathrm{0,8}}\approx \mathrm{2,226}$.

1. Justifie que le capital de Yasmine est strictement croissant.
2. Calcule le capital au bout de $10$ ans, arrondi au dirham.
3. Son cousin Karim affirme : « Tu gagnes environ $2459$ dh en $10$ ans, donc en $20$ ans tu gagneras le double, soit environ $9918$ dh au total. » Calcule $C(20)$ et explique pourquoi Karim se trompe.

On veut démontrer, à partir de la seule relation fonctionnelle $e^{a+b}=e^a\times e^b$ et de la valeur $e^0=1$, que pour tout réel $a$, $e^{-a}={\displaystyle \frac{1}{e^a}}$.

Rédige cette démonstration en justifiant chaque étape.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x{e}^x$. Quelle est sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ ?

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)e^x$. Sa dérivée est $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x{e}^x$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?

Résous l'équation $e^{3x-2}=e^{x+6}$. Donne la valeur de $x$.

Une rumeur se propage dans le lycée d'Amine à Marrakech. Le nombre de personnes au courant est modélisé par $P(t)=5e^{\mathrm{0,7}t}$, où $t$ est le nombre de jours. On donne $e^{\mathrm{0,7}}\approx \mathrm{2,014}$ et $e^{\mathrm{1,4}}\approx \mathrm{4,055}$.

Karim affirme : « Le premier jour, on passe de $5$ à environ $10$ personnes, soit $+5$. Donc le deuxième jour on ajoute encore $5$, ce qui fait $15$ personnes au total. »

1. Calcule $P(1)$ et $P(2)$ (arrondis à l'unité).
2. Quel est le véritable accroissement entre $t=1$ et $t=2$ ? Compare-le à celui entre $t=0$ et $t=1$.
3. Explique l'erreur de Karim.

On souhaite résoudre $e^{2x}-e^x=0$. En factorisant par $e^x$, quelle est la solution ?

On note $\mathcal{C}$ la courbe de $f:x\mapsto e^x$. Quelle est l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ ?

Pour tous réels $a$ et $b$, si $e^a=e^b$ alors $a=b$.

Simplifie ${\displaystyle \frac{e^{x+3}\times e^{2x}}{e^{3x}}}$ sous la forme $e^k$. Donne la valeur de l'exposant $k$.

La population d'un village près d'Ifrane décroît à cause de l'exode rural. Elle est modélisée par $P(t)=8000e^{-\mathrm{0,05}t}$, où $t$ est le nombre d'années écoulées. On donne $e^{-\mathrm{0,4}}\approx \mathrm{0,6703}$. Quelle sera la population au bout de $8$ ans, arrondie à l'unité ?

Les fonctions $f:x\mapsto e^x$ et $g:x\mapsto x^2$ ont la même dérivée.

Résous l'inéquation $e^{2x+1}\le e^{x+4}$.

Dans un café de Rabat, Salma laisse refroidir un thé. L'écart de température entre le thé et l'air ambiant, en degrés Celsius, est modélisé par $E(t)=60e^{-\mathrm{0,04}t}$, où $t$ est le temps en minutes. On donne $e^{-\mathrm{0,4}}\approx \mathrm{0,670}$ et $e^{-\mathrm{0,8}}\approx \mathrm{0,449}$.

1. Quel est l'écart de température au moment où Salma pose sa tasse ($t=0$) ?
2. Calcule l'écart au bout de $10$ minutes, puis au bout de $20$ minutes (arrondis au degré).
3. Salma affirme : « L'écart diminue de la même quantité chaque période de $10$ minutes. » A-t-elle raison ? Justifie.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x^2+1}}$. Quelle est l'expression de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ ?

Deux placements sont proposés à Amine. Le premier suit $A(t)=1000e^{\mathrm{0,06}t}$, le second $B(t)=1000e^{\mathrm{0,03}t}$ ($t$ en années). Lequel croît le plus vite, et pourquoi ?

Résous l'équation $e^{4x}=e^2$. Donne la valeur de $x$ sous forme décimale.

La courbe de $x\mapsto e^x$ admet l'axe des abscisses (la droite d'équation $y=0$) comme asymptote horizontale lorsque $x$ devient très négatif.

Amine ouvre un commerce d'épices au souk de Fès. Son chiffre d'affaires mensuel, en milliers de dirhams, est modélisé par $f(t)=4e^{\mathrm{0,08}t}$ pendant les premiers mois, où $t$ est le nombre de mois. On donne $e^{\mathrm{0,8}}\approx \mathrm{2,226}$ et $e^{\mathrm{1,6}}\approx \mathrm{4,953}$.

1. Quel est le chiffre d'affaires du premier mois ($t=0$) ?
2. Justifie, par le calcul de la dérivée, que le chiffre d'affaires est strictement croissant.
3. Calcule $f(10)$ et $f(20)$ (arrondis au millier de dirhams près).
4. Amine veut savoir si son chiffre d'affaires a « plus que doublé » entre le 10ᵉ et le 20ᵉ mois. Réponds en justifiant.

On considère l'expression $A(x)=(x+2)e^x$. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A(x)>0$ ?