Dérivation et applications — exercices corrigés

Le taux de variation d'une fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ (avec $h\mathrm{\ne }0$) est défini par :

Le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ est défini comme la limite du taux de variation quand :

Géométriquement, le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ représente :

Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=x^2$ ?

Quelle est la dérivée de la fonction constante $f(x)=7$ ?

La dérivée de la fonction $f(x)=x^5$ s'écrit $f^{\mathrm{\prime }}(x)=a{x}^4$. Donne la valeur de $a$.

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est :

Sur un intervalle $I$, si $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est :

La dérivée de la fonction $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ est $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$, sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

Soit $f(x)=4x-1$. Calcule le taux de variation de $f$ entre $a=2$ et $a+h$ (pour $h\mathrm{\ne }0$).

Soit $f(x)=x^2$, dont la dérivée est $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x$. Calcule le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(5)$.

Si $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est horizontale.

La dérivée de la fonction $f(x)=x$ est $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1$.

Sur un intervalle où $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$, la fonction $f$ est :

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : $(u+v{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}+v^{\mathrm{\prime }}$.

Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\sqrt{x}$ ?

Soit $f(x)=x^3$, de dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2$. Calcule le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(-3)$, c'est-à-dire la pente de la tangente en $x=-3$.

Dans un tableau de variations, la dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ passe du signe $+$ au signe $-$ en s'annulant en $x_0$. Que peut-on dire de $f$ en $x_0$ ?

Soit $f(x)=3x^2$. Sa dérivée s'écrit $f^{\mathrm{\prime }}(x)=ax$. Donne la valeur de $a$.

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ passe toujours par le point $(a;f(a))$.

Soit $f(x)=x^2$. Après simplification, le taux de variation de $f$ entre $4$ et $4+h$ (avec $h\mathrm{\ne }0$) vaut :

Soit $f(x)=x^2$. À partir du taux simplifié $8+h$ entre $4$ et $4+h$, donne le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(4)$.

Soit $f(x)=x^2$, de dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x$. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a=2$ ?

Soit $f(x)=2x^3-5x^2+7x-3$. Quelle est sa dérivée ?

Soit $f(x)=(x+3)(x^2+1)$. En utilisant la règle du produit, $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ vaut :

Soit $f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x-1}}$ sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Sa dérivée est :

Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-6$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?

Soit $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, de dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. Calcule le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(3)$ et donne-le sous forme a/b irréductible.

Karim affirme : « Pour dériver $f(x)=x\times x^2$, il suffit de multiplier les dérivées : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\times 2x=2x$. » A-t-il raison ?

Soit $f$ une fonction dont la dérivée est $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+1$. Que peut-on dire des variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?

Soit $f(x)=x^3-x$. Quelle est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x=2$ ?

Pour $f(x)=x^2$, Salma écrit la tangente en $a=1$ ainsi : « $f^{\mathrm{\prime }}(1)=2$ et $f(1)=1$, donc la tangente est $y=2x+1$. » Son équation est-elle correcte ?

Soit $f(x)=x^2-6x+5$. En quelle valeur de $x$ la fonction $f$ admet-elle son minimum ?

Soit $f(x)=x^2-6x+5$. On sait que son minimum est atteint en $x=3$. Quelle est la valeur de ce minimum ?

Soit $f(x)=x^4+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Quelle est sa dérivée ?

Si $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)=0$, alors $f$ admet forcément un extremum local en $x_0$.

Une pierre lâchée d'un pont près d'Ifrane a parcouru une distance $d(t)=5t^2$ (en mètres) après $t$ secondes. La vitesse instantanée est la dérivée $d^{\mathrm{\prime }}(t)$. Quelle est la vitesse de la pierre à l'instant $t=2$ s ?

Sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, la fonction $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ vérifie laquelle de ces affirmations ?

Soit $f(x)=x^2-4x+1$. Pour quelle valeur de $x$ la tangente à la courbe est-elle horizontale ?

Amine vend des verres de jus d'orange au souk de Marrakech. S'il fixe le prix à $x$ dirhams, sa recette de la matinée est modélisée par $R(x)=x(30-3x)$, pour $x\in ]0;10[$.

1. Développe $R(x)$, puis calcule sa dérivée $R^{\mathrm{\prime }}(x)$.
2. Détermine le prix $x$ qui annule la dérivée.
3. Ce prix correspond-il à un maximum ou à un minimum de la recette ? Justifie par le signe de $R^{\mathrm{\prime }}$.

Yasmine étudie une fonction $f$ sur l'intervalle $]0;5[$ et constate, après calcul, que $f(x)>0$ pour tout $x$ de cet intervalle. Elle en conclut : « Puisque $f$ est strictement positive sur $]0;5[$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;5[$. » Où est l'erreur de Yasmine ?

Yasmine fabrique une boîte ouverte pour ranger des dattes, à partir d'une plaque de carton carrée de $24$ cm de côté. Elle découpe un carré de côté $x$ à chaque coin, puis relève les bords.

1. Exprime le volume $V(x)$ de la boîte en fonction de $x$.
2. Donne le domaine réaliste de $x$.
3. Calcule $V^{\mathrm{\prime }}(x)$ et factorise-la.
4. Étudie le signe de $V^{\mathrm{\prime }}$ sur le domaine et détermine la valeur de $x$ qui maximise le volume.
5. Quel est le volume maximal ?

Yasmine clôture un enclos rectangulaire pour les chèvres, adossé à un mur, avec $60$ mètres de grillage (le mur forme un côté, le grillage couvre les trois autres). Elle note $x$ la longueur des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Exprime l'aire $A(x)$ en fonction de $x$, et donne le domaine réaliste.
2. Calcule $A^{\mathrm{\prime }}(x)$.
3. Détermine, par le signe de $A^{\mathrm{\prime }}$, la valeur de $x$ qui maximise l'aire.
4. Donne l'aire maximale et les dimensions de l'enclos optimal.

Karim étudie $f(x)=x^3-3x^2+3x$. Il calcule $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2$, constate que $f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$, et conclut : « La fonction admet un extremum en $x=1$. » Karim a-t-il raison ?

Soit $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. En utilisant le taux de variation puis sa limite (sans la formule toute faite), calcule $f^{\mathrm{\prime }}(2)$ et donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Salma découpe une bande de tôle de $40$ cm de long et $x$ cm de large pour fabriquer un petit panneau rectangulaire à l'atelier de son père à Casablanca. La longueur de la bande diminue de $2$ cm pour chaque cm de largeur ajouté : la longueur vaut $40-2x$. L'aire du panneau est $A(x)=x(40-2x)$.

1. Donne le domaine réaliste de $x$.
2. Calcule $A^{\mathrm{\prime }}(x)$ et trouve où elle s'annule.
3. Justifie, par le signe de $A^{\mathrm{\prime }}$, qu'il s'agit d'un maximum.
4. Salma affirme : « L'aire maximale est $400$ cm². » A-t-elle raison ? Corrige si besoin.

Soit $f(x)=x^3-2x+1$. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a=1$ ?

Soit $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x+2}}$ sur $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Que peut-on affirmer sur ses variations ?

Soit $f(x)=x^3-3x$. En quels points $f$ admet-elle des extremums locaux ?

Une coopérative d'huile d'argan près d'Essaouira a un coût de production, en dirhams, modélisé par $C(x)=x^2-40x+500$ pour $x$ litres produits, avec $x\in [5;35]$.

1. Calcule $C^{\mathrm{\prime }}(x)$.
2. Détermine la quantité $x$ qui minimise le coût, par le signe de $C^{\mathrm{\prime }}$.
3. Quel est le coût minimal ?
4. Karim dit : « Comme $C^{\mathrm{\prime }}$ s'annule, on a forcément le coût le plus bas. » Précise pourquoi son raisonnement n'est complet que parce que $C^{\mathrm{\prime }}$ change de signe.

Soit $f(x)=(3x-1)(x^2+2x)$. Quelle est sa dérivée développée ?

Soit $f(x)=x^2+1$. On cherche le point de la courbe où la tangente a pour pente $4$. Donne l'abscisse $x$ de ce point.

Un atelier de poterie à Safi vend $x$ centaines de plats par mois. Son bénéfice mensuel, en milliers de dirhams, est modélisé par $B(x)=-x^3+12x^2-36x+5$, pour $x\in [0;10]$.

1. Calcule $B^{\mathrm{\prime }}(x)$ et factorise-la.
2. Détermine les valeurs de $x$ où $B^{\mathrm{\prime }}$ s'annule.
3. Dresse le tableau de signe de $B^{\mathrm{\prime }}$ sur $[0;10]$ et identifie la nature de chaque point critique.
4. À quelle valeur de $x$ le bénéfice est-il maximal sur $[0;10]$ ? (Compare avec les bornes.)

Salma observe la courbe d'une fonction $f$ : au point d'abscisse $a$, la courbe est très haute (loin au-dessus de l'axe) mais en train de descendre fortement. Salma en déduit : « Puisque la courbe est haute, $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ est un grand nombre positif. » A-t-elle raison ?

Soit $f(x)=x^2$. La tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=2ax-a^2$. Pour quelle valeur de $a>0$ cette tangente passe-t-elle par le point $(0;-4)$ ?

Yasmine dessine un rectangle pour un panneau publicitaire : sa base est sur l'axe des abscisses, et ses deux sommets supérieurs sont sur la courbe de $g(x)=12-x^2$. Le rectangle a pour sommets $(-x;0)$, $(x;0)$, $(x;12-x^2)$ et $(-x;12-x^2)$, avec $0<x<\sqrt{12}$.

1. Exprime l'aire $S(x)$ du rectangle en fonction de $x$ (largeur $\times$ hauteur).
2. Calcule $S^{\mathrm{\prime }}(x)$.
3. Détermine la valeur de $x$ qui maximise l'aire, par le signe de $S^{\mathrm{\prime }}$.
4. Donne l'aire maximale.

Soit $f(x)=\sqrt{x}$, de dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$. Calcule le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(9)$ et donne-le sous forme a/b irréductible.

La courbe d'une fonction $f$ monte sur $]-\mathrm{\infty };-1]$, descend sur $[-1;3]$, puis remonte sur $[3;+\mathrm{\infty }[$. Quel est le tableau de signe de la dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ ?

Amine marche le long d'une route rectiligne (l'axe des abscisses) près de Rabat. Une borne fixe est située au point $B(0;2)$. Quand Amine est à l'abscisse $x$, sa distance au carré à la borne est $d(x)=x^2+4$. Pour simplifier, on minimise plutôt la fonction $g(x)=x^2+4$ (minimiser la distance revient à minimiser son carré).

1. Calcule $g^{\mathrm{\prime }}(x)$.
2. Détermine l'abscisse $x$ qui minimise $g$, par le signe de $g^{\mathrm{\prime }}$.
3. Quelle est la distance minimale d'Amine à la borne (la racine de la valeur minimale de $g$) ?
4. Explique pourquoi minimiser $g(x)=d^2$ revient à minimiser la distance $d$.

Soit $f(x)=x^3$. La pente de la tangente en $x=-2$ et la pente de la tangente en $x=2$ ont la même valeur. Donne cette valeur commune.

Karim conçoit une fenêtre rectangulaire pour un riad de Marrakech. Le périmètre du cadre est imposé à $20$ mètres de bois. Il note $x$ la largeur (en mètres) de la fenêtre.

1. Exprime la hauteur de la fenêtre en fonction de $x$, puis l'aire vitrée $A(x)$.
2. Donne le domaine réaliste de $x$.
3. Calcule $A^{\mathrm{\prime }}(x)$ et détermine la largeur qui maximise l'aire vitrée.
4. Karim affirme que la fenêtre optimale est un carré. A-t-il raison ? Donne l'aire maximale.

Karim, à Marrakech, veut calculer le nombre dérivé de $f(x)=x^2$ en $a=4$ à partir de la définition. Il écrit : « Le nombre dérivé est la limite du taux ${\displaystyle \frac{f(4+h)-f(4)}{h}}$ quand $h\to 0$. Pour aller plus vite, je remplace directement $h$ par $0$ : ${\displaystyle \frac{f(4)-f(4)}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}=0$, donc $f^{\mathrm{\prime }}(4)=0$. » Son raisonnement est-il correct ?