Variations et extremums de fonctions

Croissance et décroissance

Une fonction « monte » ou « descend » : tout le monde le sent en regardant une courbe. Mais une intuition de l'œil ne suffit pas en mathématiques. Il faut une définition qui ne dépende ni du dessin, ni de l'humeur. L'idée est simple à formuler : une fonction croît quand des entrées plus grandes donnent des sorties plus grandes — l'ordre des nombres est conservé.

Lis bien la croissance comme un transport de l'ordre : si tu ranges deux entrées de la plus petite à la plus grande, leurs images sortent dans le même ordre. La décroissance fait l'inverse : elle renverse l'ordre, la plus petite entrée donne la plus grande sortie.

Exemple 1. La fonction $f:x\mapsto 2x+1$ est croissante sur $\mathbb{R}$. Prends $a<b$ : alors $2a<2b$, donc $2a+1<2b+1$, c'est-à-dire $f(a)<f(b)$. L'ordre est conservé, quel que soit le couple choisi.

Exemple 2. La fonction $g:x\mapsto -3x+5$ est décroissante sur $\mathbb{R}$. Si $a<b$, alors $-3a>-3b$ (multiplier par un nombre négatif renverse l'inégalité, comme tu l'as vu avec les inéquations), donc $-3a+5>-3b+5$, soit $g(a)>g(b)$.

Croissance stricte

La définition utilise $\le$ : une fonction croissante a le droit de rester un moment constante, comme un palier. Quand on veut interdire ces paliers, on parle de croissance stricte.

La nuance n'est pas un caprice de notation. Une fonction qui monte puis fait un plat horizontal puis remonte est croissante (au sens large) mais pas strictement croissante sur le plat. Dans les exemples 1 et 2 ci-dessus, les inégalités étaient strictes : ces fonctions affines sont strictement monotones.

Lire le sens de variation sur une courbe

Sur un graphique, le sens de variation se lit de gauche à droite, dans le sens de lecture des $x$ qui augmentent.

Exemple 3. La fonction carré $f:x\mapsto x^2$, vue au chapitre 07, est décroissante sur $]-\mathrm{\infty };0]$ puis croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. Vérifie sur la définition pour le morceau de droite : si $0\le a<b$, alors $a^2<b^2$, donc $f(a)<f(b)$. La courbe descend jusqu'à l'origine, puis remonte : c'est sa célèbre forme de cuvette (une parabole).

Le piège de « croissante » confondu avec « positive »

C'est l'erreur la plus tenace du chapitre. Croissante parle du sens de variation : la fonction monte. Positive parle du signe des valeurs : $f(x)\ge 0$, la courbe est au-dessus de l'axe horizontal. Ce sont deux idées totalement indépendantes. La fonction $g:x\mapsto -3x+5$ vaut $g(0)=5>0$ : elle est positive en $0$, et pourtant elle est décroissante partout. À l'inverse, $f:x\mapsto 2x$ est croissante partout, mais $f(-3)=-6<0$ : elle prend des valeurs négatives. Ne mélange jamais le sens (ça monte ou ça descend) et le signe (c'est positif ou négatif).

Tableaux de variations

Décrire une fonction phrase par phrase — « décroissante ici, croissante là, avec telle valeur au creux » — devient vite lourd. Les mathématiciens ont inventé un résumé visuel d'une efficacité redoutable : le tableau de variations. Il condense tout le comportement d'une fonction sur deux lignes, en remplaçant les phrases par des flèches.

Une flèche $\nearrow$ part en bas à gauche et arrive en haut à droite : elle dit « la fonction monte sur cet intervalle ». Une flèche $\searrow$ part en haut à gauche et descend vers le bas à droite : « la fonction descend ». Aux extrémités des flèches, on écrit les valeurs prises par $f$.

Lire un tableau de variations

Exemple 1. Voici le tableau de variations de la fonction carré $f:x\mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$ :

$x$	$-\mathrm{\infty }$		$0$		$+\mathrm{\infty }$
$f(x)$	$+\mathrm{\infty }$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$

Comment le lire ? Entre $-\mathrm{\infty }$ et $0$, la flèche descend : $f$ décroît, en partant de très haut pour arriver à $0$. Entre $0$ et $+\mathrm{\infty }$, la flèche monte : $f$ croît de $0$ vers très haut. La valeur $0$, en bas du creux, est atteinte pour $x=0$. En un coup d'œil, tu sais tout du comportement de la fonction.

Exemple 2. Une fonction $h$ définie sur $[0;6]$ croît de $h(0)=1$ jusqu'à $h(2)=9$, puis décroît jusqu'à $h(6)=-3$. Son tableau :

$x$	$0$		$2$		$6$
$h(x)$	$1$	$\nearrow$	$9$	$\searrow$	$-3$

Tu lis directement : $h$ est croissante sur $[0;2]$, décroissante sur $[2;6]$. La plus grande valeur, $9$, est atteinte en $x=2$ ; la plus petite, $-3$, en $x=6$.

Construire un tableau à partir d'une courbe

Pour construire le tableau d'une fonction donnée par sa courbe, suis trois étapes : repère les bornes du domaine ; repère les abscisses où la courbe change de sens (les « sommets » et les « creux ») ; lis les ordonnées à ces points. Tu places ensuite les flèches selon que chaque morceau monte ou descend.

Exemple 3. Sur une courbe définie sur $[-2;4]$ qui part de $(-2;-1)$, monte jusqu'à un sommet en $(1;4)$, puis redescend jusqu'à $(4;0)$, on lit :

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f(x)$	$-1$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$

Le piège des flèches inversées

L'erreur classique est d'inverser le sens des flèches : mettre $\searrow$ là où la fonction monte. Le réflexe qui te sauve : une flèche se lit de gauche à droite, dans le sens des $x$ croissants, comme une route que tu parcours d'ouest en est. Si tu pars d'une petite valeur de $f$ et arrives à une grande, c'est une montée : $\nearrow$. Compare toujours les deux nombres aux extrémités de la flèche : le nombre d'arrivée (à droite) est plus grand pour une flèche montante, plus petit pour une flèche descendante. Dans l'exemple 2, $1\to 9$ : ça monte ; $9\to -3$ : ça descend.

Maximum et minimum

Sur le tableau de la fonction $h$ de la leçon précédente, la valeur $9$ sautait aux yeux : c'est le point le plus haut atteint par la fonction. Cette idée de « valeur la plus grande » ou « la plus petite » est centrale, en mathématiques comme dans la vie réelle — aire maximale, coût minimal, bénéfice maximal. On lui donne un nom précis.

Distingue bien deux choses. Le maximum est la valeur $f(x_0)$ elle-même (une ordonnée, sur l'axe vertical). Le point $x_0$ où il est atteint est une abscisse (sur l'axe horizontal). On dit « le maximum vaut $9$, atteint en $x=2$ ». Le mot général qui regroupe maximum et minimum est extremum (pluriel : extremums, ou extrema).

Lire un extremum dans un tableau

Le tableau de variations est l'outil idéal pour repérer les extremums : ce sont les valeurs aux changements de sens.

Exemple 1. Reprends le tableau de $h$ sur $[0;6]$ :

$x$	$0$		$2$		$6$
$h(x)$	$1$	$\nearrow$	$9$	$\searrow$	$-3$

La fonction monte puis descend : le maximum de $h$ sur $[0;6]$ vaut $9$, atteint en $x=2$. Le minimum, lui, n'est pas au creux d'un $\searrow \nearrow$ (il n'y en a pas) : il faut comparer les valeurs aux bornes, $h(0)=1$ et $h(6)=-3$. Le plus petit est $-3$ : le minimum de $h$ sur $[0;6]$ vaut $-3$, atteint en $x=6$.

Exemple 2. Pour la fonction carré $f:x\mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$, le tableau descend puis monte : le minimum vaut $0$, atteint en $x=0$. Et il n'y a pas de maximum : la fonction monte indéfiniment vers $+\mathrm{\infty }$, aucune valeur n'est jamais dépassée par toutes les autres.

Maximum local et maximum global

Une fonction peut avoir plusieurs « sommets » de hauteurs différentes. Un sommet qui domine seulement son voisinage est un maximum local ; le plus haut de tous, qui domine tout l'intervalle, est le maximum global.

Exemple 3. Une fonction qui monte vers un sommet à hauteur $4$, redescend dans une vallée, puis remonte vers un sommet à hauteur $7$ a deux maximums locaux (les deux sommets, $4$ et $7$), mais un seul maximum global : $7$, le plus haut. Le sommet à $4$ est un maximum local sans être global.

Le piège du maximum local pris pour global

Beaucoup d'élèves repèrent un beau sommet sur la courbe et annoncent « le maximum vaut $4$ » sans regarder ailleurs. C'est faux si un autre sommet monte plus haut, ou si la fonction file vers $+\mathrm{\infty }$ aux bords. Un maximum local n'est pas forcément global. Avant de conclure « voici le maximum de la fonction », balaie tout l'intervalle : compare tous les sommets entre eux et avec les valeurs aux bornes. Le maximum global est le champion de cette comparaison, pas le premier sommet venu.

Optimisation simple

Voici pourquoi tout ce qui précède compte vraiment. Optimiser, c'est chercher le meilleur choix possible : la plus grande aire, le plus grand bénéfice, le plus petit coût. Quand on sait modéliser une situation par une fonction (chapitre 06) et lire ses extremums (leçon précédente), un problème concret d'optimisation se résout en repérant un extremum.

La méthode tient en quatre temps : choisir la variable ; écrire la grandeur à optimiser comme fonction de cette variable ; déterminer les valeurs réalistes de la variable (le domaine) ; trouver l'extremum par tableau ou lecture graphique, puis l'interpréter.

Une aire à maximiser

Exemple 1. Amine dispose de $30$ mètres de bordure pour entourer un parterre de fleurs rectangulaire dans un jardin de Fès. Il appelle $x$ la largeur (en mètres). Le périmètre est $30$, donc largeur $+$ longueur $=15$, ce qui donne une longueur de $15-x$. L'aire est :

$$A(x)=x(15-x)$$

Les valeurs réalistes : $x>0$ et $15-x>0$, donc $x$ est compris entre $0$ et $15$. Amine calcule quelques images pour conjecturer :

$x$ (m)	$3$	$6$	$\mathrm{7,5}$	$9$	$12$
$A(x)$ (m²)	$36$	$54$	$\mathrm{56,25}$	$54$	$36$

L'aire monte, culmine en $x=\mathrm{7,5}$, puis redescend. Le tableau est symétrique autour de $\mathrm{7,5}$ : tout suggère un maximum là. Le tableau de variations conjecturé :

$x$	$0$		$\mathrm{7,5}$		$15$
$A(x)$	$0$	$\nearrow$	$\mathrm{56,25}$	$\searrow$	$0$

L'aire maximale vaut $\mathrm{56,25}$ m², pour un rectangle de $\mathrm{7,5}$ m sur $\mathrm{7,5}$ m — un carré. Avec une bordure fixée, c'est toujours le carré qui offre la plus grande aire : un résultat que tu démontreras proprement avec la dérivée en 1re.

Un bénéfice à maximiser

Exemple 2. Karim tient un stand de jus d'orange au souk de Taroudant. S'il fixe le prix du verre à $x$ dirhams, il estime vendre $(20-2x)$ verres dans la matinée. Sa recette est :

$$R(x)=x(20-2x)$$

Pour $x$ entre $0$ et $10$ (au-delà, plus personne n'achète). En lisant la courbe de $R$, qui monte puis descend, on trouve un sommet en $x=5$ : au prix de $5$ dh le verre, il vend $20-2\times 5=10$ verres et encaisse $R(5)=5\times 10=50$ dh. Vendre plus cher fait fuir les clients, vendre moins cher rapporte trop peu : $5$ dh est le prix optimal.

Le piège de l'oubli du domaine

En optimisation, négliger l'intervalle réaliste mène à des absurdités. Dans l'exemple d'Amine, rien dans la formule $A(x)=x(15-x)$ n'interdit $x=20$ : on calculerait $A(20)=20\times (-5)=-100$, une « aire » négative qui n'a aucun sens. Le maximum ne se cherche que sur le domaine réaliste, ici entre $0$ et $15$. Avant d'optimiser, fixe toujours les bornes : une longueur est positive, un effectif est entier, un prix ne dépasse pas un certain seuil. Le meilleur choix mathématique doit d'abord être un choix possible.

Outils numériques

Conjecturer les variations et les extremums « à la main » fonctionne, mais cela demande de calculer beaucoup d'images. Le tableur, la calculatrice et un logiciel comme GeoGebra font ce travail en un instant, et te laissent conjecturer rapidement avant de raisonner. En Seconde, ces outils servent à explorer et à formuler une hypothèse ; ils ne remplacent pas la preuve, qui viendra avec la dérivée.

Le tableur

Sur un tableur, tu places les valeurs de $x$ dans une colonne (par exemple de $0$ à $15$ par pas de $\mathrm{0,5}$) et la formule de $f(x)$ dans la colonne voisine, recopiée vers le bas. En colonne A la variable, en colonne B l'image : pour l'aire d'Amine, la cellule B2 contiendrait =A2*(15-A2). Tu repères ensuite la plus grande valeur de la colonne B, et l'abscisse correspondante.

Exemple 1. Pour $A(x)=x(15-x)$ avec un pas de $\mathrm{0,5}$, le tableur affiche une colonne d'aires qui croît jusqu'à $\mathrm{56,25}$ en $x=\mathrm{7,5}$ puis décroît. La fonction MAX de la colonne confirme la valeur maximale, et tu retrouves le carré optimal sans calcul manuel.

La calculatrice et GeoGebra

Une calculatrice graphique trace la courbe et propose souvent un menu « maximum / minimum » qui localise l'extremum sur un intervalle. GeoGebra va plus loin : tu saisis la fonction, tu vois la courbe en direct, et tu peux faire glisser un curseur sur un paramètre pour observer comment l'extremum se déplace.

En pseudo-code, l'idée derrière ces menus est un simple balayage. Voici, à titre de curiosité, la même recherche en Python :

# Balayage de A(x) = x(15 - x) pour conjecturer le maximum
meilleur_x, meilleure_aire = 0, 0
x = 0
while x <= 15:
    aire = x * (15 - x)
    if aire > meilleure_aire:
        meilleure_aire = aire
        meilleur_x = x
    x = x + 0.5
print(meilleur_x, meilleure_aire)   # affiche 7.5 56.25

Le programme essaie toutes les valeurs de $x$ par petits pas et garde la meilleure : c'est exactement ce que fait un tableur, automatisé.

Le piège de la conjecture prise pour une preuve

Un outil numérique te donne une conjecture, jamais une certitude. Avec un pas de $\mathrm{0,5}$, le balayage ci-dessus a trouvé $\mathrm{7,5}$ — mais si le vrai maximum était en $\mathrm{7,3}$, le pas trop large l'aurait manqué. De plus, l'écran n'affiche qu'un morceau de la courbe : un sommet plus haut peut se cacher hors de la fenêtre. Salma annonce « le maximum vaut $\mathrm{56,25}$, GeoGebra l'a dit » : c'est une excellente conjecture, pas une preuve. Le logiciel oriente le raisonnement ; il ne le clôt pas. La certitude viendra de la dérivée, en 1re et en Tle.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre « f croissante » et « f positive ». Croissante décrit le sens de variation (la fonction monte, l'ordre des images est conservé). Positive décrit le signe des valeurs ($f(x)\ge 0$, la courbe est au-dessus de l'axe horizontal). Les deux sont indépendants : $g:x\mapsto -3x+5$ vaut $5>0$ en $0$ mais décroît partout ; $f:x\mapsto 2x$ croît partout mais vaut $-6$ en $-3$. Demande-toi toujours : la question porte-t-elle sur le sens (monte/descend) ou sur le signe (positif/négatif) ?

Piège 2 : lire les variations sur l'axe des ordonnées. Les variations se lisent en parcourant la courbe de gauche à droite, dans le sens des $x$ croissants — donc le long de l'axe horizontal. Karim regarde si les points sont « hauts » ou « bas » sur l'axe vertical et croit y lire le sens de variation : il confond la hauteur (l'ordonnée, le signe) avec le mouvement (la montée ou la descente). Une fonction peut être très haute et pourtant en train de descendre. Suis le tracé d'ouest en est, pas du bas vers le haut.

Piège 3 : oublier de préciser l'intervalle. Une fonction n'est pas croissante « dans l'absolu » : elle l'est sur un intervalle. La fonction carré est décroissante sur $]-\mathrm{\infty };0]$ et croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ ; dire « $x^2$ est croissante » sans préciser est faux. Un sens de variation s'énonce toujours accompagné de l'intervalle où il s'applique. Même remarque pour un extremum : « le maximum vaut $9$ » doit préciser sur quel intervalle, car sur un domaine plus large il pourrait être dépassé.

Piège 4 : croire qu'un maximum local est forcément global. Un sommet de la courbe domine son voisinage immédiat : c'est un maximum local. Mais un autre sommet peut monter plus haut, ou la fonction peut filer vers $+\mathrm{\infty }$ aux bords. Avant d'annoncer « le maximum de la fonction vaut tant », compare tous les sommets entre eux et avec les valeurs aux bornes du domaine. Le maximum global est le plus haut de tous, pas le premier repéré.

Piège 5 : inverser le sens des flèches. Dans un tableau de variations, $\nearrow$ signifie « monte » et $\searrow$ « descend », lus de gauche à droite. L'erreur fréquente est de mettre $\searrow$ là où la fonction croît. Le contrôle infaillible : compare les deux valeurs aux extrémités de la flèche. Si la valeur d'arrivée (à droite) est plus grande que celle de départ, c'est $\nearrow$ ; si elle est plus petite, c'est $\searrow$. Une flèche relie toujours une valeur de gauche à une valeur de droite, jamais l'inverse.

Piège 6 : prendre une conjecture numérique pour une preuve. Un tableur ou GeoGebra suggère un extremum, mais avec un pas de balayage donné et une fenêtre d'affichage limitée. Le vrai extremum peut tomber entre deux pas, ou hors de l'écran. « Le logiciel l'a dit » n'est pas une démonstration : c'est une conjecture solide à confirmer par le raisonnement. En Seconde, on s'arrête à la conjecture justifiée par lecture ; la preuve automatique viendra avec la dérivée.

Application concrète

Reviens à l'enclos de Yasmine. Au chapitre 06, près de Marrakech, elle avait $40$ mètres de grillage, un mur sur lequel adosser un côté, et elle avait deviné que $x=10$ donnait l'aire maximale. Cette fois, elle veut le prouver par une étude de variations complète, et savoir exactement quelle aire elle peut offrir à ses poules.

Étape 1 — Reprendre le modèle. Yasmine note $x$ la longueur (en mètres) de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur. Le grillage couvre ces deux côtés et le côté parallèle au mur, qui mesure donc $40-2x$. L'aire est :

$$A(x)=x(40-2x)$$

C'est exactement le modèle du chapitre 06. Le domaine réaliste : $x>0$ et $40-2x>0$, donc $x$ est compris entre $0$ et $20$.

Étape 2 — Explorer avec un tableau de valeurs fin. Pour conjecturer, Yasmine remplit un tableur, colonne A de $0$ à $20$ par pas de $\mathrm{2,5}$, colonne B avec =A2*(40-2*A2) :

$x$ (m)	$\mathrm{2,5}$	$5$	$\mathrm{7,5}$	$10$	$\mathrm{12,5}$	$15$	$\mathrm{17,5}$
$A(x)$ (m²)	$\mathrm{87,5}$	$150$	$\mathrm{187,5}$	$200$	$\mathrm{187,5}$	$150$	$\mathrm{87,5}$

Les valeurs montent jusqu'à $200$ en $x=10$, puis redescendent, et le tableau est parfaitement symétrique autour de $10$. La conjecture est nette : maximum en $x=10$.

Étape 3 — Dresser le tableau de variations. La lecture du tableau de valeurs et de la courbe (montante puis descendante) donne le tableau de variations sur $[0;20]$ :

$x$	$0$		$10$		$20$
$A(x)$	$0$	$\nearrow$	$200$	$\searrow$	$0$

La fonction $A$ est croissante sur $[0;10]$, décroissante sur $[10;20]$. Le changement $\nearrow \searrow$ en $x=10$ signale un maximum.

Étape 4 — Lire l'extremum et l'interpréter. Le maximum de $A$ sur $[0;20]$ vaut $200$ m², atteint en $x=10$. Pour cette valeur, le côté parallèle au mur mesure $40-2\times 10=20$ m : l'enclos optimal est un rectangle de $10$ m sur $20$ m. Aux bornes, $A(0)=0$ et $A(20)=0$ : un enclos aplati n'a aucune aire, ce qui confirme que $200$ m² est bien le sommet, pas une valeur de bord.

Conclusion. Ce que Yasmine avait deviné au chapitre 06, elle l'a maintenant établi : l'étude des variations transforme l'intuition d'un tableau en une conclusion structurée. La fonction monte puis descend, le maximum se lit au sommet, et l'enclos de $10$ m sur $20$ m offre les $200$ m² promis aux poules. Il reste une dernière marche à franchir : prouver, sans aucun tableau de valeurs, que $x=10$ est exactement l'optimum. C'est le rôle de la dérivée, que tu rencontreras en 1re : son signe donnera le sens de variation en une ligne, et l'annulation de la dérivée localisera l'extremum d'un seul calcul. Tout ce chapitre est la marche d'avant.

À retenir