Variations et extremums de fonctions — exercices corrigés

Une fonction $f$ est croissante sur $[1;5]$. On sait que $1<3<5$. Que peut-on affirmer avec certitude ?

Une fonction $g$ est décroissante sur $[0;4]$. On sait que $0<2<4$. Que peut-on affirmer avec certitude ?

Un tableau de variations montre que $f$ croît sur $[-3;2]$ avec $f(-3)=1$ et $f(2)=8$, puis décroît sur $[2;6]$ avec $f(6)=-2$.

Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?

Une fonction $h$ admet un maximum de $7$, atteint en $x=3$.

Salma affirme : « Le maximum de $h$ est $3$. »

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Karim affirme : « Si une fonction est croissante sur un intervalle, alors ses valeurs sont forcément positives sur cet intervalle. »

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Une fonction $f$ est définie sur $[0;5]$. Elle croît de $f(0)=-3$ jusqu'à $f(2)=6$, puis décroît de $f(2)=6$ jusqu'à $f(5)=1$.

Quelle est la valeur du minimum de $f$ sur $[0;5]$ ?

La fonction $f:x\mapsto 3x-4$ est définie sur $\mathbb{R}$.

Quel est son sens de variation ?

Un tableau de variations montre que $g$ décroît sur $[-4;1]$ avec $g(-4)=10$ et $g(1)=2$, puis croît sur $[1;7]$ avec $g(7)=9$.

Quel est le maximum de $g$ sur $[-4;7]$ ?

Lequel de ces mots désigne à la fois un maximum et un minimum ?

Une fonction $f$ est définie sur $[1;6]$. Elle croît sur $[1;4]$ avec $f(1)=5$ et $f(4)=11$, puis décroît sur $[4;6]$ avec $f(6)=3$.

Quelle est la valeur de $f(1)$ ?

La fonction carré $f:x\mapsto x^2$ est-elle croissante ou décroissante sur $[-3;0]$ ?

Karim affirme : « La fonction $f:x\mapsto x^2$ est monotone sur $\mathbb{R}$. »

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

La fonction $h:x\mapsto -5x+12$ est définie sur $\mathbb{R}$. Quel est son sens de variation ?

Une fonction $g$ est définie sur $[-2;5]$. Elle croît sur $[-2;3]$ avec $g(-2)=0$ et $g(3)=11$, puis décroît sur $[3;5]$ avec $g(5)=4$.

Quelle est la valeur du maximum de $g$ sur $[-2;5]$ ?

Dans un tableau de variations, une flèche $\nearrow$ relie la valeur $-1$ (à gauche) à la valeur $7$ (à droite).

Karim affirme : « Cette flèche représente une fonction décroissante sur cet intervalle. »

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Une fonction $f$ admet un maximum de $13$ sur $[0;8]$, atteint en $x=4$.

En quelle valeur de $x$ ce maximum est-il atteint ?

Salma dit de la fonction carré $f:x\mapsto x^2$ : « $f$ est croissante. »

Cette affirmation, telle quelle, est-elle correcte ?

Un tableau de variations montre que $h$ décroît sur $[-1;3]$ de $h(-1)=8$ à $h(3)=2$, puis croît sur $[3;7]$ de $h(3)=2$ à $h(7)=6$.

Quelle est la valeur du minimum de $h$ sur $[-1;7]$ ?

Amine veut maximiser l'aire d'un rectangle dont le périmètre est fixé à $20$ m. Il note $x$ la largeur (en mètres). Quelle est la longueur du rectangle en fonction de $x$ ?

Yasmine utilise un tableur pour étudier la fonction $A(x)=x(40-2x)$ sur $[0;20]$. Elle trouve que la plus grande valeur de la colonne des aires est $200$, en $x=10$. Elle conclut : « J'ai prouvé que le maximum de $A$ est $200$. »

Cette conclusion est-elle correcte ?

On considère $f:x\mapsto -2x+6$ définie sur $\mathbb{R}$.

Yasmine choisit $a=1$ et $b=4$ dans $\mathbb{R}$. Elle calcule $f(1)=4$ et $f(4)=-2$.

Quelle conclusion peut-elle tirer sur le sens de variation de $f$ ?

Une fonction $f$ est définie sur $[-5;7]$. Elle croît sur $[-5;-1]$ avec $f(-5)=-4$ et $f(-1)=3$, décroît sur $[-1;4]$ avec $f(4)=-2$, puis croît sur $[4;7]$ avec $f(7)=5$.

Quelle est l'abscisse du maximum global de $f$ sur $[-5;7]$ ?

Karim étudie la fonction $g:x\mapsto 2x-10$. Il affirme : « $g$ est croissante sur $[5;+\mathrm{\infty }[$ car elle prend des valeurs positives sur cet intervalle. »

Quelle erreur Karim a-t-il commise ?

Une fonction $f$ est croissante sur $[2;8]$ avec $f(2)=5$ et $f(8)=17$.

Amine choisit $x=5$ dans $[2;8]$. Sans calculer $f(5)$, quel encadrement peut-il écrire ?

Une fonction $f$ est définie sur $[0;6]$ avec le tableau de variations suivant : $f$ croît sur $[0;2]$ de $f(0)=1$ à $f(2)=9$, puis décroît sur $[2;6]$ jusqu'à $f(6)=3$.

Salma affirme : « Le maximum de $f$ sur $[0;6]$ est $2$. »

Que peut-on dire ?

Amine a rempli le tableau de valeurs suivant pour une fonction $p$ :

En supposant que $p$ n'a qu'un seul changement de sens, quel est le tableau de variations le plus cohérent avec ces données ?

Une fonction $f$ est définie sur $[-6;8]$. Son tableau de variations décrit les comportements suivants : $f$ croît sur $[-6;-2]$ avec $f(-6)=0$ et $f(-2)=5$, décroît sur $[-2;3]$ avec $f(3)=1$, puis croît sur $[3;8]$ avec $f(8)=4$.

Combien de maximums locaux $f$ admet-elle sur $]-6;8[$ (extrémités exclues) ?

Une fonction $f$ est décroissante sur $[1;10]$. On sait que $f(1)=20$ et $f(10)=8$.

Yasmine affirme : « Pour tout $x$ dans $[1;10]$, on a $8\le f(x)\le 20$. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

Amine dispose de $24$ mètres de grillage pour clôturer un jardin rectangulaire adossé à un mur (le mur forme un côté, le grillage couvre les trois autres côtés). Il appelle $x$ la longueur de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

Quelle est l'expression de l'aire $A(x)$ du jardin en fonction de $x$ ?

Une fonction $f$ est définie sur $[-8;8]$. Elle croît sur $[-8;-3]$ avec $f(-8)=2$ et $f(-3)=7$, décroît sur $[-3;2]$ avec $f(2)=-1$, croît sur $[2;5]$ avec $f(5)=4$, puis décroît sur $[5;8]$ avec $f(8)=0$.

Quelle est la valeur du minimum global de $f$ sur $[-8;8]$ ?

Karim modélise une aire par la fonction $A(x)=x(18-3x)$ où $x$ est une longueur en mètres. Quel est le domaine réaliste de $x$ ?

Yasmine tient un stand de jus de cactus au souk d'Agadir. Si elle fixe le prix du verre à $x$ dirhams, elle estime vendre $(30-3x)$ verres dans la matinée. Sa recette est $R(x)=x(30-3x)$, définie pour $x\in [0;10]$.

Le tableau de valeurs ci-dessous, calculé par pas de $2$, suggère un maximum en $x=5$. Yasmine affine par pas de $1$ autour de $5$ :

D'après ce tableau de valeurs, à quel prix (en dh) Yasmine doit-elle vendre son verre pour maximiser sa recette ?

Une fonction $f$ est définie sur $[-5;9]$. Elle croît sur $[-5;0]$ avec $f(-5)=1$ et $f(0)=6$, décroît sur $[0;4]$ avec $f(4)=3$, puis croît sur $[4;9]$ avec $f(9)=10$.

Karim affirme : « Le maximum de $f$ sur $[-5;9]$ vaut $6$. »

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Un tableau de variations décrit une fonction $f$ définie sur $[-4;6]$ : $f$ décroît sur $[-4;1]$ avec $f(-4)=12$ et $f(1)=-3$, puis croît sur $[1;6]$ avec $f(6)=8$.

Laquelle de ces affirmations est fausse ?

Une fonction $f$ est croissante sur $[0;8]$ avec $f(3)=5$ et $f(7)=11$.

Pour quelles valeurs de $x$ dans $[0;8]$ peut-on affirmer que $f(x)\ge 5$ ?

Une fonction $g$ est décroissante sur $[2;10]$ avec $g(2)=15$ et $g(10)=3$.

Salma affirme : « Pour tout $x\in [2;10]$, si $g(x)\ge 9$, alors $x\le 6$. » (Sachant que $g(6)=9$.)

Cette affirmation est-elle vraie ?

Une fonction $f$ est définie sur $[-3;7]$. Elle décroît sur $[-3;2]$ avec $f(-3)=14$ et $f(2)=-1$, puis croît sur $[2;7]$ avec $f(7)=9$.

Quelle est la valeur du maximum de $f$ sur $[-3;7]$ ?

Karim dresse un tableau de variations pour une fonction $p$ définie sur $[0;5]$. Il écrit : « $p$ décroît sur $[0;3]$ avec $p(0)=2$ et $p(3)=7$, puis croît sur $[3;5]$ avec $p(5)=4$. »

Quelle erreur Karim a-t-il commise ?

La fonction racine carrée $f:x\mapsto \sqrt{x}$ est définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

Amine affirme : « $f$ est croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ car si $0\le a<b$, alors $\sqrt{a}<\sqrt{b}$. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

Salma tient un stand de dattes au marché de Marrakech. Elle observe que si elle fixe le prix du sachet à $x$ dirhams (avec $x\in [2;8]$), sa recette journalière (en dh) suit la loi :

$R(x)=-4x^2+40x-64$

Elle a calculé quelques valeurs :

1. D'après ce tableau, sur quel(s) intervalle(s) la recette semble-t-elle croissante ? Décroissante ?
2. Quelle est la recette maximale conjecturée, et pour quel prix ?

Une fonction $f$ est définie sur $[0;6]$. On sait que :

• $f$ décroît sur $[0;4]$, de $f(0)=10$ à $f(4)=3$ ;
• $f$ croît sur $[4;6]$, de $f(4)=3$ à $f(6)=5$.

Karim regarde ces valeurs et raisonne : « En $x=0$ la fonction vaut $10$, c'est haut ; en $x=4$ elle vaut $3$, c'est bas ; donc $f$ est croissante sur $[0;4]$, puisqu'on part d'en haut. »

A-t-il raison ?

Yasmine veut clôturer un enclos rectangulaire pour les chèvres de sa famille, près de Marrakech. Elle dispose de $36$ mètres de grillage. Un mur existant sert de côté, donc le grillage couvre seulement les trois autres côtés.

Elle note $x$ la longueur (en mètres) de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Exprime la longueur du côté parallèle au mur en fonction de $x$.
2. Exprime l'aire $A(x)$ de l'enclos en fonction de $x$.
3. Détermine le domaine réaliste de $x$.
4. Le tableau de valeurs ci-dessous a été calculé par Yasmine :

Conjecture la valeur de $x$ qui maximise l'aire, puis dresse le tableau de variations de $A$ sur le domaine réaliste.

5. Quelle est l'aire maximale ? Quelles sont les dimensions de l'enclos optimal ?

Karim étudie la fonction $f:x\mapsto -x^2+4$ définie sur $[0;3]$. Il calcule : $f(0)=4>0$, $f(1)=3>0$, $f(2)=0$, $f(3)=-5<0$.

Il conclut : « $f$ est décroissante sur $[0;3]$ parce qu'elle devient négative. »

Que peut-on dire de sa conclusion et de sa justification ?

Karim tient un stand d'argan au souk de Taroudant. S'il fixe le prix du flacon à $x$ dirhams, il estime vendre $(40-2x)$ flacons par semaine. Chaque flacon lui coûte $5$ dh à produire.

1. Exprime son bénéfice hebdomadaire $B(x)$ en fonction de $x$ (bénéfice = recette totale $-$ coût total de production).
2. Détermine le domaine réaliste de $x$.
3. Karim calcule quelques valeurs :

D'après ces valeurs, conjecture le prix optimal et le bénéfice maximal.

4. Dresse le tableau de variations de $B$ sur son domaine réaliste.

Amine affirme : « Si $a<b$, alors $a^2<b^2$. »

Parmi les couples suivants, lequel est un contre-exemple à cette affirmation ?

Une fonction $f$ est définie sur $[-6;8]$ et son comportement est le suivant : $f$ croît sur $[-6;-2]$ avec $f(-6)=-1$ et $f(-2)=5$, décroît sur $[-2;1]$ avec $f(1)=2$, croît sur $[1;5]$ avec $f(5)=6$, puis décroît sur $[5;8]$ avec $f(8)=3$.

Laquelle de ces affirmations sur les extremums est vraie ?

Une fonction $f$ définie sur $[0;10]$ admet pour tableau de variations : $f$ croît sur $[0;4]$ avec $f(0)=3$ et $f(4)=11$, puis décroît sur $[4;10]$ avec $f(10)=5$.

Salma affirme : « Sur $[0;10]$, l'abscisse du maximum de $f$ vaut $11$ et le maximum est atteint en $4$. »

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifie.

Amine veut clôturer un enclos rectangulaire pour un potager familial près de Fès, sans mur disponible (le grillage couvre les quatre côtés). Il dispose de $40$ mètres de grillage en tout. Il appelle $x$ la largeur de l'enclos (en mètres).

1. Exprime la longueur de l'enclos en fonction de $x$.
2. Exprime l'aire $A(x)$ en fonction de $x$ et détermine le domaine réaliste.
3. Amine calcule un tableau de valeurs par pas de $2$ :

Conjecture la valeur de $x$ qui maximise l'aire et dresse le tableau de variations.

4. Quelle est la forme de l'enclos optimal ? Que remarques-tu ?

Soit $f$ une fonction décroissante sur $[0;10]$ avec $f(2)=8$ et $f(7)=3$.

On sait que $f(x_0)=5$ pour un certain $x_0\in [2;7]$.

En utilisant la décroissance, dans quel intervalle se trouve $x_0$ ?

Yasmine trace un triangle rectangle en $O$ dont les deux cathètes sont sur les axes. Le sommet sur l'axe des $x$ est noté $A=(a;0)$ et le sommet sur l'axe des $y$ est noté $B=(0;b)$. La contrainte est que $a+b=12$ (avec $a>0$ et $b>0$).

L'aire du triangle est $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times a\times b$.

Le tableau de valeurs suivant a été calculé :