Notion de fonction et modélisation

Qu'est-ce qu'une fonction ?

En 3e, une fonction était surtout une formule, $f(x)=2x+3$. C'est une vision juste mais étroite. L'idée profonde est plus simple et plus large : une fonction est un procédé qui transforme un nombre d'entrée en un nombre de sortie. Peu importe que ce procédé soit une formule, un tableau, un graphique ou une règle énoncée en français : ce qui compte, c'est qu'à chaque entrée corresponde une sortie, et une seule.

Tu peux te représenter $f$ comme une machine : tu y entres un nombre $x$, elle effectue son traitement, et elle ressort un nombre $f(x)$. La même entrée donne toujours la même sortie : la machine n'a pas d'humeur.

Exemple 1. Soit la fonction $f:x\mapsto x^2$. La machine élève au carré. Entre 3, elle ressort $9$ ; entre $-3$, elle ressort aussi $9$. Chaque entrée a bien une sortie unique. On écrit $f(3)=9$ et $f(-3)=9$.

Exemple 2. Le tarif du tramway de Casablanca associe à un nombre de tickets le prix payé. À 1 ticket correspond un prix, à 2 tickets un autre : c'est une fonction du nombre de tickets. Le procédé n'est pas une formule abstraite, c'est une grille tarifaire, mais c'est bien une fonction.

L'ensemble de définition n'est pas un détail

Une fonction ne vit pas dans le vide : elle n'agit que sur les nombres pour lesquels son procédé a un sens. Si la machine de Yasmine compte des litres de carburant, l'entrée $x=-4$ n'a aucun sens physique. Et même hors de tout contexte, certains procédés interdisent certaines entrées.

Exemple 3. La fonction $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ ne peut pas recevoir $x=0$, car la division par zéro est interdite. Son ensemble de définition est l'ensemble des réels sauf $0$. Pour tout autre nombre, $g(x)$ existe : $g(2)={\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$.

Le piège de la sortie multiple

Le mot unique dans la définition est la clé : un procédé qui donnerait deux sorties pour une même entrée n'est pas une fonction. Si à $x=5$ on voulait associer à la fois $2$ et $7$, la machine serait incohérente. C'est pour cette raison qu'« à quel nombre faut-il élever 4 pour obtenir 16 ? » ne définit pas directement une fonction de manière naïve : $2$ et $-2$ conviennent tous deux. Retiens : une entrée, une seule sortie. Le sens inverse, lui, n'est pas contraint — une même sortie peut provenir de plusieurs entrées, comme le $9$ de l'exemple 1.

Image, antécédent et notations

Maintenant que la machine est en place, nommons proprement ce qui entre et ce qui sort. C'est tout le vocabulaire de l'année, et il se résume à deux mots qui se répondent.

L'image, c'est la sortie ; l'antécédent, c'est l'entrée. La notation $f(a)$ se lit « $f$ de $a$ » : elle désigne le résultat obtenu en faisant agir $f$ sur $a$. Attention à ne pas la lire comme une multiplication : $f(a)$ n'est pas $f\times a$.

Calculer une image

Calculer une image, c'est le sens direct : on part de l'entrée, on applique le procédé.

Exemple 1. Soit $f:x\mapsto 3x^2-5$. Pour calculer l'image de $2$, on remplace $x$ par $2$ :

$$f(2)=3\times 2^2-5=3\times 4-5=12-5=7$$

L'image de $2$ par $f$ est $7$. Autrement dit, $f(2)=7$.

Chercher un antécédent

Chercher un antécédent, c'est le sens inverse : on connaît la sortie, on cherche l'entrée qui l'a produite. Comme en 3e, cela revient à résoudre une équation.

Exemple 2. Avec la même fonction $f:x\mapsto 3x^2-5$, cherchons les antécédents de $7$. On résout $f(x)=7$ :

$$3x^2-5=7⟹3x^2=12⟹x^2=4$$

Deux nombres ont pour carré $4$ : $x=2$ et $x=-2$. Donc $7$ admet deux antécédents par $f$. Tu vérifies : $f(2)=7$ et $f(-2)=3\times 4-5=7$.

Cet exemple est instructif. L'image se calcule, elle est unique. L'antécédent se cherche, et il peut être unique, multiple, ou même inexistant. Demande-toi par exemple s'il existe un antécédent de $-10$ par cette $f$ : il faudrait $3x^2-5=-10$, donc $x^2=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$, ce qui est impossible. Aucun antécédent.

Le piège de l'inversion image / antécédent

L'erreur la plus fréquente de tout le chapitre est de confondre les deux. Dans l'égalité $f(2)=7$ :

• $2$ est l'antécédent (ce qui entre),
• $7$ est l'image (ce qui sort).

Une phrase pour ne jamais te tromper : l'image se lit dans les parenthèses appliquées, le résultat est l'image. « L'image de $2$ » répond à la question « que vaut $f(2)$ ? » ; « l'antécédent de $7$ » répond à « pour quel $x$ a-t-on $f(x)=7$ ? ».

Courbe représentative

Une fonction ne se lit pas seulement avec des nombres : on peut la voir. En reportant dans un repère, pour chaque entrée $x$, le point dont l'abscisse est $x$ et l'ordonnée est $f(x)$, on dessine une trace qui résume toute la fonction d'un coup d'œil.

L'abscisse d'un point de la courbe est donc un antécédent ; son ordonnée est l'image correspondante. Toute la lecture graphique découle de cette idée.

Lire une image sur la courbe

Pour lire l'image d'un nombre $a$, on part de $a$ sur l'axe horizontal, on monte (ou on descend) verticalement jusqu'à rencontrer la courbe, puis on lit l'ordonnée du point atteint sur l'axe vertical.

Exemple 1. Sur la courbe ci-dessus, on part de $x=2$, on monte jusqu'à la courbe, et on lit l'ordonnée $3$. On en déduit $f(2)=3$, c'est-à-dire que le point $(2;3)$ appartient à ${\mathcal{C}}_f$.

Lire un antécédent sur la courbe

Pour lire les antécédents d'un nombre $b$, on fait l'inverse : on part de $b$ sur l'axe vertical, on se déplace horizontalement, et on repère tous les points de la courbe rencontrés. Leurs abscisses sont les antécédents.

Exemple 2. Pour lire les antécédents de $1$, on part de $1$ sur l'axe vertical et on trace l'horizontale. Si elle coupe la courbe en deux points, il y a deux antécédents ; si elle ne la coupe pas, il n'y en a aucun. C'est la traduction graphique exacte de ce qu'on a vu plus haut : l'antécédent peut être multiple.

Le piège de l'antécédent unique

Beaucoup d'élèves, marqués par les droites de 3e, croient que chaque valeur n'a qu'un antécédent. C'est faux dès qu'on quitte les fonctions affines. Une horizontale peut couper la courbe en plusieurs points : autant d'antécédents. À l'inverse, une verticale ne coupe jamais la courbe en plus d'un point — c'est la traduction graphique de l'unicité de l'image. Retiens cette dissymétrie : verticale, un seul point (image unique) ; horizontale, autant de points que d'antécédents.

Tableaux de valeurs et lecture graphique

Une fonction se présente sous trois habits : une formule, un tableau de valeurs, une courbe. Savoir passer de l'un à l'autre, c'est comprendre qu'ils décrivent le même objet. Le tableau de valeurs est le pont naturel entre la formule et le graphique.

De la formule au tableau, puis à la courbe

Exemple 1. Soit $f:x\mapsto x^2-2x$. On calcule quelques images pour remplir un tableau :

$$f(-1)=1+2=3,f(0)=0,f(1)=1-2=-1,f(2)=4-4=0,f(3)=9-6=3$$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$3$

Chaque colonne est un point : $(-1;3)$, $(0;0)$, $(1;-1)$, $(2;0)$, $(3;3)$. En les plaçant dans un repère et en les reliant par une courbe régulière, on obtient ${\mathcal{C}}_f$. Remarque déjà que $0$ a ici deux antécédents, $0$ et $2$ : le tableau le montre, la courbe le confirmera.

De la courbe au tableau : les valeurs approchées

La courbe, elle, rend un service que la formule ne donne pas spontanément : la lecture rapide, même quand le résultat n'est pas un nombre rond.

Exemple 2. Si la courbe de Yasmine décrit la température en fonction de l'heure, lire « à 14 h, environ $\mathrm{26,5}$ °C » se fait directement sur le graphique. Cette valeur est approchée : la précision dépend de la finesse du tracé et de ta lecture. C'est normal et utile — un graphique donne l'ordre de grandeur et la tendance, là où la formule donne la valeur exacte.

Le piège de la lecture graphique prise pour exacte

Une valeur lue sur une courbe est presque toujours approchée. Si tu lis $f(2)\approx 3$ sur un graphique, ne l'écris pas $f(2)=3$ comme une vérité absolue : tant que tu n'as pas la formule pour vérifier par le calcul, c'est une estimation. Le symbole $\approx$ (« environ égal ») existe précisément pour cela. Inversement, ne reproche pas à un graphique de ne pas donner la 4ᵉ décimale : ce n'est pas son rôle.

Modéliser une situation

Voici le cœur du chapitre, et la raison pour laquelle les fonctions sont partout. Modéliser, c'est traduire une situation réelle — un tarif, un trajet, une aire, une consommation — en une fonction, pour pouvoir la calculer, la comparer, la prévoir. Tout part d'un programme de calcul, c'est-à-dire d'une suite d'opérations appliquées à un nombre.

Traduire un programme de calcul

Un programme de calcul est une recette : « prends un nombre, multiplie-le par 3, ajoute 5 ». La fonction associée se lit directement dans la recette.

Exemple 1. Karim énonce : « Choisis un nombre, élève-le au carré, puis retire le double du nombre de départ. » Si on note $x$ le nombre choisi, le programme donne :

$$f(x)=x^2-2x$$

Chaque étape du programme devient une opération de la formule. Calculer le résultat pour un nombre donné, c'est calculer une image.

Choisir la variable et interpréter le résultat

Le pas décisif du modélisateur est de choisir la variable : décider quelle grandeur est l'entrée. Une fois ce choix fait, $f(x)$ a un sens concret qu'il faut savoir relire.

Exemple 2. Amine remplit son réservoir. Le carburant coûte $14$ dh le litre. Il choisit comme variable $x$, le nombre de litres versés. Le montant à payer est :

$$P(x)=14x$$

Ici, $P(20)=280$ ne se lit pas « $280$ » tout court : cela signifie que $20$ litres coûtent $280$ dh. Interpréter $f(x)$ dans le contexte, c'est lui rendre son unité et son sens : des dirhams, des litres, des degrés. Un nombre seul ne modélise rien tant qu'on ne sait pas ce qu'il représente.

Le piège de l'oubli du contexte

Le danger, en modélisation, est de manipuler la formule en oubliant d'où elle vient. Deux réflexes te protègent. D'abord, vérifie le domaine réaliste : dans $P(x)=14x$, une entrée négative n'a pas de sens, on ne verse pas $-3$ litres. Ensuite, redonne toujours une interprétation au résultat : « $f(x)$ vaut tant » doit se traduire en « telle grandeur vaut tant d'unités ». Une réponse de modélisation sans phrase d'interprétation est une réponse à moitié faite.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre l'image et l'antécédent. Dans $f(3)=8$, le nombre $3$ est l'antécédent (l'entrée) et $8$ est l'image (la sortie). « L'image de $3$ », c'est $f(3)$, le résultat ; « l'antécédent de $8$ », c'est le $x$ tel que $f(x)=8$. Salma répond $3$ à la question « quelle est l'image de $8$ ? » : elle a inversé les deux rôles. L'image se calcule en appliquant la fonction, l'antécédent se cherche en résolvant une équation.

Piège 2 : croire qu'un antécédent est unique. L'image d'un nombre est toujours unique, c'est la définition même d'une fonction. Mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents, voire aucun. Pour $f:x\mapsto x^2$, le nombre $9$ a deux antécédents, $3$ et $-3$ ; le nombre $-1$ n'en a aucun. Ne réponds jamais « l'antécédent » par réflexe : demande-toi combien d'entrées produisent cette sortie.

Piège 3 : lire $f(x)=0$ comme l'ordonnée à l'origine. Résoudre $f(x)=0$, c'est chercher les antécédents de zéro, c'est-à-dire les abscisses où la courbe coupe l'axe horizontal. C'est tout autre chose que $f(0)$, qui est l'image de zéro, l'ordonnée du point où la courbe coupe l'axe vertical. Karim confond les deux : $f(x)=0$ donne des valeurs de $x$, tandis que $f(0)$ donne une valeur de $f$. Ce ne sont ni les mêmes points, ni le même axe.

Piège 4 : sortir de l'ensemble de définition. Calculer $f(x)$ pour un $x$ interdit n'a aucun sens. Pour $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$, écrire $g(0)$ est une faute : $0$ n'est pas dans l'ensemble de définition. En modélisation, le domaine réaliste compte aussi : un nombre de litres ou un nombre de stations n'est jamais négatif. Vérifie toujours que ton entrée a le droit d'exister avant de calculer.

Piège 5 : confondre $f$ et $f(x)$. La lettre $f$ désigne la fonction elle-même, le procédé tout entier, la machine. L'écriture $f(x)$ désigne l'image d'un nombre $x$, donc un nombre. Dire « la fonction $f(x)$ » pour parler du procédé est un abus que tu dois éviter : on dit « la fonction $f$ » et « l'image $f(x)$ ». De même, $f(x)$ ne signifie jamais $f\times x$ : les parenthèses ici disent « appliquer $f$ à », pas « multiplier ».

Piège 6 : prendre une lecture graphique pour une valeur exacte. Une valeur lue sur une courbe est approchée : on écrit $f(2)\approx 3$, pas $f(2)=3$, tant qu'on n'a pas confirmé par le calcul à partir de la formule. À l'inverse, refuser toute lecture graphique parce qu'elle est imprécise serait excessif : le graphique donne tendance et ordre de grandeur, le calcul donne l'exactitude. Chaque outil à sa place.

Application concrète

Yasmine veut clôturer un enclos rectangulaire dans le jardin de sa grand-mère, près de Marrakech, pour y installer des poules. Elle dispose de exactement $40$ mètres de grillage et veut adosser un côté de l'enclos contre un mur déjà existant : le grillage ne servira donc que pour les trois autres côtés. Elle se demande quelles dimensions donner à son enclos, et comment l'aire dépend de ses choix.

Étape 1 — Choisir la variable. Yasmine appelle $x$ la longueur (en mètres) de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur. Ce choix de variable est le geste fondateur de toute modélisation : tout va s'exprimer en fonction de $x$.

Étape 2 — Traduire la contrainte en formule. Le grillage couvre les deux côtés de longueur $x$ et le côté parallèle au mur. Comme le total de grillage vaut $40$ m, le côté parallèle au mur mesure :

$$40-2x$$

L'aire de l'enclos, produit de ses deux dimensions, devient une fonction de $x$ :

$$A(x)=x(40-2x)$$

On a modélisé l'aire par une fonction. Chaque valeur de $x$ donne un enclos différent, et une aire différente.

Étape 3 — Déterminer l'ensemble de définition réaliste. Toutes les valeurs de $x$ ne conviennent pas. Une longueur est positive, donc $x>0$ ; et le côté $40-2x$ doit lui aussi être positif, ce qui impose $x<20$. L'ensemble de définition utile est donc l'intervalle des nombres compris entre $0$ et $20$. Hors de là, l'enclos n'existe pas : c'est le piège 4 en action.

Étape 4 — Construire un tableau de valeurs et lire la tendance. Yasmine calcule quelques images pour voir comment l'aire évolue :

$$A(5)=5\times 30=150,A(10)=10\times 20=200,A(15)=15\times 10=150$$

$x$ (m)	$5$	$10$	$15$
$A(x)$ (m²)	$150$	$200$	$150$

L'aire monte, atteint $200$ m² pour $x=10$, puis redescend. La symétrie du tableau ($150$ de part et d'autre) suggère fortement que le maximum est atteint au milieu, en $x=10$.

Étape 5 — Interpréter le résultat dans le contexte. Pour $x=10$, le côté parallèle au mur mesure $40-2\times 10=20$ m : l'enclos optimal est un rectangle de $10$ m sur $20$ m, d'aire $200$ m². Ce n'est pas un nombre abstrait : c'est la plus grande surface que Yasmine puisse offrir à ses poules avec son grillage.

Conclusion. En transformant une question concrète en une fonction $A(x)$, Yasmine a pu comparer toutes les formes d'enclos d'un seul coup et repérer la meilleure. Le tableau lui a montré la tendance ; il manque encore l'outil qui prouve, sans tâtonner, que $x=10$ donne bien le maximum. Cet outil, c'est l'étude des variations d'une fonction : tu le construiras au chapitre 07, et il fera de cette intuition une certitude. Plus tard, en prépa, la dérivée donnera la réponse en une ligne — mais tout commence ici, par le simple fait de modéliser une situation par une fonction.

À retenir