Suites numériques

Qu'est-ce qu'une suite ?

Compter les marches d'un escalier, les versements d'une tirelire, les rebonds d'une balle : à chaque rang entier ($0,1,2,\dots$) correspond un nombre. C'est exactement l'idée d'une suite. Elle ne se promène pas sur la droite réelle continûment comme une fonction ordinaire ; elle saute de rang en rang, un terme à chaque entier.

L'écriture $u_n$ remplace le $f(n)$ des fonctions : c'est la même idée d'image, mais avec un indice en bas plutôt qu'une parenthèse. Le terme $u_0$ est le terme initial (rang $0$), $u_1$ le suivant, et ainsi de suite. Attention dès maintenant à ne pas confondre l'indice $n$ (la position dans la liste) et le terme $u_n$ (la valeur à cette position).

Exemple 1. Soit la suite définie par $u_n=2n+3$ pour tout entier $n\ge 0$. On obtient directement $u_0=2\times 0+3=3$, $u_1=2\times 1+3=5$, $u_{10}=2\times 10+3=23$. Pour avoir $u_{100}$, pas besoin des cent termes précédents : $u_{100}=2\times 100+3=203$. C'est tout l'intérêt d'une formule explicite.

Exemple 2. La suite $v_n=n^2$ donne $v_0=0$, $v_1=1$, $v_2=4$, $v_3=9$ : la liste des carrés parfaits. Là encore, $v_{12}=144$ se calcule d'un coup.

Définir une suite par récurrence

Il existe une seconde façon de fabriquer une suite, qui colle mieux à beaucoup de situations réelles : donner le premier terme, puis une règle qui fabrique chaque terme à partir du précédent. La tirelire d'Amine fonctionne ainsi : le solde d'un mois est celui du mois d'avant, plus $200$ dh.

Exemple 3. Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n+3$ pour tout $n\ge 0$. On déroule : $u_1=u_0+3=5$, puis $u_2=u_1+3=8$, puis $u_3=u_2+3=11$. Pour atteindre $u_{100}$ par cette voie, il faudrait calculer les cent termes intermédiaires — c'est la limite de la définition par récurrence, qu'on lèvera plus loin avec une formule explicite.

Le piège de l'indice confondu avec le terme

L'erreur la plus fréquente du chapitre : prendre $n$ pour $u_n$. Si $u_n=2n+3$, alors $u_5$ n'est pas $5$ : c'est $u_5=2\times 5+3=13$. L'indice $5$ dit à quelle position on regarde ; le terme $u_5$ est la valeur à cette position. De même, $u_{n+1}$ n'est pas « $u_n+1$ » : c'est le terme suivant, le terme de rang $n+1$, qui peut valoir tout autre chose. Garde toujours en tête : l'indice est en bas, c'est une adresse ; le terme est la valeur logée à cette adresse.

Le sens de variation d'une suite

Comme une fonction monte ou descend, une suite peut croître ou décroître : ses termes augmentent rang après rang, ou diminuent. La tirelire d'Amine grossit chaque mois ; une dette qu'on rembourse rétrécit. Mais une suite ne se parcourt qu'aux entiers : pour comparer son comportement, on compare deux termes consécutifs, $u_n$ et $u_{n+1}$.

Tout repose sur le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$. Si elle est toujours positive, chaque terme dépasse le précédent : la suite monte. Si elle est toujours négative, elle descend.

Exemple 1. Soit $u_n=2n+3$. Calculons la différence : $u_{n+1}-u_n=(2(n+1)+3)-(2n+3)=2n+2+3-2n-3=2$. Cette différence vaut $2>0$ pour tout $n$ : la suite est strictement croissante. Chaque terme dépasse le précédent de $2$.

Exemple 2. Soit $v_n=10-4n$. On a $v_{n+1}-v_n=(10-4(n+1))-(10-4n)=-4$. La différence vaut $-4<0$ : la suite est strictement décroissante. Ses termes $10,6,2,-2,\dots$ chutent de $4$ à chaque rang.

Le piège de la suite qui n'est ni croissante ni décroissante

Beaucoup d'élèves croient qu'une suite est forcément l'un ou l'autre. C'est faux : une suite peut alterner ou changer de sens. Prends $u_n=(-1{)}^n$, qui vaut $1,-1,1,-1,\dots$ : elle monte de $u_0$ à $u_1$ ? Non, elle descend de $1$ à $-1$, puis remonte. La différence $u_{n+1}-u_n$ change de signe : la suite n'est ni croissante ni décroissante. Avant de conclure, vérifie que le signe de la différence est le même pour tout $n$. Un seul rang où il change suffit à interdire la monotonie.

Les suites arithmétiques

Reviens à la tirelire d'Amine : chaque mois, $200$ dh de plus. Le solde augmente toujours du même montant. C'est le motif le plus simple qu'une suite puisse suivre, et il porte un nom : une suite arithmétique. On passe d'un terme au suivant en ajoutant une constante.

La raison se retrouve facilement : c'est la différence entre deux termes consécutifs, $r=u_{n+1}-u_n$, et cette différence est constante. C'est même le test : une suite est arithmétique si et seulement si $u_{n+1}-u_n$ ne dépend pas de $n$.

Exemple 1. La suite $u_0=2$, $u_{n+1}=u_n+3$ est arithmétique de raison $r=3$ et de premier terme $u_0=2$. Ses termes : $2,5,8,11,14,\dots$ La tirelire d'Amine, partie de $200$ dh avec $+200$ dh par mois, est arithmétique de raison $200$.

La formule explicite

Calculer $u_{100}$ en ajoutant $r$ cent fois est pénible. Heureusement, une suite arithmétique possède une formule explicite limpide : on part du premier terme et on ajoute la raison autant de fois que de rangs parcourus.

Exemple 2. Pour $u_0=2$ et $r=3$, la formule donne $u_n=2+3n$. On vérifie : $u_3=2+9=11$ (cohérent avec la liste $2,5,8,11$), et surtout $u_{100}=2+3\times 100=302$, d'un seul calcul. Remarque que $u_n=3n+2$ est une expression affine en $n$ : une suite arithmétique se comporte comme une fonction affine restreinte aux entiers, et son sens de variation suit le signe de la raison.

Le piège de l'oubli du rang de départ

L'erreur classique sur la formule explicite : multiplier la raison par $n$ tout court, en oubliant d'où l'on part. Si une suite arithmétique commence à $u_1$ (et non $u_0$), la formule devient $u_n=u_1+(n-1)r$ : on a fait $n-1$ pas depuis le rang $1$, pas $n$ pas. Salma écrit systématiquement $u_n=u_0+nr$ même quand le premier terme donné est $u_1$, et décale tous ses calculs d'un cran. Compte toujours le nombre de pas réellement effectués : de $u_p$ à $u_n$, il y a $n-p$ ajouts de la raison.

Les suites géométriques

Le livret de Yasmine ne grossit pas par additions fixes : chaque année, le capital est multiplié par $\mathrm{1,03}$ (les $3\mathrm{\%}$ d'intérêts s'ajoutent en proportion du montant déjà présent). Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par une constante s'appelle une suite géométrique. C'est le moteur de tous les phénomènes à croissance proportionnelle : intérêts composés, populations, propagation.

La raison géométrique se retrouve par le quotient de deux termes consécutifs : $q={\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ (lorsque les termes sont non nuls), et ce quotient est constant. C'est la différence cruciale avec l'arithmétique : là on regardait une différence constante, ici un quotient constant.

Exemple 1. La suite $u_0=5$, $u_{n+1}=2u_n$ est géométrique de raison $q=2$, de premier terme $5$. Ses termes : $5,10,20,40,80,\dots$ Chaque terme double le précédent. Le livret de Yasmine, lui, est géométrique de raison $q=\mathrm{1,03}$ : $5000;5150;\mathrm{5304,5};\dots$

La formule explicite

Comme pour l'arithmétique, multiplier $q$ par lui-même de nombreuses fois se résume en une formule. On part du premier terme et on multiplie par la raison autant de fois que de rangs parcourus — d'où une puissance.

Exemple 2. Pour $u_0=5$ et $q=2$, la formule donne $u_n=5\times 2^n$. Vérification : $u_3=5\times 2^3=5\times 8=40$ (cohérent avec $5,10,20,40$), et $u_{10}=5\times 2^{10}=5\times 1024=5120$. Pour le livret de Yasmine, le capital après $n$ années est $C_n=5000\times {\mathrm{1,03}}^n$ : après $10$ ans, $C_{10}=5000\times {\mathrm{1,03}}^{10}\approx 6720$ dh.

Le piège de l'arithmétique confondue avec la géométrique

C'est le carrefour d'erreurs du chapitre. Karim regarde la suite $3,6,12,24$ et annonce « raison $3$, puisque $6-3=3$ ». Faux : la différence n'est pas constante ($12-6=6\mathrm{\ne }3$). Mais le quotient l'est : ${\displaystyle \frac{6}{3}}={\displaystyle \frac{12}{6}}={\displaystyle \frac{24}{12}}=2$. La suite est géométrique de raison $2$. Le réflexe qui te sauve : teste les deux. Si les différences consécutives sont égales, c'est arithmétique (on additionne) ; si les quotients consécutifs sont égaux, c'est géométrique (on multiplie). Ne décrète jamais la nature d'une suite sans avoir vérifié laquelle des deux constances tient.

Sommes de termes et algorithmes

Compter le total accumulé est souvent la vraie question : combien Amine a-t-il versé en tout au bout de $n$ mois ? Quelle distance totale parcourt une balle qui rebondit ? On a besoin de sommer les termes d'une suite. Additionner un à un fonctionne, mais devient vite impraticable ; pour les suites arithmétiques et géométriques, des formules closes existent.

Exemple 1. Combien vaut $1+2+\cdots +100$ ? Avec la formule, ${\displaystyle \frac{100\times 101}{2}}=5050$. C'est le calcul que le jeune Gauss, dit-on, fit de tête en une minute là où ses camarades additionnaient terme à terme. La clé : apparier le premier et le dernier ($1+100=101$), le deuxième et l'avant-dernier ($2+99=101$), etc. — $50$ paires valant chacune $101$.

Exemple 2. Pour la suite $u_n=5\times 2^n$, la somme des six premiers termes ($u_0$ à $u_5$) vaut $5\times {\displaystyle \frac{1-2^6}{1-2}}=5\times {\displaystyle \frac{1-64}{-1}}=5\times 63=315$. Vérifie en additionnant : $5+10+20+40+80+160=315$. La formule épargne l'addition manuelle.

Calculer une suite par algorithme

Quand aucune formule simple ne s'applique, ou pour vérifier un calcul, on programme une boucle qui déroule la récurrence. C'est exactement ce que fait un tableur en recopiant une formule vers le bas. En Python, calculer le terme de rang $n$ d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ :

# Calcul de u_n pour u_0 = 2, r = 3
u = 2          # terme initial u_0
r = 3
n = 10
for i in range(n):   # on applique la relation n fois
    u = u + r        # u devient le terme suivant
print(u)             # affiche u_10 = 32

À chaque tour de boucle, la variable u avance d'un rang en appliquant la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n+r$. Après $n$ tours, elle contient $u_n$. Pour une suite géométrique, on remplacerait u = u + r par u = u * q.

Exemple 3. Pour accumuler une somme, on ajoute une seconde variable qui cumule les termes. Voici le total versé par Amine après $n$ mois (versement de $200$ dh, solde croissant) :

# Somme des termes u_0 + u_1 + ... + u_{n-1}
u = 200        # premier versement
somme = 0
for i in range(12):     # une année = 12 mois
    somme = somme + u    # on cumule
    u = u + 200          # mois suivant
print(somme)             # affiche 15600

Le piège de la formule géométrique appliquée quand $q=1$

La formule de somme géométrique $u_0\times {\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}$ comporte un dénominateur $1-q$. Si $q=1$, ce dénominateur vaut $0$ : la formule n'a aucun sens (division par zéro). Or une suite géométrique de raison $1$ est constante : tous ses termes valent $u_0$, et leur somme est simplement $(n+1)\times u_0$. Avant d'appliquer la formule, vérifie toujours que $q\mathrm{\ne }1$. C'est un réflexe que tu retrouveras en Terminale avec les sommes infinies, où la condition sur $q$ devient encore plus déterminante.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre l'indice $n$ et le terme $u_n$. L'indice $n$ est l'adresse (la position dans la liste) ; le terme $u_n$ est la valeur logée à cette adresse. Si $u_n=2n+3$, alors $u_5=13$ et non $5$. De même, $u_{n+1}$ désigne le terme suivant (rang $n+1$), pas « $u_n+1$ ». Lis toujours l'indice comme une position et le terme comme une valeur.

Piège 2 : confondre suite arithmétique et suite géométrique. Arithmétique = on ajoute une raison (différences consécutives constantes) ; géométrique = on multiplie par une raison (quotients consécutifs constants). Devant $3,6,12,24$, ne décrète pas « raison $3$ » à partir de $6-3$ : teste le quotient ${\displaystyle \frac{6}{3}}=2$, constant, donc géométrique de raison $2$. Vérifie toujours laquelle des deux constances (différence ou quotient) tient.

Piège 3 : oublier le rang de départ dans la formule explicite. La formule $u_n=u_0+nr$ suppose qu'on part du rang $0$. Si la suite est donnée à partir de $u_1$, c'est $u_n=u_1+(n-1)r$ : on a fait $n-1$ pas depuis le rang $1$. De $u_p$ à $u_n$, le nombre de pas est $n-p$, pas $n$. Compte les pas réellement effectués, jamais $n$ par automatisme.

Piège 4 : croire qu'une suite est forcément monotone. Une suite peut n'être ni croissante ni décroissante : $u_n=(-1{)}^n$ alterne $1,-1,1,-1$. Le sens de variation exige que le signe de $u_{n+1}-u_n$ soit le même à tous les rangs. Un seul changement de signe interdit la monotonie. Ne conclus pas « croissante » sur la foi des deux premiers termes seulement.

Piège 5 : appliquer la formule de somme géométrique quand $q=1$. Le dénominateur $1-q$ s'annule pour $q=1$ : la formule $u_0\times {\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}$ devient une division par zéro, interdite. Une suite géométrique de raison $1$ est constante ; la somme de $(n+1)$ termes vaut alors $(n+1)\times u_0$. Toujours écarter le cas $q=1$ avant d'utiliser la formule.

Piège 6 : juger le sens d'une suite géométrique par le signe de $q$ au lieu de sa position par rapport à $1$. Pour une arithmétique, le sens dépend du signe de $r$ (par rapport à $0$). Pour une géométrique de premier terme positif, il dépend de la position de $q$ par rapport à $1$ : $q>1$ croissante, $0<q<1$ décroissante. Une raison $q=\mathrm{0,5}$ est positive et pourtant la suite décroît vers $0$. Ne transpose pas le critère arithmétique ($>0$) au cas géométrique.

Application concrète

Yasmine prépare ses études supérieures et compare deux stratégies d'épargne sur $4$ ans, à Casablanca. Plan A : un livret qui rapporte $4\mathrm{\%}$ par an, sur un dépôt initial unique de $6000$ dh. Plan B : déposer $1500$ dh la première année, puis $300$ dh de plus chaque année suivante (donc $1500$, $1800$, $2100$, $2400$), sans intérêt. Elle veut savoir quel plan rapporte le plus au bout de $4$ ans, et reconnaître la nature de chaque suite.

Étape 1 — Identifier la nature de chaque suite. Plan A : le capital est multiplié par $\mathrm{1,04}$ chaque année (les $4\mathrm{\%}$ s'ajoutent proportionnellement au montant présent). Le quotient de deux capitaux consécutifs est constant, égal à $\mathrm{1,04}$ : c'est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{1,04}$ et de premier terme $a_0=6000$. Plan B : les versements augmentent de $300$ dh chaque année. La différence entre deux versements consécutifs est constante, égale à $300$ : la suite des versements est arithmétique de raison $r=300$ et de premier terme $b_1=1500$.

Étape 2 — Calculer le capital du Plan A. Avec la formule géométrique $a_n=a_0\times q^n$, le capital après $4$ ans (rang $4$) vaut :

$$a_4=6000\times {\mathrm{1,04}}^4\approx 6000\times \mathrm{1,1699}\approx \mathrm{7019,4}\text{ dh.}$$

Le livret aura donc rapporté environ $1019$ dh d'intérêts.

Étape 3 — Calculer le total versé dans le Plan B. Les quatre versements forment une suite arithmétique : $1500,1800,2100,2400$. Leur somme se calcule par la formule arithmétique — nombre de termes $\times$ moyenne des extrêmes :

$$S=4\times {\displaystyle \frac{1500+2400}{2}}=4\times {\displaystyle \frac{3900}{2}}=4\times 1950=7800\text{ dh.}$$

Tu peux vérifier à la main : $1500+1800+2100+2400=7800$. Le Plan B accumule donc $7800$ dh en versements.

Étape 4 — Comparer et décider. Plan A : $\mathrm{7019,4}$ dh (dont $6000$ déposés et $\approx 1019$ d'intérêts). Plan B : $7800$ dh, entièrement issus des versements de Yasmine. Sur $4$ ans, le Plan B donne un montant final plus élevé. Mais attention à l'interprétation : dans le Plan B, Yasmine a déboursé $7800$ dh de sa poche, alors que dans le Plan A elle n'a déboursé que $6000$ dh et l'argent a « travaillé » pour elle. Les deux plans ne mesurent pas la même chose : l'un un capital qui fructifie, l'autre une épargne forcée.

Conclusion. Reconnaître qu'un plan suit une suite géométrique (multiplication, intérêts composés) et l'autre une suite arithmétique (addition, versements réguliers) a permis à Yasmine de modéliser, calculer et comparer en quelques lignes, là où une addition année par année aurait été laborieuse et risquée. C'est tout l'enjeu des suites : transformer un processus qui se répète en une formule qu'on maîtrise. En Terminale, tu pousseras l'idée jusqu'aux limites : que devient $a_n$ quand $n$ tend vers l'infini ? Une géométrique de raison $>1$ explose, une de raison entre $0$ et $1$ s'éteint vers $0$ — et c'est ce comportement à l'infini qui décide du sort d'un placement, d'une population ou d'une dette.

À retenir