Suites numériques — exercices corrigés

Soit la suite définie de façon explicite par $u_n=2n+3$. Que vaut $u_5$ ? Réponds par un nombre.

Une suite est définie par récurrence : $u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n+3$. Calcule $u_3$.

Parmi ces suites de premiers termes, laquelle est arithmétique ?

La suite arithmétique $(u_n)$ a pour premiers termes $7,11,15,19$. Quelle est sa raison $r$ ?

La suite géométrique $(u_n)$ a pour premiers termes $5,15,45,135$. Quelle est sa raison $q$ ? Réponds par un nombre.

Pour une suite $(u_n)$, on calcule $u_{n+1}-u_n=5$ pour tout entier $n$. Que peut-on conclure ?

Soit $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0=4$ et de raison $r=2$. Quelle est sa formule explicite ?

Soit $(u_n)$ géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $q=2$. Quelle est sa formule explicite ?

Soit $(u_n)$ géométrique définie par $u_n=5\times 2^n$. Calcule $u_3$.

Pour la suite $u_n=3n+1$, on a $u_4=4$.

Vrai ou faux ?

Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en multipliant par la raison.

Vrai ou faux ?

Une suite arithmétique de raison $r=-3$ est décroissante.

Vrai ou faux ?

Le terme $u_{n+1}$ désigne le terme qui suit immédiatement $u_n$ dans la suite.

Vrai ou faux ?

Pour reconnaître une suite géométrique, on vérifie que les quotients de termes consécutifs sont constants.

Vrai ou faux ?

Soit $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0=2$ et de raison $r=3$. En utilisant la formule explicite, calcule $u_{10}$.

Parmi ces suites de premiers termes, laquelle est géométrique ?

Soit $(u_n)$ géométrique de premier terme $u_0=4>0$ et de raison $q=3$. Quel est son sens de variation ?

Une suite $(u_n)$ est définie par récurrence : $u_0=10$ et $u_{n+1}=u_n-2$. Que vaut $u_1$ ? Réponds par un nombre.

En utilisant la formule $1+2+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$, calcule $1+2+\cdots +10$. Réponds par un nombre.

Amine met $300$ dh dans sa tirelire le premier mois, puis ajoute $300$ dh chaque mois suivant. On note $u_n$ le solde après le mois de rang $n$, avec $u_0=300$.

Écris la relation de récurrence qui donne $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis calcule le solde après $3$ mois supplémentaires ($u_3$).

Soit la suite $u_n=n^2-5n$. On calcule la différence $u_{n+1}-u_n$. Quelle expression obtient-on ?

Une suite arithmétique de raison $r=4$ vérifie $u_3=19$. Quel est son premier terme $u_0$ ?

Karim observe la suite $3,6,12,24$ et affirme : « C'est une suite arithmétique de raison $3$, car $6-3=3$. »

Que penser de son affirmation ?

Yasmine place $5000$ dh sur un livret à $3\mathrm{\%}$ par an. Le capital après $n$ années est $C_n=5000\times {\mathrm{1,03}}^n$. Quel est le capital après $2$ ans ?

Une suite arithmétique commence au rang $1$ : $u_1=5$, de raison $r=3$. Salma écrit $u_n=u_1+nr=5+3n$ et calcule $u_4=17$.

Quelle est la vraie valeur de $u_4$ ?

Soit la suite arithmétique $2,5,8,11,14$ (cinq termes, $u_0$ à $u_4$). Calcule leur somme $u_0+u_1+u_2+u_3+u_4$ avec la formule.

La suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+2$ a pour formule explicite $u_n=2n+1$.

Vrai ou faux ?

La suite $u_n=(-1{)}^n$ (qui vaut $1,-1,1,-1,\dots$) est décroissante.

Vrai ou faux ?

Pour la suite $u_n=3n+1$, on calcule $u_{n+1}-u_n$. Quel est le sens de variation de la suite ?

Soit la suite géométrique $u_n=2^n$ (raison $q=2$, premier terme $u_0=1$). Calcule la somme des cinq premiers termes $u_0+u_1+u_2+u_3+u_4$ avec la formule géométrique.

Une suite géométrique a pour premiers termes $80,40,20,10$. Donne sa raison $q$ sous forme a/b irréductible.

Dans un tableur, la colonne A contient les termes d'une suite, avec $u_0$ en cellule A1. Pour générer une suite géométrique de raison $3$ par récurrence, quelle formule mettre en A2 (puis recopier vers le bas) ?

La formule de somme géométrique $u_0\times {\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}$ peut s'appliquer telle quelle lorsque $q=1$.

Vrai ou faux ?

Une suite géométrique de premier terme $u_0=100>0$ et de raison $q=\mathrm{0,5}$ est croissante, car $q>0$.

Vrai ou faux ?

Soit la suite arithmétique $u_n=4+3n$. Pour quel rang $n$ a-t-on $u_n=25$ ?

Soit la suite $u_n=20-4n$. On étudie son sens de variation par le signe de $u_{n+1}-u_n$. Que conclut-on ?

Soit $(u_n)$ géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $q=2$. Calcule $u_5$ avec la formule explicite.

Pour la suite définie par $u_0=4$ et $u_{n+1}=2u_n-1$, Karim affirme que « $u_{n+1}$, c'est juste $u_n$ plus $1$ ».

Que vaut réellement $u_1$ ?

Une balle lâchée à Rabat rebondit : la hauteur de chaque rebond est une fraction constante de la précédente. Les hauteurs successives (en mètres) sont $u_0=9$, $u_1=6$, $u_2=4$. Donne la raison $q$ de cette suite géométrique sous forme a/b irréductible.

À chaque station du tramway de Casablanca, $8$ passagers montent et personne ne descend. Au départ du terminus, la rame contient $12$ passagers. On note $u_n$ le nombre de passagers après la $n$-ième station, avec $u_0=12$.

Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Donne sa formule explicite, puis calcule le nombre de passagers après la $5$-ième station.

Salma étudie la suite $u_n=n^2-5n$. Elle calcule les premiers termes : $u_0=0$, $u_1=-4$, $u_2=-6$. Elle conclut : « les termes diminuent, donc la suite est décroissante. »

Sa conclusion est-elle justifiée ?

Yasmine compare deux plans d'épargne à Casablanca. Plan A : un dépôt unique de $6000$ dh sur un livret à $4\mathrm{\%}$ par an, donc un capital $a_n=6000\times {\mathrm{1,04}}^n$. Plan B : verser $1500$ dh la première année, puis $300$ dh de plus chaque année ($1500,1800,2100,2400$), sans intérêt.

Pour chaque plan, identifie la nature de la suite. Puis calcule le capital du Plan A après $4$ ans, et le total versé dans le Plan B après ces $4$ versements. Lequel donne le plus gros montant final ?

Soit la suite $u_n=n^2-6n+1$. On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n=2n-5$. Que peut-on dire du sens de variation de $(u_n)$ ?

Calcule la somme de tous les entiers pairs de $2$ à $100$, c'est-à-dire $2+4+6+\cdots +100$.

Karim veut sommer les $6$ premiers termes ($u_0$ à $u_5$) de la suite géométrique constante $u_n=7$ (raison $q=1$). Il écrit $7\times {\displaystyle \frac{1-1^6}{1-1}}$ et bloque.

Quelle est la bonne valeur de la somme, et pourquoi sa formule échoue-t-elle ?

Soit la suite définie par $u_n={\displaystyle \frac{n}{n+1}}$ pour tout entier $n\ge 0$.

Montre, en étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$, que cette suite est croissante.

Une suite arithmétique vérifie $u_2=13$ et $u_7=38$. Détermine sa raison $r$.

Si une suite $(u_n)$ a une formule explicite de la forme $u_n=an+b$ (avec $a$ et $b$ constants), alors elle est arithmétique de raison $a$.

Vrai ou faux ?

Salma lit l'énoncé « le cinquième terme d'une suite arithmétique de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$ ». Elle calcule $u_5=3+5\times 2=13$.

Le cinquième terme de la suite vaut-il bien $13$ ?

Un village près d'Agadir compte $8000$ habitants. Sa population augmente de $5\mathrm{\%}$ par an. On modélise la population après $n$ années par $P_n=8000\times {\mathrm{1,05}}^n$. Quelle est la population (arrondie à l'unité) après $3$ ans ?

On exécute cet algorithme Python pour une suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n+3$ :

u = 2
for i in range(4):
    u = u + 3
print(u)

Que vaut la valeur affichée ?

La somme des $5$ premiers entiers impairs $1+3+5+7+9$ vaut $25$, soit $5^2$.

Vrai ou faux ?

Amine hésite. Option tirelire : déposer $1000$ dh, puis ajouter $500$ dh chaque mois ($u_0=1000$). Option livret : déposer $1000$ dh sur un compte qui rapporte $10\mathrm{\%}$ par mois ($v_0=1000$, $v_{n+1}=\mathrm{1,1}{v}_n$).

Donne la nature et la formule explicite de chaque suite. Puis compare les soldes au bout de $3$ mois ($u_3$ et $v_3$, ce dernier arrondi à l'unité). Laquelle est la plus avantageuse à ce stade ?

Soit la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=-2u_n$. On calcule ses premiers termes. Quel est son comportement ?

Soit la suite géométrique $u_n=2^n$ (premier terme $u_0=1$, raison $q=2$). Calcule la somme des dix premiers termes $u_0+u_1+\cdots +u_9$.

Toute suite numérique est soit croissante, soit décroissante.

Vrai ou faux ?

Deux suites partent du même premier terme $u_0=v_0=4$. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $4$ ($u_n=4+4n$) ; la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ ($v_n=4\times 2^n$). À quel rang la géométrique dépasse-t-elle pour la première fois l'arithmétique ($v_n>u_n$) ?

Une suite géométrique vérifie $u_0=64$ et $u_2=36$. Sachant que sa raison $q$ est positive, donne $q$ sous forme a/b irréductible.

Pour la suite $u_n=3\times 2^n$, la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante.

Vrai ou faux ?

On exécute cet algorithme, qui cumule des termes d'une suite arithmétique :

u = 5
somme = 0
for i in range(4):
    somme = somme + u
    u = u + 5
print(somme)

Que vaut somme à la fin ?

Salma lit qu'un loyer à Marrakech, de $3000$ dh, « augmente de $200$ dh chaque année », tandis qu'un autre, de $3000$ dh aussi, « augmente de $5\mathrm{\%}$ chaque année ». Elle affirme : « Les deux suivent une suite arithmétique, puisque les deux augmentent régulièrement. »

A-t-elle raison ? Identifie correctement la nature de chaque suite et justifie.

En révisant à Marrakech, Karim retient ce résultat du cours : « si une suite géométrique a une raison $q>1$, alors ses termes deviennent arbitrairement grands ». Il en déduit aussitôt : « donc une suite dont les termes deviennent arbitrairement grands est forcément géométrique ».

Son raisonnement est-il valable ?