Notion de fonction et modélisation — exercices corrigés

Soit $f$ une fonction et $a$ un nombre de son ensemble de définition. Comment appelle-t-on le nombre $f(a)$ ?

Soit $f:x\mapsto 2x+3$. Calcule l'image de $4$ par $f$, c'est-à-dire $f(4)$.

Quelle propriété distingue une fonction d'un simple lien entre deux grandeurs ?

On sait que $f(3)=8$. Dans cette égalité, quel est l'antécédent ?

Soit $f:x\mapsto x^2$. Calcule $f(-5)$.

Le tableau de valeurs ci-dessous donne quelques images d'une fonction $f$.

Quelle est l'image de $0$ par $f$ ?

Le tableau de valeurs ci-dessous donne quelques images d'une fonction $f$.

D'après ce tableau, quel est un antécédent de $4$ par $f$ ?

Que signifie l'écriture $f(a)$ ?

Soit $g:x\mapsto 3x-1$. Calcule l'image de $5$ par $g$.

Soit $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$. Quel nombre n'a pas d'image par $g$ ?

Par une fonction $f$, un nombre $a$ de l'ensemble de définition possède toujours une seule et unique image.

Karim affirme : « Un nombre possède toujours exactement un antécédent par une fonction. »

Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs d'une fonction $h$.

Quelle est l'image de $2$ par $h$ ?

Pour une fonction $f$, l'écriture $f(x)$ désigne toujours le produit $f\times x$.

Pour une fonction $f$, que représente l'écriture $f(0)$ ?

Amine remplit son réservoir. Le carburant coûte $14$ dh le litre. Le montant à payer est modélisé par $P:x\mapsto 14x$, où $x$ est le nombre de litres versés. Combien Amine paie-t-il pour $12$ litres ?

Soit $f$ une fonction telle que $f(2)=3$. Le point $M(2;3)$ appartient à la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$.

Soit $f:x\mapsto x^2-2x+1$. Calcule $f(3)$.

Comment appelle-t-on l'ensemble de tous les nombres $x$ pour lesquels $f(x)$ peut être calculé ?

Le tarif du tramway de Casablanca associe à un nombre de tickets le prix payé. Le tableau ci-dessous donne ce tarif $T$ (en dh).

Quel est le prix de $5$ tickets ?

Soit $f:x\mapsto 3x^2-5$. Calcule l'image de $2$ par $f$.

Soit $f:x\mapsto 2x-3$. Quel est l'unique antécédent de $5$ par $f$ ?

Soit $f:x\mapsto x^2$. Combien le nombre $9$ admet-il d'antécédents par $f$ ?

Soit $f:x\mapsto x^2+1$. Combien le nombre $-2$ admet-il d'antécédents par $f$ ?

Karim affirme : « Résoudre $f(x)=0$ revient à calculer $f(0)$. » Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Salma affirme : « Un nombre peut avoir deux images différentes par une même fonction. » Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Le tableau de valeurs ci-dessous donne quelques images de la fonction $f$.

D'après ce tableau, quels sont les antécédents de $0$ par $f$ ?

Le tableau de valeurs ci-dessous donne quelques images de la fonction $g$.

Lis dans le tableau la valeur de $g(0)$.

Soit $f:x\mapsto x^2-2x$. Parmi les points suivants, lequel appartient à la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ ?

Soit $h:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x-2}}$. Quel est l'ensemble de définition de $h$ ?

On lit sur la courbe de la température à Ifrane qu'à 14 h, il fait « environ $\mathrm{26,5}$ °C ». Amine en conclut : « Une valeur lue sur une courbe est en général approchée, on devrait écrire $\approx$ plutôt que $=$. » A-t-il raison ?

Karim énonce ce programme de calcul : « Choisis un nombre, multiplie-le par $3$, puis ajoute $5$. » Quelle fonction modélise ce programme, si $x$ désigne le nombre choisi ?

Soit $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$, définie pour $x\mathrm{\ne }0$. Calcule $g(4)$ et donne le résultat sous forme décimale.

Le montant payé à la pompe est modélisé par $P:x\mapsto 14x$, où $x$ est le nombre de litres et $14$ le prix en dirhams par litre. Amine a payé $210$ dh. Combien de litres a-t-il versés ?

On sait que $f(3)=8$. On demande à Salma : « Quelle est l'image de $8$ par $f$ ? » Elle répond $3$. Que vaut en réalité, d'après cette seule information, l'affirmation correcte ?

Karim dit : « $f$ et $f(x)$, c'est exactement la même chose. » A-t-il raison ?

Yasmine dispose de $30$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur (le mur forme un des côtés de la longueur). Elle note $x$ la longueur (en mètres) de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur. Quelle expression donne l'aire $A(x)$ de l'enclos ?

Soit $g:x\mapsto 2x^2-x-3$. Calcule l'image de $-2$ par $g$.

Amine modélise le montant de sa facture d'eau par $F:x\mapsto \mathrm{3,5}x+20$, où $x$ est la consommation en m³ et $F(x)$ le montant en dirhams. Salma affirme : « L'ensemble de définition de $F$ est l'ensemble de tous les réels. » A-t-elle raison ?

Voici un tableau de valeurs d'une fonction $h$ :

Karim affirme que $1$ possède un seul antécédent par $h$. Qu'en penses-tu ?

Le tableau de valeurs suivant décrit une fonction $f$ :

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

Le tramway de Casablanca applique la grille tarifaire suivante, selon le nombre de tickets achetés en une seule transaction :

Yasmine achète des tickets pour elle et ses amis.

Partie 1. Yasmine paie $30$ dh. Quel est le nombre de tickets qu'elle a achetés ? Précise s'il s'agit d'un calcul d'image ou de recherche d'antécédent.

Partie 2. Amine dit : « Pour $n=3$, le prix est $T(3)=3\times 7=21$ dh, en multipliant simplement le prix unitaire. » Montre, à l'aide du tableau, que cette affirmation est incorrecte.

Partie 3. Karim affirme que $T$ n'est pas une fonction parce que le tableau ne donne qu'une formule pour certaines valeurs de $n$. A-t-il raison ? Justifie.

Salma trace la courbe d'un procédé et observe qu'une droite verticale donnée coupe cette courbe en deux points distincts. Elle conclut : « Ce procédé n'est pas une fonction, car une entrée aurait deux sorties. » A-t-elle raison ?

Yasmine clôture un enclos rectangulaire adossé à un mur de sa maison près de Marrakech. Elle dispose de $40$ m de grillage pour les trois autres côtés. Elle note $x$ la longueur (en mètres) de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur. L'aire de l'enclos est modélisée par $A(x)=x(40-2x)$.

Quelle est l'aire de l'enclos, en m², si Yasmine choisit $x=15$ m ?

Soit $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{x+3}{x-2}}$. Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?

Karim affirme : « Pour la fonction $f:x\mapsto x^2+1$, tout nombre réel admet au moins un antécédent par $f$. » A-t-il raison ?

Le tramway de Casablanca applique un tarif dégressif. Pour un groupe, le coût total en dirhams est modélisé par $T:n\mapsto \mathrm{6,5}n+4$, où $n$ est le nombre de tickets et $T(n)$ le montant total en dirhams.

Yasmine souhaite que le groupe paie exactement $56$ dh. Combien de tickets doit-il acheter ?

Amine décrit le programme de calcul suivant : « Prends un nombre, multiplie-le par $4$, puis retranche $6$. » Ce programme définit une fonction $f$.

Karim veut trouver le nombre $x$ qui donne $f(x)=10$. Il dit : « Il faut d'abord soustraire $6$ de $10$, ce qui donne $4$, puis diviser $4$ par $4$, ce qui donne $1$. L'antécédent de $10$ est donc $1$. »

La méthode de Karim est-elle correcte ? Quelle est la bonne valeur de l'antécédent de $10$ ?

Soit $f:x\mapsto x^2-3x+1$. Parmi les points suivants, lequel appartient à la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ ?

Salma lit sur la courbe représentative de $f$ que le point d'abscisse $3$ semble avoir une ordonnée voisine de $4$. Elle écrit dans sa copie : « $f(3)=4$. » Amine, lui, possède la formule $f(x)=x^2-5$. Il calcule $f(3)=4$. Salma affirme alors : « Ma lecture graphique était exacte, puisqu'on trouve aussi $4$ par le calcul. »

L'affirmation de Salma est-elle correcte du point de vue de la rigueur mathématique ?

Amine veut construire un rectangle dont la longueur est le double de la largeur. Il note $x$ la largeur en mètres ($x>0$). Quelle fonction $P$ donne le périmètre du rectangle en fonction de $x$ ? Et quelle est la valeur de $x$ si le périmètre vaut $36$ m ?

Soit $h:x\mapsto x^2+2x-2$. Calcule l'image de $-1$ par $h$.

Amine loue un vélo à Ifrane. Le tarif est modélisé par $C:x\mapsto 20x+15$, où $x$ est la durée de location en heures et $C(x)$ le coût en dirhams. Amine calcule $C(3)=75$. Parmi les interprétations suivantes, laquelle est correcte ?

Karim affirme : « La fonction $r:x\mapsto \sqrt{x-4}$ est définie pour tout réel $x$. » A-t-il raison ?

Soit $f:x\mapsto 4x+9$. Quel est l'antécédent de $1$ par $f$ ?

Soit $f:x\mapsto -x^2+4x$. Voici un tableau de valeurs partiellement rempli :

Quelle est la valeur manquante $f(2)$ ?

Salma veut clôturer un enclos rectangulaire dans le jardin de sa maison à Marrakech. Elle dispose de $60$ m de grillage pour les quatre côtés. Elle note $x$ la largeur de l'enclos en mètres.

Partie 1. Exprime la longueur de l'enclos en fonction de $x$, puis écris la fonction $A$ qui donne l'aire de l'enclos en m².

Partie 2. Quel est l'ensemble de définition réaliste de $A$ ?

Partie 3. Complète le tableau de valeurs suivant :

Partie 4. D'après ton tableau, quelle valeur de $x$ semble donner la plus grande aire ? Que remarques-tu sur la forme de l'enclos dans ce cas ?

Soit $f:x\mapsto x^2-4$ et $g:x\mapsto 2x-1$. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $f(x)=g(x)$ (c'est-à-dire, pour quel antécédent les deux fonctions ont-elles la même image) ?

Un opérateur téléphonique marocain propose deux forfaits mensuels pour les données mobiles :

• Forfait A : $50$ dh par mois, plus $2$ dh par gigaoctet (Go) consommé au-delà du forfait de base.
• Forfait B : $90$ dh par mois, données illimitées (le coût ne dépend pas de la consommation).

On modélise le coût mensuel total du forfait A par $C_A(x)=2x+50$, où $x$ est le nombre de Go supplémentaires consommés. Pour quelle valeur de $x$ les deux forfaits coûtent-ils exactement le même prix ?

La RADEEF (régie d'eau et d'électricité) d'une ville marocaine applique une tarification de l'eau en deux tranches. Amine modélise la facture mensuelle (en dh) selon la consommation $x$ en m³ :

• Pour $0\le x\le 6$ : $F_1(x)=4x+8$
• Pour $x>6$ : $F_2(x)=6x-4$

Partie 1. Calcule la facture si Amine consomme $5$ m³ puis si sa famille consomme $10$ m³. Utilise la bonne formule dans chaque cas.

Partie 2. Yasmine dit que la consommation est de $9$ m³ si la facture est de $50$ dh. A-t-elle raison ? Justifie par le calcul.

Partie 3. Pour quelle consommation les deux formules donnent-elles le même montant ? Ce résultat est-il cohérent avec les tranches définies ?