Fonctions de référence et résolution graphique — exercices corrigés

Une fonction affine $f(x)=ax+b$ est strictement croissante quand $a>0$ et strictement décroissante quand $a<0$. Ici $a=-2<0$, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ : plus $x$ augmente, plus $f(x)$ diminue.

Si tu as répondu A, tu as peut-être regardé la valeur absolue de $a$ sans tenir compte de son signe. C'est le signe du coefficient directeur qui dicte le sens de variation.

Si tu as répondu C, rappelle-toi qu'une fonction constante a $a=0$, ce qui donnerait $f(x)=b$ pour tout $x$. Ce n'est pas le cas ici.

Si tu as répondu D, note que toute fonction affine avec $a\mathrm{\ne }0$ est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ entier — il n'y a aucune zone « ni l'une ni l'autre ». C'est ce qui la distingue de la fonction carré, par exemple.

En 1re, lorsque tu étudieras les dérivées, tu retrouveras ce résultat autrement : la dérivée de $f(x)=-2x+5$ est $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2<0$, ce qui confirme la décroissance stricte sur $\mathbb{R}$.

L'ordonnée à l'origine est la valeur que prend $f$ quand $x=0$. On calcule : $f(0)=3\times 0-7=-7$. C'est la valeur $b$ dans l'écriture $f(x)=ax+b$.

Géométriquement, c'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées, ici le point $(0;-7)$.

Si tu as trouvé $3$, tu as confondu le coefficient directeur $a=3$ avec l'ordonnée à l'origine $b$. Le coefficient directeur mesure la pente de la droite, pas son point de départ vertical.

Si tu as trouvé $7$, attention au signe : $b=-7$, pas $+7$. Le signe fait partie intégrante de la valeur.

Si tu as trouvé $-3$, cette valeur n'apparaît nulle part dans cette fonction. Vérifie que tu identifies bien les rôles de $a$ et $b$ dans $f(x)=ax+b$.

En terminale, quand tu travailleras les équations de droites dans le plan, tu utiliseras systématiquement cette même lecture : $a$ pour la pente, $b$ pour l'ordonnée à l'origine.

On remplace $x$ par $-3$ dans la formule : $f(-3)=(-3{)}^2$. Le carré d'un nombre négatif est toujours positif, car multiplier deux négatifs donne un positif : $(-3)\times (-3)=9$.

Une erreur très répandue consiste à écrire $f(-3)=-9$, comme si le signe « passait » devant. C'est faux : $(-3{)}^2\mathrm{\ne }-(3^2)$. La différence est fondamentale : $(-3{)}^2=9$ alors que $-3^2=-9$ (dans ce second cas, on élève $3$ au carré puis on prend l'opposé).

Cette propriété — que le carré est toujours positif ou nul — est l'une des grandes forces de la fonction carré : quelle que soit la valeur de $x$, $x^2⩾0$. Tu l'utiliseras souvent en 1re pour justifier des inégalités ou des identités remarquables.

Salma a tort. La fonction inverse $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ exige de diviser $1$ par $x$. Or la division par zéro n'est pas définie en mathématiques — elle n'a aucun sens, ni comme limite finie, ni comme valeur. On dit que $0$ n'appartient pas au domaine de définition de $f$.

Le domaine de définition de la fonction inverse est $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, c'est-à-dire tous les réels sauf $0$. Sur la courbe (l'hyperbole), cela se traduit par le fait que la courbe ne coupe jamais l'axe des ordonnées : elle s'en approche indéfiniment mais ne l'atteint pas.

En terminale, tu rencontreras la notion de limite, qui permet de décrire précisément ce comportement : « $f(x)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $x$ tend vers $0^{+}$ ». L'impossibilité en $0$ n'est donc pas un caprice, c'est le point de départ d'une idée beaucoup plus riche.

C'est vrai, et c'est l'une des propriétés les plus fondamentales de la fonction carré. Multiplier un réel par lui-même donne toujours un résultat positif ou nul :

• Si $x>0$, alors $x\times x>0$.
• Si $x<0$, alors $x\times x>0$ (négatif $\times$ négatif = positif).
• Si $x=0$, alors $x\times x=0$.

Dans tous les cas, $x^2⩾0$, avec égalité seulement quand $x=0$.

Si tu as répondu Faux, tu as peut-être pensé aux négatifs en croyant que $(-3{)}^2$ serait négatif. Rappelle-toi : $(-3{)}^2=(-3)\times (-3)=9>0$.

Cette inégalité sera l'un de tes outils de base en 1re et terminale pour démontrer que certaines expressions sont positives, pour trouver des extrema, et pour aborder les inégalités. En classes préparatoires, elle reste au cœur de nombreuses démonstrations d'analyse.

La fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$ n'est définie que pour les valeurs de $x$ positives ou nulles, c'est-à-dire $x⩾0$. On ne peut pas extraire la racine carrée d'un nombre strictement négatif dans $\mathbb{R}$.

Parmi les quatre propositions, seul $0$ vérifie $0⩾0$. On a d'ailleurs $f(0)=\sqrt{0}=0$.

Si tu as répondu A, B ou D, tu as proposé un nombre strictement négatif. Essaie de calculer $\sqrt{-4}$ sur ta calculatrice — elle affiche une erreur, précisément parce que ce calcul n'est pas défini dans $\mathbb{R}$.

Le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x}$ est donc $[0;+\mathrm{\infty }[$. Sur la courbe, cela signifie que la branche part du point $(0;0)$ et s'étend uniquement vers la droite.

En terminale et en classes préparatoires, tu rencontreras les nombres complexes, qui permettent de donner un sens à $\sqrt{-1}$ — mais ce sera dans un cadre entièrement différent de $\mathbb{R}$.

On remplace $x$ par $4$ dans l'expression de $f$ : $f(4)=2\times 4-3$. Le calcul se fait en deux temps : d'abord la multiplication $2\times 4=8$, puis la soustraction $8-3=5$.

Attention à l'ordre des opérations : la multiplication passe avant la soustraction. Si tu avais d'abord calculé $2-3=-1$ puis multiplié par $4$, tu aurais obtenu $-4$, ce qui est faux.

Si tu as trouvé $8$ en oubliant de soustraire $3$, tu n'as effectué que la première étape du calcul. Le terme $-3$ correspond à $b=-3$, le coût fixe dans l'exemple d'Amine — il faut bien le prendre en compte.

En 1re, lorsque tu calculeras des dérivées, tu retrouveras que la dérivée de $f(x)=2x-3$ est $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2$, c'est-à-dire le coefficient directeur, qui représente ici le gain par article supplémentaire vendu.

On remplace $x$ par $-2$ : $f(-2)=(-2{)}^3=(-2)\times (-2)\times (-2)$.

On procède par étapes : d'abord $(-2)\times (-2)=4$ (négatif $\times$ négatif = positif), puis $4\times (-2)=-8$ (positif $\times$ négatif = négatif).

Le cube d'un nombre négatif est négatif — c'est ce qui distingue la fonction cube de la fonction carré. En général, pour $x<0$ on a $x^3<0$, pour $x=0$ on a $x^3=0$, et pour $x>0$ on a $x^3>0$.

Si tu as répondu $8$, tu as peut-être oublié de compter le troisième facteur $(-2)$ et traité la situation comme un carré. Rappelle-toi : le cube, c'est trois fois le même facteur, pas deux.

Si tu as répondu $-6$, tu as probablement calculé $3\times (-2)$ au lieu de $(-2)\times (-2)\times (-2)$ — l'exposant indique une multiplication répétée, pas une multiplication simple par l'exposant.

En 1re, la dérivée de $f(x)=x^3$ sera $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2$, toujours positive ou nulle, ce qui expliquera pourquoi $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ entier.

La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro sur la droite numérique, toujours positive ou nulle. Par définition : si $x<0$, alors $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$ (on prend l'opposé pour rendre le résultat positif).

Ici $-5<0$, donc $\mathrm{\mid }-5\mathrm{\mid }=-(-5)=5$.

Si tu as répondu $-5$, tu as simplement recopié l'argument sans appliquer la valeur absolue. La valeur absolue « efface » le signe négatif.

Si tu as répondu $0$, tu as peut-être confondu avec $f(0)=0$. La valeur absolue ne donne $0$ que pour $x=0$.

Note que $f(5)=\mathrm{\mid }5\mathrm{\mid }=5$ aussi : la fonction valeur absolue renvoie la même image pour $-5$ et $5$, d'où la forme en V de sa courbe, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. En 1re, tu utiliseras la valeur absolue pour exprimer des distances et des écarts, notamment dans les inégalités du type $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }<r$.

C'est vrai. La courbe représentative de toute fonction affine $f(x)=ax+b$ est une droite. C'est même ce qui définit les fonctions affines : ce sont exactement les fonctions dont la représentation graphique est une droite non verticale dans le repère.

Le coefficient $a$ détermine l'inclinaison (la pente) de cette droite, et $b$ détermine son ordonnée à l'origine (où elle coupe l'axe des ordonnées). Deux points suffisent pour tracer une droite : il est donc toujours possible de représenter une fonction affine à partir de deux images calculées.

Si tu as répondu Faux, peut-être as-tu pensé à d'autres fonctions comme le carré (parabole) ou l'inverse (hyperbole) ? Ces fonctions donnent effectivement des courbes qui ne sont pas des droites — mais précisément parce qu'elles ne sont pas affines.

En 1re avec les dérivées, tu comprendras que les fonctions affines sont les seules fonctions dont le taux de variation est constant partout : c'est exactement la propriété qui les rend « droites ».

La courbe représentative de la fonction carré $f(x)=x^2$ s'appelle une parabole. Elle a la forme d'un U, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, avec son sommet en l'origine $(0;0)$.

Si tu as répondu A, tu as confondu avec la courbe de la fonction inverse $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, qui s'appelle une hyperbole. Ce sont deux courbes très différentes : la parabole est continue et passe par l'origine, l'hyperbole est en deux branches séparées et ne passe pas par l'origine.

Si tu as répondu B, rappelle-toi qu'une droite correspond à une fonction affine $f(x)=ax+b$. La fonction carré n'est pas affine : son taux de variation n'est pas constant.

Si tu as répondu D, la forme en V appartient à la fonction valeur absolue $f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, qui présente deux demi-droites. La parabole, elle, est courbe et arrondie en son sommet, sans angle aigu.

En 1re et terminale, tu étudiera la famille plus large des paraboles d'équation $y=a{x}^2+bx+c$ (les fonctions du second degré). Les dérivées te permettront de trouver leur sommet et leurs variations de façon systématique.

C'est vrai. La courbe de la fonction inverse $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ s'appelle une hyperbole. Elle est formée de deux branches distinctes : l'une dans le quadrant en haut à droite (pour $x>0$, les valeurs $f(x)$ sont positives), et l'autre dans le quadrant en bas à gauche (pour $x<0$, les valeurs $f(x)$ sont négatives).

Les deux branches se « rapprochent » indéfiniment des axes de coordonnées sans jamais les atteindre : on dit que les axes sont des asymptotes de la courbe.

Si tu as répondu Faux, peut-être as-tu confondu avec une autre courbe — la parabole (fonction carré) ou la droite (fonction affine) ? Chaque fonction de référence a sa propre forme caractéristique, et mémoriser ces formes est essentiel pour la résolution graphique d'équations.

En terminale et en classes préparatoires, tu rencontreras la notion d'asymptote de façon rigoureuse, et l'hyperbole sera l'exemple canonique pour illustrer les limites infinies.

On cherche le nombre positif dont le carré vaut $9$. On a $3^2=9$, donc $\sqrt{9}=3$.

Par convention, la racine carrée désigne toujours la valeur positive : $\sqrt{9}=3$ et non $-3$, même si $(-3{)}^2=9$ également. Lorsqu'on résout $x^2=9$, on trouve deux solutions $x=3$ et $x=-3$ ; mais $\sqrt{9}$ tout seul vaut $3$.

Si tu as répondu $-3$, tu as oublié la convention : la notation $\sqrt{\phantom{x}}$ désigne uniquement la racine carrée positive (dite racine carrée arithmétique).

Si tu as répondu $\mathrm{4,5}$ (la moitié de $9$), tu as confondu racine carrée et division par deux. Ce sont deux opérations très différentes.

En 1re, la dérivée de $f(x)=\sqrt{x}$ est $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$, ce qui te permettra de justifier rigoureusement que $f$ est strictement croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

La courbe de $f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ est formée de deux demi-droites qui se rejoignent en un angle au point $(0;0)$ : la demi-droite $y=-x$ pour $x<0$ (qui descend vers la gauche) et la demi-droite $y=x$ pour $x⩾0$ (qui monte vers la droite). L'ensemble ressemble à la lettre V, avec la pointe en bas, exactement à l'origine.

Si tu as répondu A, tu penses peut-être à la forme de la parabole $f(x)=x^2$, qui est effectivement arrondie comme un U. La différence clé : la parabole est courbe et arrondie en son sommet, tandis que le V de la valeur absolue présente un angle vif (non différentiable) en $0$.

Si tu as répondu C, un W implique deux creux et deux pentes — cela ne correspond à aucune des six fonctions de référence de ce chapitre.

Si tu as répondu D, un Z est une figure à angles droits et à sens opposés, sans rapport avec une courbe de fonction.

En 1re, tu verras que $f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ n'est pas dérivable en $x=0$ : c'est précisément cet angle aigu en V qui l'explique. Toutes les autres fonctions de référence sont lisses en leur point d'inflexion ou de sommet.

On calcule directement : ${\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{-3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$. Le résultat est négatif, car $1$ est positif et $-3$ est négatif, et le quotient d'un positif par un négatif est négatif.

De façon générale, la fonction inverse $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ conserve le signe de $x$ : si $x>0$, alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}>0$ ; si $x<0$, alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}<0$. Les deux branches de l'hyperbole se situent précisément là où $x$ et $f(x)$ ont le même signe.

Si tu as répondu A, tu as peut-être oublié le signe négatif de $x=-3$. La valeur absolue de ${\displaystyle \frac{1}{-3}}$ est bien ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, mais le nombre lui-même est $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$, qui est négatif.

Si tu as répondu B, rappelle-toi qu'un quotient est nul seulement si le numérateur est nul. Ici le numérateur est $1\mathrm{\ne }0$, donc ${\displaystyle \frac{1}{-3}}\mathrm{\ne }0$.

Si tu as répondu D, il est tout à fait possible de déterminer le signe : on dispose de la valeur exacte $x=-3$, et le calcul est sans ambiguïté.

En 1re, l'étude du signe de fonctions plus complexes reposera sur ce type de raisonnement — signe du numérateur fois signe du dénominateur — que tu développeras via les tableaux de signes.

Karim a tort. La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\mathrm{\infty };0]$ (les réels négatifs, zéro inclus), et strictement croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ (les réels positifs, zéro inclus).

Pour s'en convaincre, compare quelques valeurs sur $]-\mathrm{\infty };0]$ : $(-3{)}^2=9$, $(-2{)}^2=4$, $(-1{)}^2=1$, $0^2=0$. Quand $x$ augmente de $-3$ à $0$, les images diminuent de $9$ à $0$ : c'est une décroissance, pas une croissance.

L'erreur de Karim est fréquente : il a peut-être pensé que « le carré donne toujours un résultat positif, donc la fonction monte toujours ». Mais la positivité du résultat ne dit rien sur le sens de variation — ce qui compte, c'est la façon dont les images évoluent quand $x$ augmente.

Si tu as répondu A (Vrai) et suivi Karim, reprends quelques exemples numériques : $(-4{)}^2=16>(-2{)}^2=4$, donc pour $x$ allant de $-4$ à $-2$ (augmentation), $f(x)$ va de $16$ à $4$ (diminution). C'est bien décroissant.

En 1re, la dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x$ te donnera ce résultat immédiatement : $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ quand $x<0$ (décroissante), $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ quand $x>0$ (croissante).

C'est vrai. La fonction cube est strictement croissante sur tout $\mathbb{R}$. Pour tout couple de réels $x_1<x_2$, on a bien $x_1^3<x_2^3$.

Vérifie sur quelques exemples :

• $(-2{)}^3=-8$ et $(-1{)}^3=-1$ : $-8<-1$, donc quand $x$ passe de $-2$ à $-1$, $f(x)$ passe de $-8$ à $-1$. Croissant.
• $(-1{)}^3=-1$ et $1^3=1$ : $-1<1$. Croissant même en passant par $0$.
• $1^3=1$ et $2^3=8$ : $1<8$. Croissant.

Contrairement à la fonction carré, qui décroit sur les négatifs et croit sur les positifs, la fonction cube « conserve le signe » et croit partout sans interruption.

Si tu as répondu Faux, peut-être as-tu confondu avec la fonction carré ? La règle « négatif $\times$ négatif = positif » ne provoque aucune inversion de sens pour le cube, car l'impaire puissance ($3$) produit un signe final qui est toujours celui de $x$.

En 1re, la dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2⩾0$ pour tout $x$, avec $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ — et pourtant $f$ reste strictement croissante. C'est un exemple subtil qui illustre qu'une dérivée nulle en un point isolé n'empêche pas la croissance stricte.

Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x)=ax$ (avec $b=0$). Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine $(0;0)$.

Parmi les propositions :

• $f(x)=2x+1$ : c'est une fonction affine mais pas linéaire, car $b=1\mathrm{\ne }0$. Elle passe par $(0;1)$, pas par l'origine.
• $f(x)=3x$ : ici $b=0$, donc c'est bien une fonction linéaire. $f(0)=3\times 0=0$ : elle passe par l'origine. C'est la bonne réponse.
• $f(x)=x^2$ : ce n'est pas une fonction affine du tout — c'est la fonction carré.
• $f(x)=-x+5$ : c'est une fonction affine avec $b=5\mathrm{\ne }0$. Elle passe par $(0;5)$.

Si tu as répondu A ou D, tu as reconnu des fonctions affines mais tu n'as pas vérifié que $b=0$. La linéarité est une condition plus stricte que la simple affine.

Si tu as répondu C, la fonction carré n'est ni affine ni linéaire : sa représentation est une parabole, pas une droite.

En 1re, les fonctions linéaires jouent un rôle clé dans les approximations affines (tangentes) : la dérivée en un point donne précisément une telle fonction linéaire locale.

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. Pour s'en convaincre, compare quelques valeurs : $\sqrt{0}=0<\sqrt{1}=1<\sqrt{4}=2<\sqrt{9}=3$. Quand $x$ augmente, $\sqrt{x}$ augmente aussi — c'est une croissance stricte.

Sur la courbe, cela se traduit par une branche qui part du point $(0;0)$ et monte sans jamais redescendre, mais de plus en plus lentement (elle s'aplatit progressivement).

Si tu as répondu A, tu as inversé le sens de variation. Attention : $x=1<x=4$ et pourtant $\sqrt{1}=1<\sqrt{4}=2$, donc les images grandissent bien quand $x$ grandit.

Si tu as répondu B, une fonction constante aurait la même image pour tous les $x$. Ici $\sqrt{1}\mathrm{\ne }\sqrt{4}$, donc ce n'est pas le cas.

Si tu as répondu D, c'est le comportement de la fonction carré (décroissante sur les négatifs, croissante sur les positifs). La racine carrée, elle, n'est définie que pour $x⩾0$, et sur cet intervalle elle est toujours croissante.

En 1re, la dérivée $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}>0$ pour tout $x>0$ confirmera cette croissance stricte de façon rigoureuse.

On remplace $x$ par $4$ dans la formule : $f(4)={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

La fraction ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ vaut $\mathrm{0,25}$ en écriture décimale : ${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{25}{100}}=\mathrm{0,25}$.

Si tu as répondu $4$, tu as peut-être inversé numérateur et dénominateur et calculé ${\displaystyle \frac{4}{1}}=4$ au lieu de ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. La fonction inverse, c'est $1$ divisé par $x$, pas $x$ divisé par $1$.

Si tu as répondu $0$, rappelle-toi que ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ est une fraction non nulle — le numérateur est $1$, qui est différent de $0$.

Si tu as répondu ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ sous forme fractionnaire, c'est mathématiquement correct et identique à $\mathrm{0,25}$. Ici la réponse attendue est la forme décimale.

Remarque que $f(4)=\mathrm{0,25}>0$ : c'est cohérent avec le fait que la fonction inverse renvoie un résultat de même signe que l'argument, et $4>0$. En 1re, tu verras que les dérivées des fonctions de référence permettent de retrouver leurs tableaux de variation en quelques lignes.