Équations, inéquations et signes

Équations du premier degré

Une équation du premier degré, c'est une égalité où l'inconnue $x$ n'apparaît qu'à la puissance 1, jamais au carré ni au dénominateur. Résoudre, c'est isoler $x$ en effectuant la même opération sur les deux membres.

Le principe fondamental est inchangé depuis la 3e : une égalité reste vraie si l'on ajoute, soustrait, multiplie ou divise ses deux membres par un même nombre — non nul pour la multiplication et la division.

Exemple 1. Résolvons :

$$ax+b=0\text{avec}a\mathrm{\ne }0$$

On soustrait $b$ aux deux membres, puis on divise par $a$ :

$$ax=-b\text{donc}x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$$

Une équation du premier degré a donc toujours exactement une solution, $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$.

Exemple 2. Résolvons :

$$5x+3=2x+18$$

On regroupe les termes en $x$ d'un côté, les nombres de l'autre. On soustrait $2x$ aux deux membres :

$$3x+3=18$$

On soustrait $3$ :

$$3x=15$$

On divise par $3$ :

$$x=5$$

La solution est $x=5$.

Exemple 3. Résolvons une équation à coefficients fractionnaires :

$${\displaystyle \frac{x}{3}}-2={\displaystyle \frac{x}{4}}$$

On multiplie les deux membres par $12$ (le plus petit dénominateur commun) pour éliminer les fractions :

$$12\times {\displaystyle \frac{x}{3}}-12\times 2=12\times {\displaystyle \frac{x}{4}}$$ $$4x-24=3x$$

On soustrait $3x$ aux deux membres, puis on ajoute $24$ :

$$x-24=0\text{donc}x=24$$

Mettre un problème en équation

La vraie compétence n'est pas de calculer, mais de traduire une situation en équation. La méthode tient en cinq temps : choisir l'inconnue, traduire l'énoncé, résoudre, vérifier que le résultat a du sens, conclure par une phrase.

Exemple 4. Amine achète à Fès deux types de pâtisseries au souk : des cornes de gazelle à $4$ dh pièce et des chebakias à $3$ dh pièce. Il prend deux fois plus de chebakias que de cornes de gazelle et dépense en tout $50$ dh. Combien a-t-il acheté de cornes de gazelle ?

On appelle $x$ le nombre de cornes de gazelle. Il prend alors $2x$ chebakias. La dépense totale s'écrit :

$$4x+3\times 2x=50$$ $$4x+6x=50\text{donc}10x=50\text{donc}x=5$$

Amine a acheté $5$ cornes de gazelle (et $10$ chebakias). Vérification : $4\times 5+3\times 10=20+30=50$ dh. Cohérent.

Le piège de l'inconnue qui disparaît

Parfois, en regroupant les termes, l'inconnue s'évanouit. Il reste alors une égalité de nombres, et c'est elle qui décide.

Exemple 5. Résolvons $2(x+3)=2x+6$. En développant : $2x+6=2x+6$, puis en soustrayant $2x$ : $6=6$. Cette égalité est toujours vraie : l'équation a une infinité de solutions, tous les réels.

Résolvons maintenant $2x+1=2x+5$. En soustrayant $2x$ : $1=5$. Cette égalité est toujours fausse : l'équation n'a aucune solution.

Inéquations et droite réelle

Une inéquation remplace le signe $=$ par un symbole d'inégalité. Sa solution n'est plus un nombre isolé mais tout un ensemble de réels, que l'on représente sur la droite réelle et que l'on note avec un intervalle.

On résout une inéquation presque comme une équation, en isolant $x$. Une seule différence, mais elle est capitale.

Propriété (règle du signe). Quand on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité change : $<$ devient $>$, et $\le$ devient $\ge$. Quand on multiplie ou divise par un nombre strictement positif, le sens est conservé.

L'intuition est simple : si $3<5$, alors en multipliant par $-1$ on obtient $-3$ et $-5$, et $-3>-5$. Multiplier par un négatif retourne l'ordre des nombres sur la droite réelle.

Exemple 1. Résolvons :

$$3x+2<14$$

On soustrait $2$, puis on divise par $3$ (positif, donc le sens est conservé) :

$$3x<12\text{donc}x<4$$

L'ensemble des solutions est l'intervalle $]-\mathrm{\infty };4[$.

Exemple 2. Résolvons :

$$5-3x\ge 20$$

On soustrait $5$ :

$$-3x\ge 15$$

On divise par $-3$, qui est négatif : on inverse le sens de l'inégalité :

$$x\le -5$$

L'ensemble des solutions est $]-\mathrm{\infty };-5]$. La borne $-5$ est incluse (crochet fermé), car l'inégalité était large.

Lire et écrire un intervalle

Un intervalle traduit un ensemble de solutions. Le crochet est fermé (tourné vers l'intérieur) si la borne est incluse, ouvert (tourné vers l'extérieur) sinon. L'infini est toujours accompagné d'un crochet ouvert.

Inéquation	Intervalle	Borne
$x<4$	$]-\mathrm{\infty };4[$	$4$ exclu
$x\le 4$	$]-\mathrm{\infty };4]$	$4$ inclus
$x>-5$	$]-5;+\mathrm{\infty }[$	$-5$ exclu
$x\ge -5$	$[-5;+\mathrm{\infty }[$	$-5$ inclus

Exemple 3. Yasmine veut acheter des gobelets vendus $2$ dh pièce et dispose de $35$ dh, après avoir déjà payé $5$ dh de pailles. Combien de gobelets peut-elle prendre au maximum ? Si elle en achète $x$ :

$$2x+5\le 35\text{donc}2x\le 30\text{donc}x\le 15$$

L'ensemble mathématique est $]-\mathrm{\infty };15]$, mais un nombre de gobelets est un entier positif : Yasmine peut en acheter au maximum $15$.

Le piège de la division par un négatif

C'est l'erreur reine du chapitre. Salma résout $-2x<8$ en divisant par $-2$ et écrit $x<-4$ : elle a oublié d'inverser le sens. Dès qu'un nombre négatif intervient en facteur ou en diviseur des deux membres, le symbole se retourne :

$$-2x<8\text{donne}x>-4$$

Pour vérifier, teste une valeur : $x=0$ donne $-2\times 0=0<8$, vrai. Or $0$ appartient bien à $]-4;+\mathrm{\infty }[$, pas à $]-\mathrm{\infty };-4[$. La bonne réponse est donc $x>-4$.

Équations produit nul

Quand une équation se présente comme un produit de facteurs égal à zéro, on n'a pas besoin de développer. Un produit ne peut valoir zéro que si l'un au moins de ses facteurs est nul. C'est la porte d'entrée vers des équations qui ne sont pas du premier degré.

Le symbole $⟺$ signifie « équivaut à » : les deux situations se valent exactement, dans les deux sens. C'est une véritable équivalence, pas une simple implication.

Exemple 1. Résolvons :

$$(x-3)(x+5)=0$$

Le produit est nul, donc l'un des facteurs l'est :

$$x-3=0\text{ou}x+5=0$$ $$x=3\text{ou}x=-5$$

L'ensemble des solutions est $\{-5;3\}$.

Exemple 2. Résolvons :

$$(2x-1)(x+4)=0$$ $$2x-1=0\text{ou}x+4=0$$ $$x={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ou}x=-4$$

Les solutions sont ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $-4$.

Factoriser d'abord

Beaucoup d'équations ne sont pas encore sous forme de produit. Il faut alors factoriser avant d'appliquer le théorème. C'est là que le calcul littéral de 3e te revient : facteur commun et identités remarquables.

Exemple 3. Résolvons :

$$x^2-9=0$$

On reconnaît une différence de deux carrés, $x^2-3^2$, que l'on factorise :

$$(x-3)(x+3)=0$$ $$x=3\text{ou}x=-3$$

Exemple 4. Résolvons :

$$x^2-5x=0$$

On met $x$ en facteur commun :

$$x(x-5)=0$$ $$x=0\text{ou}x-5=0$$

Les solutions sont $0$ et $5$. Remarque qu'il ne faut jamais diviser les deux membres par $x$ : on perdrait la solution $x=0$. On garde le facteur $x$ et on le traite comme les autres.

Le piège du second membre non nul

Le théorème du produit nul exige que le produit vaille zéro. Karim veut résoudre $(x-3)(x+5)=10$ et écrit aussitôt $x-3=10$ ou $x+5=10$ : c'est faux. Quand le produit vaut $10$, il existe une infinité de façons de répartir ce $10$ entre les deux facteurs ($2\times 5$, $1\times 10$, etc.), et la décomposition « un facteur nul » n'a aucun sens. Pour traiter $(x-3)(x+5)=10$, il faudrait tout développer, ramener à zéro et factoriser autrement — un travail réservé à la Première. Le théorème ne s'utilise que face à un zéro.

Équations quotient et valeurs interdites

Un quotient ${\displaystyle \frac{A}{B}}$ n'a de sens que si son dénominateur $B$ est non nul : diviser par zéro est interdit. Avant toute résolution, il faut donc repérer les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur — ce sont les valeurs interdites — et les exclure.

Note la différence de logique avec le produit nul. Le produit nul utilise « ou » ; le quotient nul utilise « et » : le numérateur doit être nul et le dénominateur non nul en même temps.

Exemple 1. Cherchons les valeurs interdites de :

$${\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}$$

Le dénominateur s'annule pour $x-2=0$, c'est-à-dire $x=2$. La valeur interdite est $2$ : le domaine est l'ensemble des réels privé de $2$.

Exemple 2. Résolvons :

$${\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}=0$$

Valeur interdite : $x\mathrm{\ne }2$. Le quotient est nul lorsque son numérateur est nul :

$$x+1=0\text{donc}x=-1$$

Comme $-1\mathrm{\ne }2$, la valeur $-1$ est acceptable. L'unique solution est $x=-1$.

Exemple 3. Résolvons :

$${\displaystyle \frac{x-2}{x-2}}=0$$

Valeur interdite : $x\mathrm{\ne }2$. Le numérateur s'annule pour $x=2$ — mais c'est précisément la valeur interdite ! Elle est donc rejetée. L'équation n'a aucune solution. Cet exemple montre pourquoi la condition $B\mathrm{\ne }0$ n'est pas un détail : elle peut éliminer la seule candidate.

Résoudre une équation quotient plus riche

Exemple 4. Résolvons :

$${\displaystyle \frac{2x+6}{x+1}}=0$$

Valeur interdite : $x+1=0$ donne $x=-1$, donc $x\mathrm{\ne }-1$. Le quotient est nul lorsque le numérateur est nul :

$$2x+6=0\text{donc}x=-3$$

Comme $-3\mathrm{\ne }-1$, la solution $x=-3$ est valide. L'ensemble des solutions est $\{-3\}$.

Le piège de la simplification abusive

Pour résoudre ${\displaystyle \frac{x-2}{x-2}}=0$, Karim simplifie d'abord par $x-2$ et obtient $1=0$, donc « pas de solution », par chance la bonne conclusion ici, mais pour une mauvaise raison. Le danger apparaît ailleurs : simplifier ${\displaystyle \frac{(x-2)(x+3)}{x-2}}$ par $x-2$ fait disparaître la valeur interdite $x=2$ du paysage, alors qu'elle doit rester exclue du domaine. On ne simplifie jamais par une expression qui peut être nulle sans d'abord noter la valeur interdite qu'elle entraîne. Le domaine se détermine sur l'écriture initiale, avant toute simplification.

Tableaux de signes

Voici l'outil central. Plutôt que de chercher les valeurs qui annulent une expression, on cherche à connaître son signe — positif ou négatif — sur toute la droite réelle. Le tableau de signes range ces informations de façon lisible et permet de résoudre n'importe quelle inéquation faisant intervenir un produit ou un quotient.

Signe d'un binôme $ax+b$

Tout commence par le signe d'une expression du premier degré $ax+b$. Elle s'annule en une seule valeur, sa racine $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$, et change de signe en franchissant cette racine.

Propriété (signe d'un binôme). Le binôme $ax+b$ (avec $a\mathrm{\ne }0$) s'annule en $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$. Il est du signe de $a$ après la racine, et du signe opposé à $a$ avant. Autrement dit : « signe de $-a$, puis $0$, puis signe de $a$ ».

Exemple 1. Étudions le signe de $2x-6$. La racine est $2x-6=0$, soit $x=3$. Ici $a=2>0$, donc le binôme est négatif avant $3$ et positif après.

$x$	$-\mathrm{\infty }$		$3$		$+\mathrm{\infty }$
$2x-6$		$-$	$0$	$+$

Exemple 2. Étudions le signe de $-3x+12$. La racine est $-3x+12=0$, soit $x=4$. Ici $a=-3<0$, donc le binôme est positif avant $4$ et négatif après.

$x$	$-\mathrm{\infty }$		$4$		$+\mathrm{\infty }$
$-3x+12$		$+$	$0$	$-$

Signe d'un produit

Pour un produit de deux binômes, on dresse une ligne par facteur, on place toutes les racines dans l'ordre croissant en haut, puis on applique la règle des signes case par case : le signe du produit est le produit des signes.

Exemple 3. Étudions le signe de $(2x-6)(-3x+12)$. Les racines sont $3$ et $4$, rangées dans l'ordre. On reporte les deux lignes précédentes, puis on multiplie.

$x$	$-\mathrm{\infty }$		$3$		$4$		$+\mathrm{\infty }$
$2x-6$		$-$	$0$	$+$		$+$
$-3x+12$		$+$		$+$	$0$	$-$
produit		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

On lit la dernière ligne : le produit est négatif sur $]-\mathrm{\infty };3[$, nul en $3$, positif sur $]3;4[$, nul en $4$, puis négatif sur $]4;+\mathrm{\infty }[$.

Signe d'un quotient et résolution d'inéquation

Le tableau d'un quotient ${\displaystyle \frac{A}{B}}$ se construit de la même manière, le signe du quotient étant le quotient des signes — avec une nuance décisive : à la valeur interdite, le quotient n'existe pas. On marque alors une double barre $\mathrm{\parallel }$ au lieu d'un zéro.

Exemple 4. Résolvons l'inéquation :

$${\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}\ge 0$$

Le numérateur s'annule en $x=1$, le dénominateur en $x=-2$ (valeur interdite). On range $-2$ puis $1$.

$x$	$-\mathrm{\infty }$		$-2$		$1$		$+\mathrm{\infty }$
$x-1$		$-$		$-$	$0$	$+$
$x+2$		$-$	$0$	$+$		$+$
quotient		$+$	$\mathrm{\parallel }$	$-$	$0$	$+$

On cherche où le quotient est positif ou nul ($\ge 0$). Il est positif sur $]-\mathrm{\infty };-2[$, négatif entre $-2$ et $1$, nul en $1$, positif après. La valeur $-2$ est exclue (interdite, double barre), la valeur $1$ est incluse (le quotient y vaut $0$ et l'inégalité est large). L'ensemble des solutions est :

$$]-\mathrm{\infty };-2[\cup [1;+\mathrm{\infty }[$$

Le symbole $\cup$ signifie « union » : la solution réunit deux intervalles disjoints. C'est typiquement ce qu'un tableau de signes révèle et qu'une résolution naïve manquerait.

Le piège du dénominateur dans le tableau

Salma traite le dénominateur d'un quotient exactement comme le numérateur et place un $0$ à la valeur interdite. C'est faux : à une valeur interdite, le quotient n'existe pas, il ne vaut pas zéro. On marque une double barre $\mathrm{\parallel }$, et cette valeur reste toujours exclue de l'ensemble des solutions, quelle que soit l'inégalité — large ou stricte. Confondre le $0$ (où l'expression s'annule, donc incluse dans un $\ge$) et la double barre (où elle n'existe pas, donc exclue) fausse toute la lecture finale.

Pièges classiques

Piège 1 : oublier d'inverser le sens de l'inégalité. Quand tu multiplies ou divises une inéquation par un nombre négatif, le symbole se retourne : $<$ devient $>$. Salma résout $-2x<8$ en $x<-4$ et se trompe ; la bonne réponse est $x>-4$. En cas de doute, teste une valeur simple comme $x=0$ dans l'inéquation de départ pour vérifier le sens.

Piège 2 : « simplifier » par une expression qui peut être nulle. Diviser les deux membres de $x^2-5x=0$ par $x$ donne $x-5=0$, soit $x=5$, et fait disparaître la solution $x=0$. De même, simplifier un quotient par un facteur efface une éventuelle valeur interdite. On ne divise jamais par une expression qui peut valoir zéro : on factorise et on garde tous les facteurs.

Piège 3 : oublier les valeurs interdites. Avant de résoudre une équation ou une inéquation quotient, repère les valeurs qui annulent le dénominateur et exclus-les. Une solution trouvée au numérateur qui tomberait sur une valeur interdite doit être rejetée : ${\displaystyle \frac{x-2}{x-2}}=0$ n'a aucune solution, car $x=2$ est interdit.

Piège 4 : passer un terme de l'autre côté en gardant son signe. Quand un terme change de membre, il change de signe : de $5x+3=18$ on passe à $5x=18-3=15$, pas $18+3$. L'erreur revient à ne pas faire la même opération des deux côtés. Écris l'étape intermédiaire (« je soustrais $3$ aux deux membres ») tant que le réflexe n'est pas automatique.

Piège 5 : appliquer le produit nul à un produit non nul. $A\times B=0$ donne $A=0$ ou $B=0$, mais $A\times B=10$ ne donne pas $A=10$ ou $B=10$. Le théorème exige un second membre égal à zéro ; sinon, il faut tout ramener à zéro et factoriser autrement.

Piège 6 : confondre le zéro et la double barre dans un tableau de signes. Un $0$ marque l'endroit où l'expression s'annule : cette valeur est incluse dans la solution d'une inégalité large. Une double barre $\mathrm{\parallel }$ marque une valeur interdite, où l'expression n'existe pas : elle est toujours exclue. Bien distinguer les deux est ce qui sépare une bonne lecture du tableau d'une fausse.

Application concrète

Yasmine lance son stand de jus d'orange frais au marché central de Marrakech. Elle veut décider de tout avec rigueur : son seuil de rentabilité, le prix qui lui garantit une marge, et le choix entre deux offres de location de presse-agrumes. Elle va mobiliser chaque outil du chapitre.

Étape 1 — Mettre le coût et la recette en équation. Yasmine paie $80$ dh par jour pour son emplacement, plus $2$ dh d'oranges et de gobelet par jus produit. Si elle prépare $x$ jus, son coût total de la journée est :

$$C(x)=80+2x$$

Elle vend chaque jus $5$ dh, donc sa recette est :

$$R(x)=5x$$

Étape 2 — Trouver le seuil de rentabilité (équation du premier degré). Le seuil de rentabilité est le nombre de jus pour lequel la recette égale le coût, $R(x)=C(x)$ :

$$5x=80+2x\text{donc}3x=80\text{donc}x={\displaystyle \frac{80}{3}}\approx \mathrm{26,7}$$

Comme un nombre de jus est entier, le seuil est franchi à partir de $27$ jus.

Étape 3 — Déterminer quand elle gagne de l'argent (inéquation). Yasmine veut que la recette dépasse strictement le coût, $R(x)>C(x)$ :

$$5x>80+2x\text{donc}3x>80\text{donc}x>{\displaystyle \frac{80}{3}}\approx \mathrm{26,7}$$

L'ensemble mathématique est $]{\displaystyle \frac{80}{3}};+\mathrm{\infty }[$ ; concrètement, dès le ${27}^{\text{e}}$ jus vendu, Yasmine commence à dégager un bénéfice.

Étape 4 — Comparer deux offres de location par un tableau de signes. Deux loueurs proposent une presse-agrumes pour la saison. L'offre A coûte $300$ dh fixes ; l'offre B coûte $100$ dh fixes plus $4$ dh par jour d'utilisation. Pour $x$ jours, on a $A=300$ et $B=100+4x$. Yasmine étudie la différence $B-A$ pour savoir laquelle est la moins chère :

$$B-A=(100+4x)-300=4x-200$$

C'est un binôme, de racine $4x-200=0$, soit $x=50$. Comme $a=4>0$, il est négatif avant $50$ et positif après.

$x$	$0$		$50$		$+\mathrm{\infty }$
$4x-200$		$-$	$0$	$+$

Lecture : pour $x<50$, $B-A<0$ donc l'offre B est la moins chère ; pour $x>50$, l'offre A devient la moins chère ; à $x=50$ jours exactement, les deux coûtent $300$ dh.

Conclusion. En quelques inéquations et un tableau de signes, Yasmine sait qu'elle doit vendre au moins $27$ jus par jour pour gagner de l'argent, et qu'au-delà de $50$ jours d'activité l'offre A de location devient avantageuse. Ce réflexe — traduire une comparaison en étude du signe d'une différence — est exactement celui que tu emploieras en Première et en Terminale, où le tableau de signes servira à lire le signe d'une dérivée et donc le sens de variation d'une fonction, ou le comportement d'une expression au voisinage d'une limite.

À retenir