Équations, inéquations et signes — exercices corrigés

Parmi ces égalités, laquelle est une équation du premier degré à une inconnue ?

Résous l'équation $x+7=12$ et donne la valeur de $x$.

Résous l'équation $3x=21$ et donne la valeur de $x$.

Résous l'équation $2x-8=0$ et donne la valeur de $x$.

Combien de solutions admet une équation du premier degré $ax+b=0$ lorsque $a\mathrm{\ne }0$ ?

Karim affirme : « Quand on divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change. » A-t-il raison ?

Résous l'inéquation $x+2<7$. Quel est l'ensemble des solutions ?

Comment traduit-on $x\ge 3$ sous forme d'intervalle ?

Quelles sont les solutions de l'équation produit nul $(x-4)(x+1)=0$ ?

Quelle est la valeur interdite de l'expression ${\displaystyle \frac{x+5}{x-7}}$ ? Donne la valeur de $x$.

Salma affirme : « Un quotient ${\displaystyle \frac{A}{B}}$ est nul lorsque son numérateur $A$ est nul, à condition que le dénominateur $B$ ne soit pas nul lui aussi. » A-t-elle raison ?

En quelle valeur le binôme $2x-6$ s'annule-t-il ? Donne la valeur de $x$.

Résous l'équation $2x-3=0$ et donne la solution sous forme a/b irréductible.

Quel intervalle traduit l'ensemble des solutions de l'inéquation $x<2$ ?

Karim veut résoudre $(x-3)(x+5)=10$ et écrit aussitôt « $x-3=10$ ou $x+5=10$ ». A-t-il raison d'appliquer ainsi le théorème du produit nul ?

Résous l'équation $5-x=2$ et donne la valeur de $x$.

Dans le tableau de signes d'un quotient, Salma place un $0$ à la valeur interdite, comme pour le numérateur. Est-ce correct ?

Après factorisation, quelles sont les solutions de l'équation $x^2-16=0$ ?

L'ensemble des solutions de l'inéquation $x\ge -5$ s'écrit $[-5;+\mathrm{\infty }[$, avec un crochet fermé sur $-5$. Est-ce exact ?

Résous l'équation quotient ${\displaystyle \frac{x+4}{x-1}}=0$ et donne la valeur de $x$.

Résous l'équation $5x+3=2x+18$ et donne la valeur de $x$.

Résous l'équation ${\displaystyle \frac{x}{3}}-2={\displaystyle \frac{x}{4}}$ et donne la valeur de $x$.

Résous l'inéquation $5-3x\ge 20$. Quel est l'ensemble des solutions ?

L'équation $(2x-1)(x+4)=0$ a deux solutions : $-4$ et une autre. Donne cette seconde solution sous forme a/b irréductible.

Quelles sont les solutions de l'équation $x^2-5x=0$ ?

Combien de solutions admet l'équation ${\displaystyle \frac{x-2}{x-2}}=0$ ?

On étudie le signe du binôme $-3x+12$. Sur quel intervalle est-il positif ?

À Fès, Amine achète des cornes de gazelle à $4$ dh pièce et des chebakias à $3$ dh pièce. Il prend deux fois plus de chebakias que de cornes de gazelle et dépense en tout $50$ dh. Combien a-t-il acheté de cornes de gazelle ?

Résous l'inéquation $2x-7>3$ et exprime l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Salma résout l'inéquation $-4x\ge 12$ et obtient $x\ge -3$. A-t-elle raison ?

Quelles sont les solutions de l'équation $(3x-6)(x+2)=0$ ?

Quelle est la valeur interdite de l'expression ${\displaystyle \frac{5x-1}{2x-6}}$ ?

Résous l'équation ${\displaystyle \frac{2x+5}{x-1}}=0$. Donne la solution sous la forme ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ irréductible.

Le binôme $3x-9$ change de signe en sa racine. Quel est le signe de $3x-9$ pour $x=2$ ?

Résous l'équation ${\displaystyle \frac{x}{3}}-2={\displaystyle \frac{x}{4}}$ et donne la valeur de $x$.

Karim résout $(x-3)(x+5)=15$ en écrivant : « $x-3=15$ ou $x+5=15$, donc $x=18$ ou $x=10$. » A-t-il raison ?

L'ensemble des solutions de l'inéquation $3x+5\ge 5x-3$ est :

L'équation ${\displaystyle \frac{x-4}{x-4}}=0$ admet $x=4$ comme solution.

Calcule la racine du binôme $4x-7$ et donne le résultat sous la forme ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ irréductible.

Quelles sont les solutions de l'équation $x^2-25=0$ ?

Pour résoudre l'équation $7x+4=25$, Amine écrit : « Je fais passer le $4$ de l'autre côté, donc $7x=25+4=29$, puis $x={\displaystyle \frac{29}{7}}$. »

A-t-il raison ?

Karim résout l'équation $x^2-7x=0$ ainsi : « Je divise les deux membres par $x$, il reste $x-7=0$, donc l'unique solution est $x=7$. »

A-t-il raison ?

Yasmine ouvre un stand de crêpes au souk de Casablanca. Elle paie $60$ dh par jour pour son emplacement et $3$ dh par crêpe en matières premières. Elle vend chaque crêpe $7$ dh.

1. Exprime le coût total $C(x)$ et la recette $R(x)$ en fonction du nombre $x$ de crêpes vendues.
2. Détermine le nombre minimal de crêpes à vendre pour ne pas être en déficit.
3. Traduis la condition « Yasmine gagne de l'argent » par une inéquation, et résous-la.

On dresse le tableau de signes du produit $(2x-4)(-x+3)$. Les racines sont $x=2$ (pour $2x-4$) et $x=3$ (pour $-x+3$). Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $(2x-4)(-x+3)>0$ ?

Le tableau de signes, lu de gauche à droite, donne pour le produit : négatif sur $]-\mathrm{\infty };2[$, nul en $2$, positif sur $]2;3[$, nul en $3$, négatif sur $]3;+\mathrm{\infty }[$.

On veut résoudre l'inéquation ${\displaystyle \frac{x+3}{x-1}}\le 0$.

Le tableau de signes construit donne, de gauche à droite : quotient positif sur $]-\mathrm{\infty };-3[$, nul en $-3$, négatif sur $]-3;1[$, double barre en $1$, positif sur $]1;+\mathrm{\infty }[$.

Quel est l'ensemble des solutions ?

Amine veut louer un vélo à Rabat pour visiter les jardins. Deux boutiques proposent :

• Boutique A : $20$ dh de caution fixe et $5$ dh par heure.
• Boutique B : pas de caution, mais $8$ dh par heure.

Soit $x$ le nombre d'heures de location.

1. Exprime le coût de chaque boutique en fonction de $x$.
2. Détermine à partir de combien d'heures l'offre A devient moins chère que l'offre B.
3. Amine prévoit $7$ heures. Quelle boutique choisit-il ?

Pour résoudre l'équation $3x^2-12x=0$, Karim factorise et obtient $3x(x-4)=0$, puis conclut que les solutions sont $x=0$ et $x=4$. Est-ce correct, et pourquoi ?

Salma résout l'équation $4(x+2)-3x=x+8$ et développe : $4x+8-3x=x+8$. Elle regroupe : $x+8=x+8$, puis soustrait $x$ des deux membres et obtient $8=8$. Que peut-elle conclure ?

Karim affirme que l'ensemble des solutions de l'inéquation ${\displaystyle \frac{x-2}{x+5}}>0$ est $]-\mathrm{\infty };-5[\cup [2;+\mathrm{\infty }[$.

A-t-il raison ?

Yasmine vend des jus d'orange frais au marché de Marrakech. Le coût de revient de chaque jus est $3$ dh. Elle veut fixer son prix de vente $p$ (en dh, avec $p>3$) de façon à ce que sa marge par jus soit strictement supérieure à $40\mathrm{\%}$ du prix de vente.

1. Exprime la marge par jus en fonction de $p$.
2. Traduis la condition « marge $>$ $40\mathrm{\%}$ du prix de vente » par une inéquation en $p$.
3. Résous l'inéquation et interprète le résultat.

On s'intéresse au signe du produit $x(x-2)(x+3)$ pour $x=-4$.

Les racines sont $x=0$, $x=2$ et $x=-3$, rangées dans l'ordre : $-3<0<2$.

Pour $x<-3$, quel est le signe du produit ?

Karim veut résoudre ${\displaystyle \frac{(x-3)(x+1)}{x-3}}=0$. Il simplifie par $x-3$ et obtient $x+1=0$, donc $x=-1$. Il conclut que l'unique solution est $x=-1$. A-t-il fait une erreur de méthode ?

On veut résoudre l'inéquation $(x+4)(2-x)\ge 0$.

Les racines sont $x=-4$ (pour $x+4$) et $x=2$ (pour $2-x$). Le tableau de signes donne : produit négatif sur $]-\mathrm{\infty };-4[$, nul en $-4$, positif sur $]-4;2[$, nul en $2$, négatif sur $]2;+\mathrm{\infty }[$.

Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation ?

Amine a $3$ ans de plus que sa sœur Salma. Dans $5$ ans, la somme de leurs âges sera $47$ ans. Quel est l'âge actuel de Salma ?

Résous l'inéquation $5-3x\ge 2x-10$.

On veut résoudre l'inéquation ${\displaystyle \frac{x-1}{(x+2)(x-4)}}\ge 0$.

Les valeurs interdites sont $x=-2$ et $x=4$. La racine du numérateur est $x=1$.

Le tableau de signes, de gauche à droite (avec $-2<1<4$), donne pour le quotient : négatif sur $]-\mathrm{\infty };-2[$, double barre en $-2$, positif sur $]-2;1[$, nul en $1$, négatif sur $]1;4[$, double barre en $4$, positif sur $]4;+\mathrm{\infty }[$.

Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $\ge 0$ ?

Yasmine hésite entre deux offres de location d'une presse-agrumes pour sa saison au souk de Marrakech.

• Offre A : $300$ dh forfaitaires pour toute la saison.
• Offre B : $100$ dh fixes plus $4$ dh par jour d'utilisation.

Soit $x$ le nombre de jours d'utilisation ($x>0$).

1. Exprime le coût de chaque offre en fonction de $x$.
2. Détermine la valeur de $x$ pour laquelle les deux offres coûtent le même prix.
3. Pour quelle plage de jours l'offre B est-elle moins chère ? Et l'offre A ?
4. Yasmine prévoit $45$ jours de travail. Quelle offre choisit-elle, et combien économise-t-elle ?

Quelles sont les solutions de l'équation $(x^2-9)(2x-5)=0$ ?

Yasmine affirme : « Dresser un tableau de signes pour $2x-8$, c'est exactement la même logique que ce qu'on fera en Première pour déterminer les variations d'une fonction grâce au signe de sa dérivée. »

A-t-elle raison ?

Un rectangle a une longueur de $(2x+3)$ cm et une largeur de $x$ cm. Amine veut que le périmètre de ce rectangle soit strictement inférieur à $54$ cm. Quelle est la plus grande valeur entière de $x$ qui convient ?

Résous l'équation ${\displaystyle \frac{x^2-4}{x+2}}=0$.

Yasmine tient son stand de jus au souk de Casablanca. Son coût journalier est $C(x)=80+2x$ dh, où $x$ est le nombre de jus produits. Elle vend chaque jus $p$ dh.

Elle fixe $p=6$ dh et veut dégager un bénéfice d'au moins $40$ dh par journée.

1. Exprime le bénéfice journalier $B(x)$ en fonction de $x$.
2. Traduis la condition « bénéfice d'au moins $40$ dh » par une inéquation.
3. Résous l'inéquation et interprète le résultat concrètement.
4. Yasmine estime pouvoir vendre au maximum $60$ jus par jour. Cette limite lui permet-elle d'atteindre son objectif ?